Grafos, códigos, sistemas dinámicos y álgebra
Materia Optativa, 2do Cuatrimestre 2023.
(Tópicos de) Grafos, códigos, sistemas dinámicos y álgebra
Horario de clases (teórico-prácticas): Martes y jueves de 13 a 16
Aulas (en Pabellón I): 5 (Martes) y E24 (Jueves).
Carreras: Licenciatura y Doctorado en Matemática
Créditos: 4 puntos
Sistema de aprobación: Entrega de trabajos/ejercicios.Final.
Correlativas: Álgebra II, Topología.
Notas del curso: están en preparación e irán siendo escritas a lo largo del curso. Hacer clic aquí para descargar la última versión.
Programa
1. Alfabetos, corrimientos. Espacios de corrimiento. Idiomas.
Irreducibilidad. Corrimientos en bloque. Conjugación. Códigos de
convolución.
2. Corrimientos de tipo finito. Memoria de un corrimiento. Corrimiento asociado a un grafo. Grafos esenciales. Grafos irreducibles. Grafo asociado a un corrimiento. Partición de estados.
3. Semigrupo asociado a un grafo. Álgebra de Leavitt. Partición de estados y equivalencia de álgebras.
4. Corrimientos y sistemas dinámicos. Espacios de corrimiento como sistemas dinámicos. Teorema de Curtis-Lyndon-Hedlund. Invariantes.
5. Sistemas dinámicos y semigrupos. Grupoide de gérmenes. Álgebra de Steinberg de un grafo. Subálgebra diagonal.
6. Conjugación. Equivalencia de corrimientos. Teorema de descomposición. Equivalencia fuerte. Teorema de clasificación. Equivalencia débil. Invariantes. Primitividad e irreducibilidad. Forma de Jordan fuera de cero. Espectro. Grupo dimensional y grupo de Bowen-Franks. Teorema de Krieger.
7. Grupos de Bowen-Franks y dimensional como invariantes del álgebra de Leavitt. Grupo de Grothendieck de un anillo. Problema de Kirchberg-Phillips. Conjetura de Hazrat.
8. Reconstrucción de un grupoide a partir del álgebra de Steinberg y su diagonal. Teorema de Carlsen-Rout. Equivalencia entre conjugación eventual de corrimientos e isomorfismo graduado de álgebras de Leavitt que preserva la diagonal. Isomorfismos no graduados de álgebras de Leavitt que preservan la diagonal; signo del determinante de la matriz de Bowen-Franks.
Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina. Leavitt path algebras. Lecture Notes in Mathematics 2191. Springer-Verlag, Londres 2017.
Toke Meier Carlsen, James Rout. Diagonal-preserving graded isomorphisms of Steinberg algebras. Commun. Contemp. Math. 20 (2018), no. 6, 1750064, 25 pp.
Guillermo Cortiñas. Álgebra II+I/2: Notas de Teoría de Álgebras. Cursos y Seminarios de Matemática, Serie B, Fascículo 13, Departamento de Matemática, FCEyN, UBA, 2020.
Douglas Lind, Brian Marcus. An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, 2003.
Benjamin Steinberg. A groupoid approach to discrete inverse semigroup algebras. Adv. Math. 223 (2010), no. 2, 689--727.
2. Corrimientos de tipo finito. Memoria de un corrimiento. Corrimiento asociado a un grafo. Grafos esenciales. Grafos irreducibles. Grafo asociado a un corrimiento. Partición de estados.
3. Semigrupo asociado a un grafo. Álgebra de Leavitt. Partición de estados y equivalencia de álgebras.
4. Corrimientos y sistemas dinámicos. Espacios de corrimiento como sistemas dinámicos. Teorema de Curtis-Lyndon-Hedlund. Invariantes.
5. Sistemas dinámicos y semigrupos. Grupoide de gérmenes. Álgebra de Steinberg de un grafo. Subálgebra diagonal.
6. Conjugación. Equivalencia de corrimientos. Teorema de descomposición. Equivalencia fuerte. Teorema de clasificación. Equivalencia débil. Invariantes. Primitividad e irreducibilidad. Forma de Jordan fuera de cero. Espectro. Grupo dimensional y grupo de Bowen-Franks. Teorema de Krieger.
7. Grupos de Bowen-Franks y dimensional como invariantes del álgebra de Leavitt. Grupo de Grothendieck de un anillo. Problema de Kirchberg-Phillips. Conjetura de Hazrat.
8. Reconstrucción de un grupoide a partir del álgebra de Steinberg y su diagonal. Teorema de Carlsen-Rout. Equivalencia entre conjugación eventual de corrimientos e isomorfismo graduado de álgebras de Leavitt que preserva la diagonal. Isomorfismos no graduados de álgebras de Leavitt que preservan la diagonal; signo del determinante de la matriz de Bowen-Franks.
Bibliografía
Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina. Leavitt path algebras. Lecture Notes in Mathematics 2191. Springer-Verlag, Londres 2017.
Toke Meier Carlsen, James Rout. Diagonal-preserving graded isomorphisms of Steinberg algebras. Commun. Contemp. Math. 20 (2018), no. 6, 1750064, 25 pp.
Guillermo Cortiñas. Álgebra II+I/2: Notas de Teoría de Álgebras. Cursos y Seminarios de Matemática, Serie B, Fascículo 13, Departamento de Matemática, FCEyN, UBA, 2020.
Douglas Lind, Brian Marcus. An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, 2003.
Benjamin Steinberg. A groupoid approach to discrete inverse semigroup algebras. Adv. Math. 223 (2010), no. 2, 689--727.
