Notificaciones:

Importante

• Condiciones de Regularidad. Para firmar los trabajos prácticos se deben aprobar dos exámenes parciales, y haber completado la encuesta obligatoria. Habrá dos fechas de recuperación. Se podrá recuperar cualquiera de los dos parciales en cualquiera de las dos fechas de recuperación, pero no dos parciales en una misma fecha. Se podrá recuperar el mismo parcial dos veces en fechas distintas. Para aprobar la materia, se debe rendir y aprobar el correspondiente examen final.
  
• Inscripción. Para poder ser incluido en las Actas de Trabajos Prácticos, en caso de aprobar los trabajos prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia (a través del Sistema de Inscripciones de la Facultad) y haber completado la encuesta de evaluación docente.
• Correlatividades. Matemática 3.
  
• Normas de seguridad. Se recuerda que es obligatoria la lectura de las normas de higiene y seguridad.

Docentes, horarios y aulas

Calendario

Programa de la materia

• Funciones analíticas u holomorfas: Números complejos. Funciones de variable compleja. Las funciones elementales en campo complejo. Límites y continuidad. Funciones analíticas. El cálculo diferencial e integral complejo. Fórmulas integrales de Cauchy. El teorema de Morera. El teorema de Liouville. El teorema del módulo máximo. Fórmulas integrales de Poisson para el círculo y para el semiplano. Series funcionales en el campo complejo. Serie de Taylor y serie de Laurent. Singularidades. Polos y residuos. Cálculo de integrales definidas.

• Series e Integrales de Fourier: Series de Fourier. Desigualdad de Bessel. Igualdad de Parseval. El teorema de óptima aproximación en media cuadrática. Condición suficiente para la convergencia puntual de series de Fourier. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Aplicaciones a la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

• Ecuaciones Diferenciales: Soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden por desarrollo en serie. Singularidad regular. Ecuación hipergeométrica. Ecuación de Legendre. Solución para grandes valores de |x|. Ecuación de Bessel.

• Primer Parcial: Viernes 14/10, 9 hs, aula 9, pabellón 1.
• Segundo Parcial: Viernes 2/12, 9 hs, aula 12, pabellón 2.
• Primer Recuperatorio: Lunes 12/12, 9 hs, aula 9, pabellón 1.
  
• Segundo Recuperatorio: Lunes 19/12, 9 hs, aula 4, pabellón 1.

Guías de ejercicios

• Práctica 1: Números complejos.
• Práctica 2: Nociones topológicas en análisis complejo.
• Práctica 3: Derivabilidad / Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
• Práctica 4: Series de funciones y de potencias.
• Práctica 5: Integrales sobre curvas.
• Práctica 6: Series de Laurent, polos, residuos.
• Práctica 7: Cálculo de integrales reales mediante residuos.
• Práctica 8: Series de Fourier.
• Práctica 9: Transformadas de Fourier y Laplace y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales.

Ejercicios adicionales resueltos: Patricia Jancsa

Apunte: Funciones Complejas, Transformadas Integrales y Ecuaciones Diferenciales (Patricia Jancsa)

Apuntes y tablas

• Cálculo de integrales impropias
• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Tabla de transformadas de Fourier
• Transformada de Laplace
• Tabla de transformadas de Laplace
• Apunte (en español) sobre análisis complejo, serie y transformada de Fourier, transormada de Laplace.
• Apunte Matemática 4 - Marco Farinati
• Apunte Matemática 4 - Daniel Suárez

Algunas curiosidades

• Video transformaciones de Möebius - Homografías

Bibliografía especialmente recomendada para la primera parte de la materia

• Churchill, R.V., Brown, J.W., Variable compleja y aplicaciones, McGraw-Hill, 1992
• Balanzat, Manuel, "Matemática avanzada para la física" Eudeba, Buenos Aires, 1977.
• Marsden, J. E., Hoffman, M. J., Basic complex analysis, Freeman, 1999.

Bibliografía

• Ahlfors, L.V. "Complex Analysis". Mc Graw Hill, New Hork, 1966.
• Aramanovich, I., Volkovyski, L., Lunts, G. "Problemas sobre la teoría de variable compleja", Editorial Mir, 1972.
• Balanzat, Manuel, "Matemática avanzada para la física" Eudeba, Buenos Aires, 1977.
• Boas, R.P. Jr. "Entire Functions", Academic Press, N. York, 1954.
• Cartan, H. "Théorie élémentaire des functions anlaytiques d'une ou plusiers variables complexes". Hermann, Paris, 1961.
• Coddington, E. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias, Agencia para el Desarrollo Internacional. Centro Regional de Ayuda Técnica, 1968.
• Conway, J.B. Functions of One Complex Variable, Graduate texts in mathematics; 11, 1978.
• Copson, E.T., "Theory of functions of a complex variable", Oxford, 1935.
• Courant, R., Hilbert, P., P., 1er. Tomo, "Methods of Math. Physics", Interscience Publ., New York, 1962.
• Churchill, R.V., "Fourier Series and Boundary Value Problems", Mc Graw Hill, New York, 1941.
• Churchill, R.V., Brown, J.W., Variable compleja y aplicaciones, McGraw-Hill, 1992
  
• Churchill, R.V. "Complex Variable and Applications", Mc Graw Hill, 1960.
• de Figueiredo, D.G., Análise de Fourier e Equacoes Diferenciais Parciais, Proyecto Euclides, IMPA, 1977.
• Folland, G., Fourier Analysis and its Applications, Wadsworth & Brooks, Cole Mathematics Series, 1992.
• Godrinov, S.K., "Ecuaciones de la Física Matemática", Editorial MIR, URSS, 1978.
• Ince E.L., "Ordinary Differential Equations", Longman, 1927.
• Kreider, D., Kuller, R., Ostberg, D. Ecuaciones diferenciales, Fondo Educativo Interamericano, 1973.
• Markushevich, A., "Teoría de las funciones analíticas". Tomos 1 y 2. Editorial MIR, Moscú 1960.
• Marsden, J. E., Hoffman, M. J., Basic complex analysis, Freeman, 1999.
• Pinkus, A., Zafrany, S., Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge University Press, 1997.
• Rey Pastor, J., Pi Calleja, P y Trejo, C.A., "Análisis Matemático III", Kapelusz, 1959.
• Rudin, W., "Real and Complex Analysis", Mc Graw Hill, New York, 1966.
• Sneddon, Ian N., "Partial Differential Equations", Mc Graw Hill, New York, 1957.
• Titchmarsch, E.C., "The theory of Functions", Oxford University Press 2^nd. Ed. 1939.
• Weinberger, H.F., Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Reverté, 1979.