SAHHAS 2020
Diciembre
2, 9 y 16 de diciembre: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Álgebras KLR y representaciones de Gelfand-Tsetlin
En un artículo subido este año al ArXiv, Ben Webtser respondió de un plumazo varias preguntas sobre las representaciones de gl(n,C) de tipo Gelfand-Tsetlin [de las que ya hablé varias veces]. Clasificó sus representaciones simples, calculó sus caracteres, y en forma no-del-todo-explícita, construyó bases para estas representaciones.
La construcción de base depende de una familia de álgebras conocidas como álgebras de Khovanov-Lauda-Rouquier. En una primera charla voy a definir estas álgebras y probar algunas propiedades básicas [son muy interesantes por sí mismas], y en la segunda charla voy a contar algunos detalles del trabajo de Ben Webster y de cómo se podría extender a otros casos.
Noviembre
25 de noviembre: Joanna Meinel, University of Bonn.
Gradings and Gerstenhaber Structure
I will discuss the Gerstenhaber structure on the Hochschild cohomology of a family of graded algebras given as quotients of path algebras of a cyclic quiver. In particular the first Hochschild cohomology is given by commuting copies of truncated Virasoro algebras, and the degree derivations play an important role in this description. This is joint work with Nguyen, Pauwels, Redondo, Solotar.
18 de noviembre: Leonardo Alarcón, Univercidad Nacional del Sur.
Valor de las funciones de Igusa-Todorov en los módulos ortogonales a su resolución
Las funciones de Igusa-Todorov fueron definidas en 2005 por K. Igusa y G. Todorov, en su trabajo titulado “On the finitistic global dimension conjecture for Artin algebras”. Dichas funciones son un tema importante de investigación, ya que, guardan relación con diversos campos de la teoría de las representaciones de álgebras de Artin y del álgebra homológica.
Comenzaremos la charla recordando las definiciones de las funciones φ y ψ de Igusa-todorov. Luego, definiremos los módulos ortogonales a su resolución y enunciaremos sus principales propiedades. Finalmente, calcularemos el valor de las funciones φ y ψ en los módulos ortogonales a su resolución.
11 de noviembre: Charla Zhengfang Wang, University of Stuttgart, Germany.
Deformations of path algebras of quivers with relations
Based on Chouhy-Solotar’s projective bimodule resolution, we provide a very explicit method to describe deformations of path algebras of quivers with relations. We will give a range of examples and applications. This is joint work with Severin Barmeier.
Octubre
28 de octubre: Fernando Martin, Universidad de Buenos Aires.
El grupo de Picard de la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra en especies
Un invariante interesante de una categoría monoidal C es su grupo de Picard Pic(C), que se define como el grupo cuyos elementos son las clases de isomorfismo de objetos de C que son inversibles para el producto monoidal y donde la operación está dada por este producto. Veremos que en el caso particular donde la categoría C es la categoría de c-bicomódulos, donde c es una especie combinatoria con hipótesis razonables, se tiene un isomorfismo entre Pic(c_mod_c) y el grupo de automorfismos de coálgebras Aut(c) (de manera análoga a lo que ocurre en la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra coasociativa).
La charla será autocontenida; en particular, voy a definir y contar qué es una especie combinatoria.
Un invariante interesante de una categoría monoidal C es su grupo de Picard Pic(C), que se define como el grupo cuyos elementos son las clases de isomorfismo de objetos de C que son inversibles para el producto monoidal y donde la operación está dada por este producto. Veremos que en el caso particular donde la categoría C es la categoría de c-bicomódulos, donde c es una especie combinatoria con hipótesis razonables, se tiene un isomorfismo entre Pic(c_mod_c) y el grupo de automorfismos de coálgebras Aut(c) (de manera análoga a lo que ocurre en la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra coasociativa).
La charla será autocontenida; en particular, voy a definir y contar qué es una especie combinatoria.
21 de octubre: Gastón García, Universidad Nacional de La Plata.
Deformaciones por 2-cociclos de grupos cuánticos
La mayoría de los grupos cuánticos multiparamétricos conocidos en la literatura se obtienen por a partir de grupos cuánticos uniparamétricos deformando su estructura de álgebra por un 2-cociclo o su estructura de coálgebra por un twist (o 2 cociclo dual). Mostraremos que, bajo ciertas restricciones, ambas formas de deformar grupos cuánticos uniparamétricos asociados a álgebras envolventes de álgebras de Lie semisimples dan como resultado objetos isomorfos. De hecho, se puede obtener una correspondencia biyectiva explícita entre el conjunto de 2-cociclos y el conjunto de twists que dan las deformaciones. En conclusión, se podría afirmar que, bajo ciertas condiciones, existe una sola forma de obtener grupos cuánticos multiparamétricos.
Esta charla está basada en un trabajo en conjunto con Fabio Gavarini (U. Roma 2) que aparecerá en Communications in Contemporary Mathematics.
14 de octubre: Pablo S. Ocal, Texas A&M University.
Hochschild cohomology of general twisted tensor products
The Hochschild cohomology is a tool for studying associative algebras that has a lot of structure: it is a Gerstenhaber algebra. This structure is useful because of its applications in deformation and representation theory, and recently in quantum symmetries. Unfortunately, computing it remains a notoriously difficult task. In this talk we will present techniques that give explicit formulas of the Gerstenhaber algebra structure for general twisted tensor product algebras. This will include an unpretentious introduction to this cohomology and to our objects of interest, as well as the unexpected generality of the techniques. This is joint work with Tekin Karadag, Dustin McPhate, Tolulope Oke, and Sarah Witherspoon.
7 de octubre: Yiby Morales, Universidad de los Andes (Bogotá)
Cohomología de Kac, vista como cohomología relativa de grupos.
De cómo se puede usar cohomología relativa de grupos para describir grupos de extensiones abelianas de álgebras de Hopf (salvo equivalencia), a través del complejo doble de Kac.
Septiembre
30 de septiembre: Fiorela Rossi, Universidad Nacional del Sur.
Estructura L-infinito sobre el complejo de Bardzell para álgebras monomiales.
Sea A un álgebra monomial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Es bien sabido que la cohomología de Hochschild de A puede calcularse utilizando el complejo de Barzdell B(A), más aún este complejo ha demostrado ser más eficiente que el complejo de Hochschild C(A) a la hora de hacer cuentas. En esta charla describiremos de manera explícita una estructura de álgebra L-infinito sobre B(A) que induce una equivalencia L-infinito entre B(A) y C(A) (con la estructura de álgebra de Lie diferencial graduada dada por el corchete de Gerstenhaber). Además, cuando A es un álgebra truncada, obtendremos resultados que nos ayudarán a calcular elementos de Maurer-Cartan.
2 de septiembre: Guillermo Sanmarco, Universidad Nacional de Córdoba.
Sobre álgebras de pre-Nichols con dimensión de Gelfand-Kirillov finita
En esta charla consideramos familias de espacios vectoriales trenzados de tipo diagonal: completamente disconexos, Cartan, super y modular. El objetivo es determinar, para cada una de estas trenzas, todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita. Para ello introducimos la noción de álgebras de pre-Nichols eminentes. Mostramos que, salvo algunas excepciones, las álgebras de pre-Nichols distinguidas son eminentes. Este tratamiento se asienta en el conocimiento de las relaciones que definen, en cada caso, al álgebra de pre-Nichols distinguida, y las excepciones están relacionadas con fenómenos propios de los casos en los que intervienen raíces de la unidad de orden pequeño. Para dos de los casos excepcionales mencionados anteriormente, construimos álgebras de pre-Nichols eminentes que cubren propiamente a las correspondientes distinguidas.
En esta charla consideramos familias de espacios vectoriales trenzados de tipo diagonal: completamente disconexos, Cartan, super y modular. El objetivo es determinar, para cada una de estas trenzas, todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita. Para ello introducimos la noción de álgebras de pre-Nichols eminentes. Mostramos que, salvo algunas excepciones, las álgebras de pre-Nichols distinguidas son eminentes. Este tratamiento se asienta en el conocimiento de las relaciones que definen, en cada caso, al álgebra de pre-Nichols distinguida, y las excepciones están relacionadas con fenómenos propios de los casos en los que intervienen raíces de la unidad de orden pequeño. Para dos de los casos excepcionales mencionados anteriormente, construimos álgebras de pre-Nichols eminentes que cubren propiamente a las correspondientes distinguidas.
Agosto.
12 de agosto: Armando Reyes, Universidad Nacional de Colombia.
Acerca de la conjetura de Köthe en algunas familias de álgebras cuánticas
En esta intervención, consideraremos, en primer lugar, un recuento histórico de la conjetura de Köthe. Luego, en segundo lugar, socializaremos algunas respuestas a esta conjetura en estructuras algebraicas familiares. Finalmente, en tercer lugar, presentaremos el acercamiento que hemos realizado a esta conjetura para ciertas familias de álgebras cuánticas de importancia en geometría algebraica no conmutativa y en geometría diferencial no conmutativa.
Este trabajo es conjunto con Héctor Suárez, y está basado en la siguiente publicación
5 de agosto: Ana Garcia-Elsener, Universidad Nacional de Mar del Plata.
Álgebras de conglomerado y teoría de factorización
Las álgebras de conglomerado fueron introducidas por Fomin y Zelevinsky en 2002 como un objeto que sintetiza las propiedades combinatorias de otros elementos en matemática. Algunas álgebras de conglomerado tienen ciertas propiedades y se dicen acíclicas o localmente acíclicas. En este caso también podemos decir que, como anillos, son dominios de Krull y por lo tanto su factorización puede ser estudiada desde ese punto de vista.
En esta charla vamos a repasar la definición de álgebra de conglomerado con coeficientes, álgebra de conglomerado acíclica y localmente acíclica. Luego hablaremos del grupo de clases, definido para dominios de Krull. Mostraremos que el grupo de clases de un álgebra de conglomerado es abeliano libre. Cuando este grupo es cero podemos afirmar que el anillo es un DFU. Finalmente daremos una fórmula para calcular el rango del grupo de clases en el caso acíclico.
Este es un trabajo en conjunto con Daniel Smertnig y Philipp Lampe.
Julio.
22 y 29 de julio: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Categorías de representaciones de gl(∞)
El álgebra de Lie gl(∞) es el límite inductivo de las álgebra gl(n,C) cuando n tiende a ∞. En principio deberíamos fijar los morfismos entre estas álgebras para poder tomar el límite, pero resulta que el límite es independiente de las inclusiones que elijamos.
Penkov y sus colaboradores estudiaron varias categorías de representaciones de este álgebra [y sus análogos ortogonal y simpléctico], entre ellas las de módulos integrables asociados a una subálgebra reductiva t, que notamos T(t,g). En un artículo de 2016, Dan Cohen, Penkov y Serganova probaron que T(g,g) es Koszul [para un valor generalizado de Koszulidad], y en 2018 Hoyt, Penkov y Serganova conjeturaron que lo mismo vale para T(t,g) con t arbitraria. Vamos a probar esta conjetura, de forma independiente a la demostración en el caso t = g.
15 de julio: Mariano Suárez-Alvarez, Universidad de Buenos Aires.
Una familia de álgebras construidas a partir de cuadrángulos generalizados que contiene a la sexta álgebra de Fomin--Kirillov
En un trabajo a fines de los 90 Fomin y Kirillov, con el objetivo de dar una construcción combinatoria del álgebra de cohomología de una variedad de banderas, construyeron una familia de álgebras cuadráticas, una para cada entero mayor o igual que 3. Ahí observaron que las tres primeras tienen dimensión finita y preguntaron si lo mismo es cierto de las demás.
A pesar de que con el tiempo esas álgebras atrajeron mucha atención más tarde ---son un ejemplo importante en la teoría de álgebras de Nichols que interviene en el problema de clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita con coradical no conmutativo--- el problema sigue completamente abierto. El objetivo de la charla es presentar un contexto alternativo y muy natural en el que uno encuentra también a la sexta (o tercera, dependiendo de cómo uno las numere!) de esas álgebras: el de los cuadrángulos generalizados de Jacques Tits, del trabajo de este en la clasificación de los grupos algebraicos de rango 2 y más tarde importantes en la clasificación de los grupos simples finitos, la teoría de diseños y otras áreas muy variadas de la matemática.
8 de julio: Pedro Tamaroff, Trinity College, Dublin.
Parte II: Dualidad de Koszul, teoría de reescritura y homología de Quillen para operads algebraicos
Junio.
28 de junio: Pedro Tamaroff, Trinity College, Dublin.
Dualidad de Koszul, teoría de reescritura y homología de Quillen para operads algebraicos
En esta serie de dos charlas voy a presentar la teoría elemental de operads (algebraicos), con la idea de hablar sobre operads cuadráticos y Koszulidad como aparece, por ejemplo, en el libro [4], y la teoría de reescritura y de bases de Gröbner para operads que desarrollaron V. Dotsenko y A. Khoroshkin en [3]. Si el tiempo lo permite, también voy a contarles cómo es posible extender los métodos homológicos desarrollados por Green--Happel--Zacharia en [5] y luego generalizados por D. J. Anick en [1] para álgebras asociativas al caso de operads, siguiendo las ideas de Dotsenko y Khoroshkin en [2]. En particular, voy a contarles como las ideas de Anick pueden extenderse en algunos casos y como "falla" (o quizás, como los resultados van en contra de nuestra intución!) en otros.
Referencias
[1] D. J. Anick. On the Homology of Associative Algebras. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 296, No. 2 (Aug., 1986), pp. 641-659.
[2] V Dotsenko, A Khoroshkin. Quillen homology for operads via Gröbner bases. Documenta Mathematica 18 (2013), 707-747.
[3] V. Dotsenko, A. Khoroshkin.Gröbner bases for operads, Duke Math. J., Volume 153, Number 2 (2010), 363-396.
[4] J.-L. Loday, B. Vallette.Algebraic operads, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 346, Springer-Verlag.
[5] E. L. Green, D. Happel, D. Zacharia. Projective resolutions over Artin algebras with zero relations, Illinois J. Math, Volume 29, Issue 1 (1985), 180-190.
Un 'compañero' útil para el libro [4] es el libro Algebraic operads: an algorithmic companion que pueden encontrar aquí.
Referencias
[1] D. J. Anick. On the Homology of Associative Algebras. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 296, No. 2 (Aug., 1986), pp. 641-659.
[2] V Dotsenko, A Khoroshkin. Quillen homology for operads via Gröbner bases. Documenta Mathematica 18 (2013), 707-747.
[3] V. Dotsenko, A. Khoroshkin.Gröbner bases for operads, Duke Math. J., Volume 153, Number 2 (2010), 363-396.
[4] J.-L. Loday, B. Vallette.Algebraic operads, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 346, Springer-Verlag.
[5] E. L. Green, D. Happel, D. Zacharia. Projective resolutions over Artin algebras with zero relations, Illinois J. Math, Volume 29, Issue 1 (1985), 180-190.
Un 'compañero' útil para el libro [4] es el libro Algebraic operads: an algorithmic companion que pueden encontrar aquí.
21 de junio: Marco Armenta, Universidad de Sherbrooke.
Teoría de representaciones de redes neuronales
Las redes neuronales artificiales son las responsables de los recientes avances en inteligencia artificial, como algoritmos que vencen a los campeones internacionales de Go y Starcraft2, y adquirir habilidad sobre humana en tareas como clasificación de objetos y reconocimiento de lenguaje, por mencionar algunos. En esta plática introduciremos algunas nociones conocidas y que no son completamente entendidas en ciencias de la computación e inteligencia artificial, que pueden ser estudiadas en términos de quivers. Esta plática es sobre aplicaciones de la teoría de representaciones al entendimiento de redes neuronales artificiales y la búsqueda por una teoría que explique la eficacia y comportamiento de éstas.
17 de junio: Pablo Zadunaisky, Universidad de Buenos Aires.
Caracteres de Gelfand-Tsetlin
La subálgebra de Gelfand-Tsetlin G del álgebra envolvente U = U(gl_n) es una cierta subálgebra conmutativa maximal de U. Un U-módulo M se dice "Gelfand-Tsetlin" si M se descompone como suma directa de autoespacios de G. El caracter de Gelfand-Tsetlin de M es una función que registra las dimensiones de cada uno de estos autoespacios, de la misma forma que el caracter clásico registra las dimensiones de los autoespacios de la subálgebra de Cartan.
En los 90, Mazorchuk determinó el caracter de un módulo de Verma genérico, y de algunos otros módulos similares. Sin embargo, el problema de hallar el caracter de Vermas con peso máximo íntegro seguía abierto... hasta hace un mes, que terminé la cuenta. En la charla les voy a contar cómo cerramos el problema [junto con Futorny, Grantcharov y Ramirez], y si alcanza el tiempo voy a mencionar algunos avances recientes de Webster que podrían permitir resolver el problema de manera mucho más general.
10 de junio: Yadira Valdivieso, Universidad de Leicester.
Modelo geométrico de la categoría derivada acotada de un álgebra skew-gentle
Las álgebras skew-gentle fueron introducidas por Geiss y de la Peña como una generalización natural de las álgebras gentiles, álgebras ampliamente estudiandas en teoría de representaciones. Mostraron que un álgebra skew-gentle es Morita equivalente a un álgebra de grupo, la cual está definida por una acción de Z2 en un álgebra gentil. Como consecuencia, las álgebras gentiles y skew-gentle tienen varias propiedades en común, como por ejemplo, la dimensión de Gorenstein y el invariante derivado dada por el determinante de la matriz q-Cartan de un álgebra gentil. En esta charla mostraremos un modelo geométrico de la categoría derivada acotada de un álgebra skew-gentle en términos de curvas graduadas en disecciones de superficies orbifolds frontera no vacía, puntos marcados en el interior y con orbifolds de orden dos. Mostraremos además, que el modelo en si, codifica otro tipo de informaciones homológicas del álgebra, como por ejemplo la descripción de su categoría singular, su dimesión Gorenstein, así como el determinante de sus matrices q-Cartan. Este es un trabajo en progreso, con Sibylle Schroll y Daniel Labardini-Fragoso.
3 de junio: Pamela Suárez, Universidad Nacional de Mar del Plata.
Teoría de $\tau$-inclinación: algunas ideas
La teoría de $\tau$-inclinación fue introducida por Adachi, Iyama y Reiten como una generalización de los módulos inclinantes desde el punto de vista de las mutaciones. En esta charla presentaremos el concepto de módulo $\tau$-inclinante soportado y daremos algunos ejemplos y propiedades. Más aún, mostraremos algunos resultados conocidos sobre módulos inclinantes que se generalizan al contexto de módulos $\tau$-inclinantes. En particular, nos concentraremos en el comportamiento de dichos módulos en extensiones de álgebras y estudiaremos la dimensión global del álgebra de endomorfismos de un módulo $\tau$-inclinante.
Mayo.
27 de mayo: Victoria Guazzelli, Universidad Nacional de Mar del Plata.
Relación entre el carcaj ligado de un álgebra y el índice de nilpotencia del radical de su categoría de módulos
Vamos a considerar un álgebra de dimensión finita, básica y conexa, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Es sabido que en este contexto, un álgebra es morita equivalente al álgebra de caminos de un carcaj, cocientado por un ideal admisible. Al par del carcaj junto con dicho ideal, se lo denomina un carcaj ligado del álgebra.
En la Teoría de Representaciones de Álgebras, uno de los problemas que interesan es determinar el tipo de representación de un álgebra dada. Es sabido por un resultado de M. Auslander que un álgebra es de tipo de representación finito si y sólo sí el radical de su categoría de módulos es nilpotente. C. Chaio determinó este índice de nilpotencia conociendo propiedades de algunos morfismos irreducibles de la categoría de módulos.
En esta charla vamos a considerar algunas álgebras (de tipo de representación finito) bien conocidas, como las álgebras inclinadas de conglomerado, álgebras inclinadas iteradas, álgebras de cuerdas, álgebras monomiales, etc. y determinar el índice de nilpotencia del radical de su categoría de módulos en función del carcaj ligado que las representa.
Parte de estos resultados son en conjunto con Claudia Chaio, y otros en conjunto con Claudia Chaio y Pamela Suarez.
20 de mayo: Hipolito Treffinge, Universidad de Leicester.
Sobre las conjeturas de Brauer-Thrall y la teoría de tau-inclinación
En los años 40 del siglo pasado, Brauer y Thrall anunciaron dos resultados importantes sobre el comportamiento de los módulos indescomponibles sobre un álgebra de dimensión finita. Dado que el tiempo pasaba y las pruebas no aparecían, estos enunciados empezaron a ser conocidos bajo el nombre de "conjeturas de Brauer-Thrall". La prueba de estas conjeturas llevó más de cuarenta años y muchas de las herramientas que se desarrollaron para probarlas siguen siendo hoy de una importancia capital para la teoría de representaciones.
En esta charla vamos a empezar motivando las conjeturas a partir de conceptos básicos de la teoría de representaciones y haciendo un breve repaso histórico sobre ellas. Luego vamos a introducir algunos conceptos básicos de la teoría de tau-inclinación que nos van a permitir enunciar una versión tau-inclinante de las conjeturas de Brauer-Thrall y daremos una prueba de la primera ellas para todo álgebra sobre un cuerpo. Este es un trabajo en colaboración con Sibylle Schroll.
Si el tiempo lo permite, también vamos a dar una prueba de la segunda conjetura de Brauer-Thrall tau-inclinante para las álgebras especiales biseriales. Este es un trabajo en colaboración con Sibylle Schroll y Yadira Valdivieso.
En esta charla vamos a empezar motivando las conjeturas a partir de conceptos básicos de la teoría de representaciones y haciendo un breve repaso histórico sobre ellas. Luego vamos a introducir algunos conceptos básicos de la teoría de tau-inclinación que nos van a permitir enunciar una versión tau-inclinante de las conjeturas de Brauer-Thrall y daremos una prueba de la primera ellas para todo álgebra sobre un cuerpo. Este es un trabajo en colaboración con Sibylle Schroll.
Si el tiempo lo permite, también vamos a dar una prueba de la segunda conjetura de Brauer-Thrall tau-inclinante para las álgebras especiales biseriales. Este es un trabajo en colaboración con Sibylle Schroll y Yadira Valdivieso.
6 de mayo: Agustín Muñoz, Universidad de Buenos Aires.
Álgebras cuantizadas y álgebras de Lie asociadas a soluciones conjuntistas de la ecuación de Yang-Baxter
La ecuación de Yang-Baxter es una de las ecuaciones básicas de la física matemática que juega un rol crucial en tópicos como: teoría de nudos, categorías trenzadas, teoría cuántica, geometría no conmutativa, y muchos otros. Presentaremos ciertas estructuras algebraicas asociadas a lo que se conoce como solución conjuntista de la ecuación de Yang-Baxter y mostraremos diversas formas de abordar el estudio de la estructura interna de las mismas. Intentaremos verificar además si se trata de nuevas apariciones de objetos algebraicos conocidos o si por el contrario se trata de nuevas estructuras algebraicas.
Abril.
29 de abril: Mariano Suárez-Álvarez, Universidad de Buenos Aires.
Organizador:
Cristian Chaparro - cchaparro@dm.uba.ar
