Novedades

• Horarios confirmados de la materia: Martes y Viernes de 14 a 16 hs, en el Aula E24, en el entrepiso del Pab. I.
  

  Programa

  • Polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo: Máximo común divisor y factorización única (Repaso). Raı́ces en R[X]: Algoritmos de Descartes y Sturm para determinar el número de raı́ces reales. Equivalencia de las factorizaciones en Q[X] y Z[X]: Polinomios primitivos, Lema de Gauss, Criterio de Eisenstein. El algoritmo de Kronecker de factorización en Q[X].
  • Polinomios en varias variables: Factorización Unica. Polinomios irreducibles. Especialización y polinomios nulos.
  • Ideales de K[X1, ..., Xn]: Ideales monomiales y el Lema de Dickson. Ordenes monomiales. Teorema de la base de Hilbert (Noetherianidad). Algoritmo de división de Hironaka en K[X1, ..., Xn].
  • Bases de Gröbner: Definición, equivalencias y propiedades. Algoritmo de Buchberger de construcción de una base de Gröbner. Aplicación a los problemas de pertenencia de un polinomio a un ideal y representación. Comparación con el punto de vista clásico. El teorema de Eliminación. Operaciones con ideales y bases de Gröbner.
  • Variedades en K^n : Las correspondencias I -> V_K(I) y V -> I_K(V). El radical de un ideal e ideales radicales. Proyecciones de variedades e ideales de eliminación.
  • La correspondencia recı́proca "ideal radical de C[X1, ..., Xn] – variedad de ceros en C^n": La Resultante de dos polinomios en una variable. El Discriminante. El teorema de Extensión. El Nullstellensatz. Equivalencias. La correspondencia. La clausura de Zariski de la proyección de una variedad.
  • Ideales cero-dimensionales: Sistemas con finitas soluciones en C^n . Ideales cero-dimensionales radicales. Cocientes de anillos polinomiales. Ideales cero-dimensionales y la dimensión del espacio vectorial cociente.
  • Descomposición primaria de un ideal: Ideales irreducibles y primarios. Ideales cociente. Descomposición primaria. Componentes aisladas e inmersas. Unicidad de los primos asociados y de las componentes aisladas. Algoritmos para el cálculo de la descomposición primaria de un ideal cero-dimensional (caso racional y caso general)

  Correlatividades

  Para poder cursar esta materia es necesario tener aprobado el final de Álgebra Lineal o equivalente segun carrera
  

  Régimen de aprobación

  Se debe aprobar un prefinal y un final. Para poder ser incluído en las actas de trabajos prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia mediante el sistema de inscripciones de la facultad, y haber completado la encuesta final de evaluación docente.

  Prácticas

  Estas prácticas son las mismas que las del año 2018.
  

  • Práctica 1 - Raíces y factorización en R[x], Q[x] y Z[x]
  • Práctica 2 - Polinomios en K[x1, ..., xn]
  • Práctica 3 - Ideales, órdenes monomiales y algoritmo de división en K[x1, ..., xn]
  • Práctica 4 - Bases de Gröbner y primeras aplicaciones
  • Práctica 5 - Variedades de K^n, ideales de variedades e ideales radicales
  • Práctica 6 - Resultantes, Teorema de extensión y el Nullstellensatz
  • Práctica 7 - Ideales 0-dimensionales
  • Práctica 8 - Descomposión primaria y cocientes

  Bibliografía

  • Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gr¨obner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.
  • Akritas A. : Elements of Computer Algebra with applications. Wiley&Sons, 1989.
  • Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner bases. A computational Approach to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.
  • Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Ideals , Varieties and Algorithms : An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1992.
  • Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. SpringerVerlag, 1998.
  • von zur Gathen J. - Gerhard J. : Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 1999.
  • Geddes K. - Czapor S. - Labahn G. : Algorithms for Computer Algebra. Kluwer Academic Publishers, 1992.
  • Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.
  • Lejeune-Jalabert M. : Effectivit´e des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA. Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.
  • Mignotte M. : Mathématiques pour le Calcul Formel. Presses Universitaires Fran¸caises, 1986.
  • Mignotte M., Stefanescu D. : Polynomials, An Algorithmic Approach. Springer-Verlag, 1999.
  • Mishra, B. : Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.
  • Van der Waerden, B.L. : Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York, 1969.

  Importante

  Se recuerda que es obligatoria la lectura de las normas de higiene y seguridad.