Teoría geométrica de la medida
Primer cuatrimestre de 2011
NOVEDADES: se suspende la clase del jueves 23/6
Horarios y aulas
| Teórica | Lunes y jueves de 14 a 16 hs. | Gabriel Acosta | Aula: 10 (lunes) - 6 (jueves) |
| Práctica | Lunes y jueves de 16 a 17 hs. (más horario de consultas) | Irene Drelichman | Aula: 10 (lunes) - 6 (jueves) |
Puntaje y correlatividades
- Puntaje: 4 puntos para la Licenciatura y el Doctorado.
- Correlatividades: Análisis Real (orientación Pura) o Medida y Probabilidad (orientación Aplicada).
Programa de la materia
- Teoría General de la Medida: repaso de Teoría General de la Medida; teoremas de cubrimiento de Vitali y de Besicovich; diferenciación de medidas de Radon; puntos de Lebesgue; continuidad aproximada; teorema de representación de Riesz; convergencia débil y criterio de compacidad para medidas de Radon
- Medidas de Hausdorff: definición y propiedades elementales; dimensión de Hausdorff; desigualdad Isodiamétrica; LN = HN; densidades; medida de Hausdorff y propiedades elementales de las funciones
- Fórmulas de área y de co-área: funciones Lipschitz, teorema de Rademacher; mapas lineales; Jacobianos; la fórmula de área; la fórmula de co-área
- Funciones de Variación Acotada (BV) y Conjuntos de Perímetro Finito: definiciones; teorema de estructura; aproximación y compacidad; trazas y extensiones; fórmula de co-área para funciones BV; desigualdades Isoperimétricas; la frontera reducida; el borde en el sentido de la teoría de la medida; el teorema de Gauss - Green; propiedades puntuales de funciones BV; variación esencial en líneas; criterio para perímetro finito
- Funciones de Sobolev: definición y propiedades elementales; aproximación, trazas y extensión; desigualdades de Sobolev; teorema de compacidad Rellich - Kondrashov; capacidad; cuasicontinuidad; representante preciso de funciones de Sobolev; diferenciabilidad en líneas
Guías prácticas
- Práctica 1 - Medida e integración
- Práctica 2 - Medida de Hausdorff
- Práctica 3 - Fórmulas de área y coárea
- Práctica 4 - Funciones de Sobolev
Bibliografía
- L.C. Evans - R.F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions". Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, 1992.
- K. Falconer, "Fractal Geometry". Wiley, New York, 1990.
- H. Federer, "Geometric Measure Theory". Springer-Verlag, New York, 1969.
- D. Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
- E. Stein, "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions". Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
- W. Ziemer, "Weakly Differentiable Functions". Springer-Verlag, New York, 1989.
