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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{hyperref}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}
\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.75cm}\setlength{\textheight}{23.5cm}
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\begin{document}
\vskip 0.2cm
\hrulefill
\vskip 0.2cm
\centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
\vskip 0.2cm
\centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2016- TP2. Orden }
\hrulefill
\begin{enumerate}
\item
Para la siguiente ecuaci\'on:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
-\bigtriangleup u+u&=&f& \ \ \mbox{en}\ \ \Omega\\
u&=&g& \ \ \ \mbox{en}\
\Gamma_1\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=&0& \ \ \ \mbox{en}\
\partial\Omega\setminus \Gamma_1\\
\end{array} \right.
\]
Donde $ \Omega=[-1\ 1] \times [-1\ 1],$
$$f=x-x^2/2+y-y^2/2+(x-x^2/2)(y-y^2/2)$$ y
\[g= \left\{ \begin{array}{rcll} -3/2 (y-y^2/2) \mbox{ en } \{(x,y):-1\leq y\leq 1, x=-1\}\\
-3/2 (x-x^2/2) \mbox{ en } \{(x,y):-1\leq x\leq 1, y=-1\}
\end{array} \right.
\]
$\Gamma_1=\{(x,y):-1\leq x\leq 1, y=-1\}\cup\{(x,y):-1\leq y\leq 1, x=-1\} $.
Sabiendo que la soluci\'on es $u=(x-x^2/2)(y-y^2/2)$.
Hacer un programa que:
\begin{enumerate}
\item
Resuelva el problema usando elementos finitos lineales.
\item Calcule las normas $\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}$ y $\|u-u_h\|_{H^1(\Omega)}$ del error.
\item Calcule los dos errores para diferentes valores de $h$ y estime el orden.
\end{enumerate}
\item
Repetir el ejercicio anterior, para la ecuaci\'on:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
-\bigtriangleup u&=&f& \ \ \ \mbox{en}\ \ \Omega\\
u&=&g_1& \ \ \ \mbox{en}\
\Gamma_1\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=&g_2& \ \ \ \mbox{en}\
\partial\Omega\setminus\Gamma_1\\
\end{array} \right.
\]
donde $\Omega$ es dominio poligonal y $\Gamma_1\neq \emptyset$ es una parte del borde. Hacerlo para funciones $f$, $g_1$, $g_2$ donde se conozca la soluci\'on exacta y para distintos dominios poligonales utilizando el mallador \url{ http://persson.berkeley.edu/distmesh/}.
\end{enumerate}
\end{document}
