Topología Algebraica
Primer cuatrimestre de 2021
Correlativa:
Topología.Horarios:
Teórica: miércoles de 15 a 17hs, viernes de 12 a 14hs. Ejercicios: miércoles de 17 a 18hs. Consultas: a determinar.Modo de aprobación:
Entrega de ejercicios y final (presentación oral de un tema a convenir).Prácticas:
- Práctica 1: Complejos simpliciales/poliedros.
- Práctica 2: Espacios de adjunción y (co)fibraciones.
- Práctica 3: CW-complejos, homología celular y grupos de homotopía.
- Práctica 4: Teoría combinatoria de grupos y espacios finitos.
Presentación:
Estudiaremos nociones clásicas de Topología Algebraica y Teoría de Homotopía y daremos una introducción a temas actuales de investigación en el área. Topología Algebraica es una de las áreas más profundas dentro de Matemática, con aplicaciones en Álgebra, Análisis, Geometría, Combinatoria, Sistemas Dinámicos; en otras ciencias como Física, Química y Biología, y con aplicaciones concretas en análisis topológico de datos, reconocimiento de imágenes, robótica, clasificación de proteínas, entre otros. El curso está dirigido a alumnos de la Licenciatura en sus orientaciones Pura y Aplicada así como alumnos del Doctorado que hayan cursado la materia Topología y deseen profundizar en los conceptos e ideas que ahí se presentan al final de la cursada.Descripción del curso:
El curso se divide en cuatro módulos. El primero gira en torno a los complejos simpliciales, estructuras combinatorias que permiten modelar espacios conocidos como variedades. Se estudiarán nociones de homología y cohomología y el Teorema del Punto fijo de Lefschetz. El segundo módulo sobre CW-complejos se centrará en el estudio de los espacios más utilizados en el área, así como en los grupos de homotopía y el Teorema de Whitehead. El tercer módulo es sobre homotopía en dimensión 2 y Teoría Topológica de grupos: la relación entre CW-complejos de dimensión 2 y presentaciones de grupos. Se investigarán algunos de los problemas abiertos más famosos de esta rama que son estudiados en la actualidad: Conjetura de asfericidad y el caso de los árboles orientados etiquetados, Conjetura de Andrews-Curtis, ecuaciones sobre grupos. El cuarto módulo involucrará espacios topológicos finitos y posets como una segunda estructura combinatoria que permite estudiar problemas abiertos homotópico-algebraicos: por ejemplo la Conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos.Programa de la materia:
Módulo 1: Complejos simpliciales.- 1.1. Complejos simpliciales, realización geométrica, aproximación simplicial.
- 1.2. Homologia simplicial, complejos de cadenas, Teorema del Acyclic Carrier. Aplicaciones clásicas de la homología.
- 1.3. Teorema del punto fijo de Lefschetz. Relación con homología singular.
- Módulo 2: CW-complejos.
- 2.1. Definición constructiva y descriptiva. Cofibraciones.
- 2.2. Homología celular. Grupos de homotopía de orden superior. Relación entre homotopía y homología, Teorema de Hurewicz. Equivalencias débiles, Teorema de Whitehead.
- Módulo 3: Teoría topológica de grupos.
- 3.1. Relación entre 2-complejos y presentaciones de grupos. Tipos homotópicos simples. Conjetura de Andrews-Curtis.
- 3.2. Asfericidad, Conjetura de Whitehead. Árboles orientados etiquetados. Tests de asfericidad y reducibilidad diagramática. Ecuaciones sobre grupos.
- 3.3. Clasificación de tipos homotópicos de 2-complejos con grupo fundamental dado.
- Módulo 4. Posets.
- 4.1. Relación entre espacios finitos y posets. Relación con complejos simpliciales. Teorema de McCord.
- 4.2. Teorema A de Quillen. Aplicaciones combinatorias, Teorema del nervio, Teorema de Dowker.
- 4.3. Conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos.
Bibliografía:
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