Aritmética de curvas elípticas
Profesor: Ariel Pacetti
Puntaje: 4 puntos
Correlatividades: Algebra II (TP) y Algebra Lineal (Final)
Carga horaria: 6 horas semanales
Carreras:
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Profesorado en Matemática
Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
En este curso comenzaremos con la definición de una curva elíptica con su estructura de grupo abeliano (en cualquier cuerpo). Estudiaremos curvas elípticas sobre el cuerpo de números complejos y su correspondencia con retículos en el plano complejo (Teorema de Eichler-Shimura). Continuaremos con el estudio de curvas sobre cuerpos de números, demostraremos el Teorema de Mordell utilizando el método del descenso, y veremos ejemplos donde esta demostración nos permite calcular explícitamente el rango de la curva elíptica (introduciendo el grupo de Tate-Shafarevich). También hablaremos de la noción de isogenías de una curva elíptica. Luego estudiaremos curvas elípticas sobre cuerpos finitos (Teorema de Hasse) y la reducción de una curva sobre un cuerpo modulo primos para poder calcular la torsión. Finalmente definiremos la serie L de una curva elíptica (enunciando la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer) y luego de dar una noción elemental de formas modulares, enunciaremos el famoso Teorema de Shimura-Taniyama-Wiles.Practicas:
- Práctica 1 (generalidades).
- Práctica 2 (curvas complejas).
- Práctica 3 (curvas en cuerpos finitos).
- Práctica 4 (curvas elípticas sobre Q).
- Práctica 5 (formas modulares).
Clase de Laboratorio: acá hay un pdf con la clase hecha en el último laboratorio, y acá está la sesión para ser importada desde el notebook de sage (archivo)
Bibliografía:
- Elliptic Curves, Milne (link)
- The Arithmethic of Elliptic Curves, J. Silverman
- Rational Points on Elliptic Curves, J. Tate , J. Silverman
- Elliptic Curves, W. Knapp
- Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, N. Koblitz
Reunión preliminar:
Horarios: Lunes y Jueves de 10 a 13 hs en el Aula 12 del Pabellón I. Comenzamos el Lunes 17.
