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Prácticas

• Práctica Nº1: Números reales y sucesiones.
• Práctica N°2: Series.
• Práctica N°3: Topología de espacios euclídeos.
• Práctica N°4: Continuidad.
• Práctica N°5: Integrales.

Ejercicios para entregar

• 1ra semana
• 2da semana
• 3ra semana
• 4ta semana
• 5ta semana

• Recta real extendida, escrito por Matías Zylberstejn.
• Axiomas de los números reales.
• Notas de Norberto Fava sobre las cortaduras de Dedekind. 
  
• Demostración del teorema de Heine Borel.
  

Exámenes

• Examen integral: viernes 16 de marzo a las 17hs en el aula 2 del Pab. I
  
• Recuperatorio: viernes 23 de marzo a las 17hs en el aula 2 del Pab. II

Programa

1. Números reales y sucesiones. Introducción axiomática de los números reales. Supremo e ínfimo. Límites de sucesiones y puntos de acumulación. Principio de encaje de intervalos. Subsucesiones. Teorema de Bolzano - Weiertrass (toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente). Sucesiones de Cauchy. Definiciones equivalentes de Completitud. Densidad de Q en R. Construcción de los números reales por cortaduras de Dedekind.
2. Series Numéricas. Series convergentes y divergentes. Criterios de convergencia (comparación para términos positivos, criterios de D’Alembert y de Cauchy, series alternadas). Convergencia condicional y absoluta. Reordenamientos. Adición y Multiplicación de series. Series de Potencias.
3. Topología en Rⁿ. Distancias y normas en Rⁿ. Sucesiones de puntos en Rⁿ (convergencia, subsucesiones, sucesiones de Cauchy). Conjuntos abiertos y cerrados en Rⁿ. Clausura, interior, frontera. Puntos de acumulación y puntos aislados. Compacidad (Teorema de Heine-Borel).
4. Funciones Continuas. Límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Continuidad por sucesiones. Propiedades de las funciones continuas sobre compactos. Continuidad uniforme. Discontinuidades de las funciones monótonas. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual y uniforme. Series de funciones. M-test de Weierstrass: aplicación a las series de potencias.
5. Integración. Integral de Riemann-Stieljes. Funciones de variación acotada. Integración por partes. Pasaje al límite en la integral con convergencia uniforme. Variación de una función. Funciones de variación acotada. Relación con la integral de Riemann-Stieltjes.
   

Bibliografía

• S. D. Abbott: Understanding Analysis. Springer-Verlag, New York, 2001.
  
• T. Apostol: Mathematical Analysis. Addison Wesley, Massachusetts, 1958.
  
• W. Rudin: Principios de Análisis Matemático. Mc Graw-Hill, 1980 (3ra. edición).
  
• R. Courant, F. John.: Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. Limusa, México 1985.
  
• R. Creighton Buck: Cálculo Superior. McGraw-Hill, Madrid, 1969.
  
• J. Rey Pastor, C. Pi Calleja, C. Trejo: Análisis Matemático, Vol. I y II. Kapelusz, Buenos Aires, 1959.
  

Otros

• Correlatividades. Para cursar esta materia se tienen que tener aprobados los trabajos prácticos de Análisis I.
  
• Inscripción. Para poder ser incluido en las Actas de Trabajos Prácticos, en caso de aprobar los trabajos prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia y haber completado la encuesta de evaluación docente.
  
• Normas de seguridad. Se recuerda que es obligatoria la lectura de las normas de higiene y seguridad.