Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Primer Cuatrimestre 2023
Materia optativa Licenciatura y Doctorado en Ciencias Matemáticas
Profesor - Horarios - Aulas
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Teórico - Práctico |
Julián Fernández Bonder | Martes y miércoles de 14 a 16 hs. | Aula 1115 - Edificio 0+∞ |
Información
- Puntaje: A confirmar.
- Forma de aprobación: Entrega de ejercicios y examen final.
- Correlatividades: Ecuaciones Diferenciales A (orientación pura) y Ecuaciones Diferenciales B (orientación aplicada).
Programa de la materia
- Espacios de Sobolev. Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Teoremas de inmersión. Compacidad. Repaso sobre Ecuaciones Lineales Elípticas.
- Cálculo de variaciones. Existencia de minimizantes y puntos críticos de funcionales. El Teorema de paso de la montaña.
- Métodos de monotonía. Métodos de punto fijo. Super y sub-soluciones.
- Teoremas de no existencia. Blow-up y la identidad de Pohozaev.
- Propiedades geométricas de las soluciones. Simetría radial y el método de los planos móviles.
- Espacios de Sobolev fraccionarios y ecuaciones diferenciales no locales.
- El teorema de Bourgain-Brezis-Mironescu.
Bibliografía
- L.C. Evans, "Partial Differential Equations". Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
- L.C. Evans, "Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations". CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74.
- D. Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
- N.V. Krylov, "Lectures on elliptic and parabolic equations in Hölder spaces. Graduate Studies in Mathematics, 12. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
- O.A. Ladyzenskaja - V.A. Solonnikov - N.N. Uralceva, "Linear and quasilinear equations of parabolic type". Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1967.
- M. Renardy - R.C. Rogers, "An Introduction to Partial Differential Equations", Texts in Applied Mathematics 13, Springer-Verlag, 1992.
- J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, "Another look at Sobolev spaces" In Optimal control and partial differential equations, pages 439--455. IOS, Amsterdam, 2001.
- Augusto C. Ponce, "Elliptic PDEs, Measures and Capacities", Tracts in Mathematics 23, European Mathematical Society (EMS), Zurich, 2016 (463 pages)
Prácticas
Se debe entregar el 60% (aprox.) de cada práctica para aprobar la materia
- Práctica 1. Espacios de Sobolev. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
- Práctica 2. Repaso de Ecuaciones Lineales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
- Práctica 3. Métodos Variacionales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
- Práctica 4. Métodos no Variacionales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
- Espacios de Sobolev fraccionarios. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
- Ecuaciones no locales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: A determinar.
Examen Final
El examen final consistirá en la exposición de un trabajo que complemente alguno de los temas vistos en clase. Algunos temas posibles son
- Desigualdades de Sobolev.
- Regularidad Schauder para Ecuaciones Elípticas.
- Multiplicidad de soluciones en problemas variacionales.
- Teoremas de linking para funcionales indefinidos.
- Problemas de autovalores no lineales.
- Teoría de grado y métodos de punto fijo.
- Teoremas de Liouville y aplicaciones.
- Ecuaciones parabólicas semilineales. Existencia, unicidad, regularidad y Blow-up.
- Teorema de Rellich-Pohozaev para sistemas.
- Problemas con exponente crítico.
Una vez elegido el tema, buscaremos la referencia precisa a estudiar.
