SAHHAS 2019
Noviembre.
27 de noviembre: Cesar Venegas, Universidad de los Andes, Colombia.
Extensiones Modulares Minimales
En los últimos años, el lenguaje de categorías modulares ha probado ser un lenguaje natural para el estudio de interesantes problemas en física y matemáticas. Por dar algunos ejemplos podemos mencionar problemas de clasificación de álgebras de Hopf, invariantes de nudos, invariantes de variedades en dimensión 3, u ordenes topológicos en física.
La importancia de describir las extensiones modulares minimales de una categoría simétrica (tannakiana o super-tannakiana) fue manifestada por Lan, Wen, y Kong desde el punto de vista físico para clasificación de ordenes topológicos. Lo que se busca en esta presentación en motivar la importancia de las mismas desde un punto de vista puramente matemáticos, mostrando la conexión de este problema con extensiones de categorías no degeneradas y casi-degeneradas.
En la primera parte de la presentación trataremos el problema de las extensiones modulares para categorías con centro de Muger tannakiano, lo cual motivará muchos de los resultados que se darán en la segunda parte, cuando el centro de Muger se considera super-tannakiano. Finalmente, mostraré que las extensiones modulares minimales de una categoría super-tannakiana pueden parametrizarse en términos cohomológicos
20 de noviembre: Mariano Suárez-Alvarez, Universidad de Buenos Aires.
13 de noviembre: Nicolás Kovensky, Universidad de Buenos Aires.
Algunas ideas de mecánica clásica y cuántica
Mi objetivo es dar una introducción al lenguaje que utilizamos para estudiar problemas a partir de la formulación lagrangiana mecánica clásica, para luego establecer una conexión con la mecánica cuántica y estudiar algunos ejemplos simples pero representativos. En el medio, veremos cómo emerge rápidamente un lenguaje algebraico al describir la física en término de las simetrías de cada sistema.
Octubre.
30 de octubre: Estanislao Herscovich, Institut Fourier - Université Grenoble Alpes, France.
Cohomología persistente y álgebra homológica
La noción de (co)homología persistente fue introducida independientemente por V. Robins, F. Cagliari et al, P. Frosini y C. Landi, H. Edelsbruner et al. Se trata de una extensión de la noción de teoría de tamaño (size theory, en inglés), desarrollada por Frosini y colaboradores y permite medir de forma efectiva diferencias entre dos conjuntos simpliciales (o espacios topológicos) dados. Más aún, la homología persistente es una herramienta de análisis topológico de datos que permite construir invariantes asociados a conjuntos de puntos, identificando estructuras topológicas de tipo racimos, agujeros, plegamientos, etc. En particular, es muy útil para reconocer diferentes patrones de puntos (e.g. en imágenes) y establecer criterios objetivos para identificar objetos. Entre las variadas aplicaciones de la homología persistente podemos mencionar la esquelitización de datos, el análisis de imágenes y de materiales, el estudio de formas, las bases de datos, la reconstrucción de grafos, las redes de sensores, el análisis de señales, las redes cósmicas, las redes complejas, el análisis de progresión de enfermedades y el estudio de microorganismos usando espectroscopía molecular, por sólo mencionar algunas.
El objetivo de la charla es presentar un resultado sobre la existencia de una métrica en el conjunto de los códigos de barras provisto con la estructura de A-infinito-álgebra inducida por el teorema de Kadeishvili que sea más fina que la métrica de cuello de botella (bottleneck metric en inglés) e invariante ante quasi-isomorfismos de A-infinito-álgebras.
23 de octubre: Fernando Martin, Universidad de Buenos Aires.
Homología de algunas álgebras de Lie nilpotentes en 2 pasos - Parte II
16 de octubre: Yadira Valdivieso, Universidad de Leicester.
From the potential to the first Hochschild cohomology group of a Cluster Tilted algebra
This is a report on joint work with Ibrahim Assem, Juan Carlos Bustamante, y Sonia Trepode. We give a concrete interpretation of the dimension of the first Hochschild cohomology space of a cyclically oriented or tame cluster tilted algebra in terms of a numerical invariant arising from the potential.
9 de octubre: Fernando Martin, Universidad de Buenos Aires.
Homología de algunas álgebras de Lie nilpotentes en 2 pasos
En una charla de hace unos meses vimos cómo la teoría de operads daba un contexto natural en el que podemos traducir el problema de hallar y clasificar deformaciones de álgebras de cierto tipo en la determinación de ciertos módulos de cohomología. En particular, esto nos interesa para la operad de álgebras de Lie que son nilpotentes en 2 pasos (e indirectamente también para la operad de magmas lineales que son nilpotentes en 2 pasos).
En esta charla daremos una descripción explícita de los complejos involucrados y, si el tiempo lo permite, mostraremos cómo determinar la homología de algunas álgebras de Lie nilpotentes en 2 pasos consideradas como magmas.
2 de octubre: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Limites inductivos de álgebras de Lie semisimples - Parte II
Septiembre
25 de agosto: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Limites inductivos de álgebras de Lie semisimples
Las álgebras de Lie complejas sl(∞), sp(∞) y so(∞) se obtienen como límites inductivos de las respectivas familias de álgebras de Lie semisimples. Sus respectivas categorías de representaciones son salvajes, así que al igual que en el caso de dimensión finita, es habitual restringir la atención a subcategorías más pequeñas.
En la primera charla voy a contar un primer ejemplo de tales categorías, la categoría de representaciones tensoriales de cada una de estas álgebras. Estas son las representaciones que se obtienen como subcocientes de potencias tensoriales de las representaciones estándar y coestándar de cada álgebra. Por motivos que contaré durante la charla, este es un análogo natural de la categoría de representaciones de dimensión finita de un álgebra semisimple, aunque también presenta notables diferencias con esta categoría [Ejercicio: no es una categoría semisimple]. Casi todo lo que voy a contar está contenido en un trabajo de Penkov y Styrkas [https://arxiv.org/abs/0709.
En la segunda charla voy a contar sobre un análogo de la categoría O para estas álgebras, estudiado por Penkov y Serganova, y una variación sobre esa idea en la que está trabajando su humilde charlista.
4 y 11 de agosto: Javier Cóppola, Universidad de la República Uruguay.
Producto cup en cohomología de grupos dada por una sucesión espectral
Voy a compartir con ustedes este artículo que estoy estudiando. El mismo dice, entre otras cosas, que si G es un grupo, K un subgrupo normal de G y A un G-módulo, hay una sucesión espectral cuya segunda página está hecha de términos de la forma H^p(G/K, H^q(K,A)), la cual converge a H^{p+q}(G,A).
En particular, el producto cup en estos términos le da una estructura multiplicativa a la sucesión espectral, que al converger pasa al producto cup de la cohomología que obtenemos al final. Este pasaje no es obvio y requiere rastrear algunos signos, que de no tener en cuenta nos llevaría a contradecir la conmutatividad graduada (o a deducir falsamente un montón de ceros).
Agosto.
28 de agosto: Eugenio Borghini, Universidad de Buenos Aires.
Triangulaciones óptimas del tipo homotópico de las superficies
Dada una superficie cerrada S, ¿cuál es la mínima cantidad de vértices en una triangulación del tipo homotópico de S? ¿Y la mínima cantidad de triángulos en un complejo simplicial con el grupo fundamental de S? Estos problemas extremales sobre triangulaciones del tipo homotópico de las superficies cerradas provienen de dos maneras distintas de medir la complejidad de un espacio topológico. El primero fue formulado por Karoubi y Weibel en su estudio del covering type, un invariante homotópico que mide la complejidad de un espacio en términos de sus cubrimientos buenos. El segundo fue propuesto por Babenko, Balacheff y Bulteau y está relacionado con una aproximación discreta de un invariante geométrico de un grupo llamado área sistólica.
En esta charla mostraremos que salvo un caso excepcional, las triangulaciones óptimas respecto de ambos criterios se dan precisamente en triangulaciones mínimas de superficies. La estrategia de la demostración consiste en explotar una cierta propiedad algebraica que verifican los anillos de cohomología de las superficies cerradas en combinación con técnicas homológicas elementales.
21 de agosto: Thierry Lambre, Universidad de Clermont Auvergne (Francia).
Differential geometry methods in algebraic number theory
The notions of connection and curvature are central to differential geometry. In the 1980s, A. Connes and M. Karoubi used them in a noncommutative geometry framework to construct Chern characters from source algebraic or topological K-theory, with various homologies (Hochschild, cyclic, etc.). In this talk, we will show how it is possible to construct a group structure on all the connections of a Dedekind ring and how this group of connections can be exploited in algebraic number theory (working in collaboration with J. Berrick, Yales-NUS).
Julio.
24 de julio: Marco Pérez, Universidad de la República Uruguay.
Categorías localmente de tipo FPn y categorías n-coherentes
En esta charla estudiaremos condiciones de finitud en categorías de Grothendieck presentando el concepto de objetos de tipo FPn y revisando sus propiedades de cerradura relativas a sucesiones exactas cortas. Esto nos permite proponer una noción de categorías localmente de tipo FPn como una generalización de categorías localmente finitamente generadas y localmente finitamente presentadas. Presentaremos además los objetos inyectivos que son ortogonales bajo Ext a la clase de objetos de tipo FPn, llamados FPn-inyectivos, los cuales formarán la mitad derecha de un par de cotorsión completo.
Como una generalización de la categoría de módulos sobre un anillo n-coherente, presentaremos el concepto de categorías n-coherentes. Tales categorías proveerán un ambiente en el cual el par de cotorsión FPn-inyectivo es hereditario, y donde es posible construir (pre)cubiertas por objetos FPn-inyectivos. Si el tiempo lo permite, veremos cómo las categorías n-coherentes nos proporcionan un marco adecuado para una buena teoría de álgebra homológica Gorenstein inyectiva.
Éste es un trabajo conjunto con Daniel Bravo y James Gillespie.
17 de julio: Ignacio Darago, Universidad de Chicago.
Homología de Hochschild topológica y teoría de Hodge p-adica
En esta charla daremos una introducción a la homología de Hochschild topológica y trataremos de explicar su relación con ciertas teorías de cohomología de variedades en característica positiva.
10 de Julio: Pedro Tamaroff, Trinity College, Dublin.
Productos en pares exactos y una sucesión espectral de derivaciones
Voy a recordar los rudimentos sobre pares exactos y su relación con las sucesiones espectrales, siguiendo los artículos de Massey de 1953, con particular interés en las estructuras multiplicativas en los pares exactos, y luego presentar una construcción, siguiendo ideas de Baues, de una sucesión espectral de derivaciones: en vista que esta sucesión espectral, que proviene de un par exacto, converge a un álgebra de Lie y que, para los datos correctos, converge a la cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa con el corchete de Gerstenhbaer, es interesante saber si es posible producir en ella una estructura multiplicativa que converja al corchete, y que facilite su cálculo en casos favorables
Junio.
12 de junio: Marco Armenta, CIMAT (México) y Universidad de Montpellier.
Invariancia derivada del cálculo de Tamarkin-Tsygan de un álgebra asociativa
La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa tiene estructura de álgebra de Gerstenhaber con el product cup y el corchete de Gerstenhaber. Dicha estructura es un invariante derivado de álgebras. Al considerar también la homología de Hochschild, el producto cap y el diferencial de Connes se obtiene una estructura conocida como cálculo de Tamarkin-Tsygan ó cálculo diferencial. En esta charla daré una introducción a cómo esta estructura es también un invariante derivado. Esto es un trabajo en conjunto con B. Keller."
La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa tiene estructura de álgebra de Gerstenhaber con el product cup y el corchete de Gerstenhaber. Dicha estructura es un invariante derivado de álgebras. Al considerar también la homología de Hochschild, el producto cap y el diferencial de Connes se obtiene una estructura conocida como cálculo de Tamarkin-Tsygan ó cálculo diferencial. En esta charla daré una introducción a cómo esta estructura es también un invariante derivado. Esto es un trabajo en conjunto con B. Keller."
Mayo.
22 de mayo: Cristian Chaparro, Universidad de Buenos Aires.
The first Hochschild cohomology group of Brauer graph algebras with multiplicity one
Brauer graph algebras with multiplicity one can be seen like the trivial extension of gentle algebras and the first Hochschild cohomology of the trivial extension of a finite dimensional algebra can be computed as a direct sum of four vector spaces. We compute the four vector spaces for the trivial extension of gentle algebras and give an explicit description of the Lie algebra structure of the first Hochschild cohomology group. This is a joint work with Sibylle Schroll and Andrea Solotar.
15 de mayo: Fernando Martin, Universidad de Buenos Aires.
Sobre deformaciones de álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes - Parte II
Muchos problemas de deformación se enmarcan naturalmente dentro de una teoría de cohomologia. Repasaremos estas ideas y las definiciones básicas asociadas a la teoría de operads para poder estudiar las deformaciones de álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes con estas herramientas.
8 de mayo: Matías Data.
Cohomología y monads.
En esta charla introducimos el concepto de monads y comonads [2]. Mostramos que dada una adjunción se tiene una (co-)monad, y que a partir de una comonad siempre se puede construir un conjunto simplicial canónico, y a partir de este un complejo. En el caso de que nuestra adjunción sea correcta (monádica), entonces este complejo nos da una resolución "standard". Ilustramos estas ideas con tres ejemplos, cohomología de grupos (Eilenberg-Mac Lane), cohomología de álgebras (Hochschild), y cohomología de un topos (Grothendieck). Mostramos que las resoluciones obtenidas son los complejos standard que se usaban para calcular estas cohomologías antes de que sean identificadas como functores derivados por Cartan-Eilenberg [3] (y Grothendieck en el caso de topos [1]), en el caso de un topos se obtienen las resoluciones por haces flasque (en el sentido de Verdier [1]).
Referencias:
[1] M. Artin, A. Grothendieck, J.L.Verdier. Théorie des topos et cohomologie étale des Schémas, Tome 2 (SGA4).
[2] J. M. Beck. Triples, Algebras and Cohomology.
[3] H. Cartan, S. Eilenberg. Homological Algebra.
[4] R. Godement. Topologie algébrique et théorie des faisceaux.
Abril.
23 de abril: Marcelo Lanzilotta, Universidad de la República Uruguay.
Generalización de las funciones de Igusa-Todorov - Parte II
Junto a Diego Bravo, Octavio Mendoza y José Armando Vivero, hemos logrado generalizar las funciones de Igusa-Todorov. En esta charla, apoyándonos en el seminario que ofreció José Armando Vivero, meses atrás, repasaremos estas nuevas definiciones, sus propiedades, y conectaremos con el concepto de Álgebra de Igusa - Todorov (y su generalización a Lat-IT- álgebras).
(Se intentará minimizar el necesario solapamiento con la charla de Jose Vivero)
Resumen de José Armando Vivero: En esta charla voy a proponer una generalización de las funciones I-T (en el contexto de álgebras de artin) desde el punto de vista de la clase de módulos que las define. Esto viene motivado por el hecho de que las funciones \phi y \psi dependen de la clase de los proyectivos, entonces es válido preguntarse qué sucede cuando tomamos una clase de módulos que contenga a los proyectivos (de aquí la idea de horizontal) y que permita definir nuevas funciones de manera análoga. Los invito entonces a ver la definición de tales funciones, sus propiedades fundamentales y lo más importante: su relación con las funciones originales. A modo de introducción recordaré las definiciones y resultados que sean necesarios para que la charla sea lo más autocontenida posible.
17 de abril: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
El zoológico de álgebras plácticas
El objetivo es presentar las álgebras plácticas y ciertos cocientes interesantes. Estas son álgebras de operadores sobre objetos combinatorios que aparecen en muchos lugares. Voy a dar una descripción general de las álgebras y las representaciones que las definen, comentar algunas propiedades [describir centros, formas normales, resoluciones minimales...] y plantear problemas en el estudio de sus representaciones.
Si el tiempo alcanza podemos charlar cómo estas álgebras aparecen en lugares extraños, en particular y para sorpresa del público, en la teoría de representaciones de álgebras envolventes cuantizadas especializadas en raíces de la unidad.
10 de abril: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Generalización del criterio de Gateva-Ivanova y Majid
A toda solución de la ecuación de Yang Baxter R sobre un espacio vectorial V se le asocia un álgebra A(R), que es el álgebra tensorial de V módulo el ideal cuadrático generado por el núcleo de R. Cuando R está inducida por una solución conjuntista, A tiene una presentación binomial medio engañosa que esconde un poco la estructura del álgebra. Por ejemplo, un resultado de Gateva-Ivanova y Majid de 2011 dice que ciertas soluciones conjuntistas, a primera vista complicadas, producen anillos de polinomios q-conmutativos. Voy presentar una generalización del criterio de Gateva-Ivanova y Majid, y tratar de convencerlos de que las herramientas que uso son jóvenes promesas en el estudio de estas álgebras.
Marzo.
27 de marzo: Fernando Martin, Universidad de Buenos Aires.
Deformaciones de álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes
Muchos problemas de deformación se enmarcan naturalmente dentro de una teoría de cohomologia. Repasaremos estas ideas y las definiciones básicas asociadas a la teoría de operads para poder estudiar las deformaciones de álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes con estas herramientas.
20 de marzo: Pedro Tamaroff, Trinity College, Dublin.
Endofunctors and Poincaré-Birkhoff-Witt Theorems
Una versión del teorema de Poincare--Birkoff--Witt afirma que, para toda álgebra de Lie L, hay un isomorfismo de espacios vectoriales S(L) --> U(L) natural respecto a morfismos de álgebras de Lie dado por la antisimetrización. Usando el lenguaje de monadas, damos una interpretación categórica y homológica de lo que es un "teorema de PBW". Especializando esto a monadas dadas por endofuntores provenientes de operads, damos una nueva demostración homológica del teorema clásico de PBW y obtenemos nuevos teoremas de PBW para otros pares de algebras. No es necesario conocimiento previo sobre operads: voy a dedicar parte de la charla a introducir estos objetos y explicar como se relacionan con el formalismo de monadas que usamos para definir que es un "teorema de PBW".
https://arxiv.org/pdf/1804.06485.pdf
Una versión del teorema de Poincare--Birkoff--Witt afirma que, para toda álgebra de Lie L, hay un isomorfismo de espacios vectoriales S(L) --> U(L) natural respecto a morfismos de álgebras de Lie dado por la antisimetrización. Usando el lenguaje de monadas, damos una interpretación categórica y homológica de lo que es un "teorema de PBW". Especializando esto a monadas dadas por endofuntores provenientes de operads, damos una nueva demostración homológica del teorema clásico de PBW y obtenemos nuevos teoremas de PBW para otros pares de algebras. No es necesario conocimiento previo sobre operads: voy a dedicar parte de la charla a introducir estos objetos y explicar como se relacionan con el formalismo de monadas que usamos para definir que es un "teorema de PBW".
https://arxiv.org/pdf/1804.06485.pdf
Organizador:
Cristian Chaparro - cchaparro@dm.uba.ar
