Profesor:     GABRIEL LAROTONDA
   
Puntaje:  4 puntos (Lic. y Prof.)

Correlatividades: TP de Geometría Diferencial y Análisis Funcional 

Carga horaria:   6 horas por semana (teórico-prácticas)

Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:
El objeto de la materia es el estudio de variedades diferenciables con una métrica de Finsler concreta, y los problemas métricos que surgen en este contexto. Se hace especial hincapié en evitar el uso de coordenadas y en aplicar los métodos del análisis funcional a saber: cálculo de variaciones, convexidad de la distancia geodésica. Así se estudian los problemas sin limitaciones de dimensión y los aspectos métricos fundamentales no quedan enmascarados por la notación habitual de tensores y sus acompañantes. Se dará especial énfasis a los espacios de curvatura no positiva ya que allí la existencia de cartas globales simplifica aun mas la discusión de los problemas y permite concentrarse en las propiedades de la exponencial.  

Contenidos:
Variedades de Banach, variedades de Banach-Finsler.
Sprays, derivadas covariantes.
Longitud de curvas, métricas, variedades de Banach-Finsler con spray.
El caso Riemanniano como caso particular.
Repaso de cálculo variacional. 
Geodésicas, función exponencial.
El teorema de Hopf-Rinow en dimension finita.
Ejemplo: el teorema de Hopf-Rinow es falso en dimensión infinita.
Geometría métrica.
Espacios de longeur.
Segmentos geodésicos.
Convexidad de la distancia.
Nociones elementales de curvatura no positiva: Busemann y Alexandrov.
Ejemplos vinculados al grupo lineal y operadores acotados .
Repaso de matrices y operadores, traza, normas.
Repaso de cálculo funcional.
Espacios homogéneos.
Ejemplos: matrices y operadores positivos.
Operadores unitarios. 
Aplicaciones.
El teorema de Hopf-Rinow vía convexidad en espacios de curvatura no positiva.
Minimalidad de geodésicas via convexidad de la distancia.
Caso hiperbólico (operadores positivos).
Espacios uniformemente convexos y la unicidad de las geodésicas en el caso hiperbólico.
Minimalidad de geodésicas via cálculo variacional.
Caso elíptico (operadores unitarios y sus espacios homogéneos).
 

LAS CLASES EMPIEZAN EL 14 DE SEPTIEMBRE

Aulas y horarios:  LUNES Y JUEVES DE 11 a 14, AULA 13 PABELLÓN I