26/3 - Julio D. Rossi , Sobre la mejor constante y los extremales de la inmersión de trazas.

Abstract: Se estudia la mejor constante y los extremales para la inmersión de trazas W^1,p(Ω) → L^q(∂Ω). Se obtienen resultados sobre comportamientos asintóticos cuando el dominio se contrae o se expande.

2/4 - Gabriela Armentano , Aproximación de autovalores por elementos finitos.

Abstract: La aproximación de autovalores de operadores elípticos de segundo orden mediante elementos finitos nos conduce a un problema de autovalores generalizados cuyas matrices involucran el cálculo de integrales. Vamos a explicar y analizar como es esta aproximación y vamos a demostrar que, en algunos casos, si se introduce integración numérica los autovalores obtenidos de esta forma resultan ser mejores aproximaciones que los obtenidos integrando exactamente.

9/4 - AULA 10, PAB. 1. Juan Pablo Pinasco, Comportamiento asintótico de los autovalores del p-laplaciano.

Abstract: En primer lugar, mostraremos que el espectro del p-laplaciano unidimensional (con pesos continuos) coincide con los autovalores obtenidos variacionalmente. Luego, caracterizamos el comportamiento asintótico de estos autovalores, analizando la función N(λ)que cuenta el número de autovalores menores a λ. Para esto, vamos a explicar de qué se trata el "Dirichlet-Neumann bracketing" y su extensión al caso no lineal en W^1,p.

16/4 - Ariel Lombardi, Un método numérico para problemas singularmente perturbados.

Abstract: Consideraremos los siguientes problemas

-ε∆u + b(x)u = f en Ω, u = 0 en ∂Ω,

-ε∆u + b(x).Ñ u + c(x) u = f en Ω, u = 0 en ∂Ω,

con, por ejemplo, Ω = [0,1] en R, u Ω = [0,1]² en R², y 0<ε<1. Cuando ε es pequeño, la solución de tales problemas presenta capas límites de tipo exponencial cerca de los bordes de Ω. Por esto los métodos numéricos usuales (elementos finitos o diferencias finitas) resultan ineficientes cuando ε es muy chico respecto del tamaño de la malla usada para discretizar.

En esta charla mostraremos una manera de elegir la malla para que el método de elementos finitos lineales produzca buenos resultados, y obtendremos una acotación del error (solución exacta - solución calculada) optimal (respecto de la cantidad de nodos) para la primera ecuación.

30/4 - Noemi Wolanski, Una justificación matemática de una ecuación integro-diferencial para la propagación de llamas esféricas.

Abstract: Daremos una justificación matemáticamente rigurosa de un modelo cuasi-estacionario para llamas esféricas en 3 dimensiones propuesto por G. Joulin. Este modelo fue obtenido por medio de expansiones asintóticas a 3 escalas, para energía de activación tendiendo a infinito, a partir del modelo termo-difusivo clásico cuando el numero de Lewis (razón entre las difusiones de temperatura y de masa) es menor que 1.

La demostración se basa en la construcción de una solución aproximada que reproduce las situaciones supuestas por Joulin, y la demostración de la estabilidad no lineal del problema alrededor de esta "solución".

Lo que se encuentra es una ecuación integro-diferencial para el frente de la llama como función del tiempo rescalado. Se trata de una ecuación que involucra la derivada 1/2 del radio de la llama. La evolución resulta depender del comportamiento limite del dato inicial en el infinito.

07/5 - Gabriel Acosta, Una desigualdad de Poincaré óptima en L¹ para dominios convexos.

Abstract: Para funciones de W^1,p con promedio cero sobre un dominio Ω en Rⁿ cualquiera, es bien conocida la desigualdad de Poincaré:

||u||_Lp(Ω)≤ C ||Du|| _Lp(Ω).

Usualmente esta desigualdad se demuestra por compacidad y por esta vía nada puede decirse de la relación entre la constante C y el dominio Ω. En el caso p=2, y para dominios convexos, Payne y Weinberger probaron

||u||_L2(Ω)≤ (1/π) d ||Du|| _L2(Ω),

donde d es el diámetro del convexo y además la constante 1/ π es óptima. Cierta parte de la demostración usa fuertemente el hecho de que p=2. Sin embargo con una demostración alternativa probamos

||u||_L1(Ω)≤ (1/2) d ||Du|| _L1(Ω),

donde una vez más la constante 1/2 es óptima.

16/5 - Enrique Lami Dozo Soluciones múltiples de problemas elípticos singulares.

Abstract: Trataremos problemas semilineales elípticos de contorno donde la parte no-lineal es una potencia negativa de la incógnita. Estudiamos condiciones sobre el coeficiente de esta parte singular a fines de obtener al menos dos soluciones. Para perturbaciones con potencias positivas de la incógnita, hallamos resultados de tipo Ambrosetti-Prodi en parámetros apropiados. Cada vez obtenemos nuestros resultados como bifurcaciones desde el infinito.

21/5 - Ricardo Durán, La desigualdad de Korn en dominios que no son Lipschitz.

Abstract: La desigualdad de Korn, es una herramienta básica para el análisis del sistema de ecuaciones diferenciales que modelan las pequeñas deformaciones de un sólido elástico que ocupa cierto dominio Ω.

Desde los trabajos pioneros de Korn de principios del siglo pasado se dieron numerosas demostraciones de esta desigualdad bajo distintas suposiciones sobre el dominio Ω

En particular, se sabe que la desigualdad es válida para dominios Lipschitz y que hay abiertos acotados para los cuales no vale.

En esta charla hacemos un repaso de la historia mencionando varias de las distintas demostraciones y presentamos una nueva demostración para una clase de dominios mas general que la de los dominios Lipschitz.

28/5 - Pablo De Nápoli, Sistemas elípticos con p-Laplacianos.

Abstract: Estudiaremos un sistema elíptico de tipo gradiente, esto es de la forma:

∆_pu = F_u(x,u,v), ∆_qv = F_v(x,u,v),

mediante métodos variacionales. La geometría de la funcional asociada depende fuertemente de como es el crecimiento de la función F. Explicaremos que significa para este problema la noción de crecimiento crítico, y como se generaliza la de crecimiento sub o super lineal de la no linealidad.

En el caso en que el problema es de "tipo resonante", introducimos un problema no lineal de autovalores asociado. Esto nos permitirá dar condiciones para asegurar la existencia de solución, que involucran el primer y el segundo autovalor de dicho problema.

Finalmente mencionaremos algunos problemas abiertos.

4/6 - Pablo Grosiman, Continuidad del tiempo de blow-up y aproximaciones numéricas para u_t = λ<∆u + u^p.

Abstract: El problema

tiene soluciones que explotan , es decir que existe un tiempo maximal de existencia T, tal que

lim_t→T||u(., t)||_∞ = +∞.

Estudiaremos la continuidad de T respecto de λ, p y el dato inicial u₀. Luego veremos que las mismas ideas sirven para encontrar una cota en el orden de convergencia del tiempo de blow-up en aproximaciones numéricas semidiscretas para este problema.

11/6 - Sandra Martínez, Sobre el espectro de Fucik en un problema con derivada normal no-lineal.

Abstract: Se define el espectro de Fucik para el p-Laplaciano con derivada normal no-lineal como el conjunto de los (α,β) tales que el siguiente problema

admite una solución no trivial.

En esta charla daremos una caracterización variacional de la primera curva de este espectro y probaremos que las rectas {λ₁} x R y R x {λ₁} son aisladas dentro del espectro.

Finalmente daremos algunas propiedades adicionales de esta primera curva y estudiaremos el comportamiento del espectro cerca de los autovalores variacionales del p-Laplaciano.

25/6, 16hs. -Raúl Ferreira (UAM), The balance between nonlinear inwards and outwards boundary-flux for a nonlinear heat equation.

Abstract: We study nonnegative solutions of

where m, p, q and L are positive parameters. For different values of the parameters three situations may occur: (1) all solutions of this problem exist for all t>0; (2) for certain initial data functions the solution exists for all t>0 while for others the solution blows up as t → T for some finite T; (3) excepting the trivial solution, all solutions blow up as t → T for some finite T. We identify in terms of the parameters which of them actually happens. For solutions which blow up we find the blow-up rate and the blow-up set.

16/7 -Julián Fernández Bonder, Propiedades de simetría de los extremales en la inmersión de trazas de Sobolev.

Abstract: En esta charla se estudiarán propiedades de simetría de los extremales para la inmersión de traza de Sobolev

H¹(B(0,μ)) → L^q(∂B(0,μ)).

Mostraremos que para 1≤ q < 2(N-1)/(N-2), existe un único extremal u que debe ser radial, si μ es pequeño. Luego encontramos una expansión para u en términos de μ y en términos de |x| que nos provee con ciertas propiedades de monotonía para la mejor constante de traza de Sobolev en bolas pequeñas y una estimación uniforme para el radio μ₀ bajo el cual los extremales son radiales.

Para el caso crítico, q = 2(N-1)/(N-2), como consecuencia de nuestros resultados, concluimos la existencia de extremales para μ chico. Finalmente mostramos que, para μ grande, no existen extremales en el caso crítico.

23/7 - Bruno Canuto (Université de Clermont-Ferrand, Francia), Determining two coefficients in elliptic operators via boundary spectral data: a uniqueness result.

Abstract: TBA

23/8 - María Teresa Martínez (UAM), Ecuaciones diferenciales estocásticas. Un resultado de existencia y unicidad.

Abstract: En la primera parte de la charla repasaremos los conceptos fundamentales de procesos estocásticos y del cálculo diferencial estocástico, y en la segunda estudiaremos el efecto regularizador del término de ruido en las ecuaciones diferenciales con coeficientes irregulares. Presentaremos resultados de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales estocásticas cuyo término de deriva satisface una condición de integrabilidad.

1/10 - Constanza Sánchez de La Vega, Control Optimo asociado a Operadores de Volterra.

Abstract: Se considera un problema de control óptimo en tiempo finito donde el estado evoluciona según una ecuación de Volterra y se tienen restricciones en el tiempo final y en el estado en el tiempo final. Se obtienen condiciones necesarias y de transversalidad que debe satisfacer una solución óptima.

8/10 - Juan Pablo Borgna. Estabilidad numérica de la ecuación de Schrödinger periódica no lineal.

Abstract: Consideramos la ecuación de Schrödinger no lineal (NLS)con distintas potencias (generalizando el tipo cúbico) con dato de borde periódico. Esta ecuación aparece, entre otros ejemplos, en la trasmisión de un impulso láser en una fibra óptica. En primer lugar se demuestra, para el caso periódico, la existencia de soluciones estacionarias (o 1-soliton) que dan lugar a soluciones orbitalmente estables (si el dato inicial está cerca del soliton, la solución lo estará para siempre), para esto se caracterizan a estos perfiles solitons como mínimos del funcional de Gagliardo-Nierenberg restringido a un espacio adecaudo. En segundo término proponemos un abordaje numérico por diferencias finitas (discretización en la variable espacial x), así para cada elección de los nodos queda planteado un sistema de ecuaciones ordinarias. Probamos para los sistemas discretos la existencia 1-solitons y de soluciones orbitalmente estables . Por último usamos este resultado para probar la convergencia del método numérico.

15/10 -Julio D. Rossi. Problemas de explosión para una ecuación semilineal con un potencial

Abstract: Se encuentran estimaciones para el tiempo de explosión y el conjunto de explosión para el problema

u_t = ∆ u + V(x) u^p

con condiciones de Dirichlet y un dato inicial casi constante y grande.

22/10 - Julián Fernández Bonder. Sobre la mejor constante de trazas en dominios angostos

Abstract: En esta charla se hablará sobre la dependencia de la mejor constante en la inmersión de trazas de Sobolev con respecto al dominio. En particular, se estudiará como varía dicha constante (y sus extremales) cuando el dominio es aplastado en una dirección.

29/10 - Ricardo Testoni. Interpolación compleja.

Abstract: Veremos cómo, a partir de una sencilla aplicación del Principio del Módulo Máximo para funciones analíticas, se obtiene el Teorema de Interpolación de Riesz-Thorin.

Las ideas básicas de esta demostración son punto de partida del Método de Interpolación Compleja que describiremos en forma general siguiendo algunas de las ideas de Calderón.

12/11 - Carlos Cabrelli. El problema del Sampling.

Abstract: La teoría del Sampling estudia cuando es posible reconstruir completamente una función f a partir de sus valores en un conjunto discreto X={x_k} (conjunto de Sampling). O sea, cuándo la información contenida en {f(x_k)} es suficiente para determinar completamente f. Éste problema tiene importantes aplicaciones en muchas áreas, especialmente en procesamiento de señales e imágenes. En esta charla se tratará de describir algunos aspectos elementales de la teoría, su conexión con Frames y el tipo de matemática involucrada.