ABSTRACTS
2017
Homología equivariante y morfismo de ensamble continuamente controlado:
Veremos la definición de homología equivariante y presentaremos al morfismo de ensamble equivariante continuamente controlado como una aplicación que se olvida del control. Por último mostraremos cómo se utilizan estas herramientas en las pruebas de (casos particulares) la conjetura de Farrell-Jones.
Filtraciones de Karoubi asociadas a una categoría continuamente controlada (II):
Concluiremos lo que empezamos la ultima charla: dada la filtración de Karoubi asociada a una categoría continuamente controlada de espacio X y control Y y su subcategoría de objetos con soporte en infinito contenido en un cerrado C contenido en Y, el cociente de dicha filtración es equivalente a la categoría continuamente controlada de gérmenes en Y\C.
Filtraciones de Karoubi asociadas a una categoría continuamente controlada
En continuación con lo que vimos la reunión anterior, definiremos filtraciones de Karoubi que surgen naturalmente en una categoría continuamente controloada asociada a un subespacio cerrado del espacio de control. En un caso particular, la filtración da lugar a una sucesión exacta en K-teoría análoga a la sucesión exacta del cono y la suspensión de un álgebra.
Álgebra continuamente controlada :
El álgebra continuamente controlada es una herramienta que se utiliza en las demostraciones de las conjeturas de Farrell-Jones y Novikov. Los objetos de estudio de esta teoría son las categorías aditivas de los "módulos geométricos" sobre un espacio X. En esta charla daremos las construcciones básicas de estas categorías , focalizandonos en el caso particular en que X es un espacio métrico.
Referencias: 1. Bartels, Farrell, Jones and Reich, On the isomorphism conjecture in algebraic K-theory, Topology 43(1), 2004, 157-213. 2. Carlsson and Pedersen, Controlled algebra and the Novikov conjectures for K- and L-theory, Topology 34(3), 1995, 731-758. 3. Rosenthal, A user's guide to continuously controlled algebra, 2008.
Amenabilidad de álgebras VI:
Terminaremos lo que quedó pendiente y luego, para concluir, estudiaremos la relación entre la amenabilidad algebraica y la amenabilidad en espacios métricos localmente finitos a través de las álgebras de traslaciones.
Amenabilidad de álgebras V:
Continuaremos con los temas de la reunión anterior y luego veremos un ejemplo de álgebra propiamente amenable a izquierda pero no amenable a derecha.
Amenabilidad de álgebras IV:
Empezaremos viendo que las álgebras de Leavitt no son amenables, para luego estudiar las álgebras de camino de Leavitt. Veremos que éstas no son amenables si y sólo si son unitales y propiamente infinitas, y daremos también una caracterización de cuándo son amenables pero no propiamente amenables.
Amenabilidad de álgebras III:
Continuaremos con lo que quedó pendiente de la reunión anterior sobre descomposiciones paradójicas y medidas invariantes, para después empezar a estudiar la amenabilidad en álgebras (de camino) de Leavitt.
Amenabilidad de álgebras II:
Retomando donde habíamos dejado, caracterizaremos las álgebras amenables pero no propiamente amenables y luego definiremos el concepto de descomposición paradójica de un álgebra. Veremos que la no amenabilidad implica la existencia de una tal descomposición. Por último, introduciremos la noción de medida dimensional invariante y estudiaremos su relación con la amenabilidad.
Amenabilidad de álgebras:
Siguiendo el paper "Amenability of coarse spaces and K-algebras" de Ara, Li, Lledó y Wu, definiremos el concepto de amenabilidad (propia) de un álgebra y veremos algunas propiedades básicas. Estudiaremos luego cómo se comporta la amenabilidad bajo unitización y cociente y caracterizaremos las álgebras amenables pero no propiamente amenables. Por último, si queda tiempo empezaremos a ver la relación con descomposiciones paradójicas.
Amenabilidad en espacios métricos y álgebras:
Comenzaremos a estudiar el artículo de Ara,Li, Lledó y Wu: Amenability of coarse spces and K-algebras. En este trabajo se analizan las nociones de amenabilidad y descomposición paradójica desde un punto de vista algebraico. Se considera esta dicotomía para espacios métricos extendidos localmente finitos y para álgebras sobre cuerpos conmutativos.
K-teoría algebraica bivariante G-equivariante y la conjetura de isomorfismo para KH:
Sean G un grupo, l un anillo conmutativo con unidad y A una l-álgebra con una acción de G. La conjetura de isomorfismo para KH afirma que la K-teoría homotópica del producto cruzado de A por G es isomorfa —a través de un morfismo de ensamblaje— a la homología equivariante con coeficientes en KH(A) de cierto espacio clasificante. En esta charla mostraremos cómo identificar al dominio del morfismo de ensamblaje —la homología equivariante con coeficientes en KH(A)— con un grupo de K-teoría algebraica bivariante G-equivariante.
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (VI):
Concluiremos la demostración de Guentner, Willett y Yu sobre la conjetura de Baum-Connes para acciones con dimensión dinámica asintótica finita.
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (V):
En esta reunión concluiremos la demostración de la segunda condición establecida por Guentner, Willett y Yu para probar la conjetura de Baum-Connes para acciones con dimensión dinámica asintótica finita. Para ello demostraremos una versión controlada del teorema de Mayer-Vietoris para K-teoría.
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (IV):
Probaremos que el álgebra de Roe a escala s >=0 de un subgrupoide abierto del grupoide de transforaciones de G y X que está acotada por flechas de longitud s, tiene K-teoría nula. Éste es el primero de dos resultados necesarios para probar la conjetura de Baum-Connes para G con coeficientes en C(X).
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (III):
Comenzaremos a ver como las álgebras de Roe de acciones de grupos G sobre espacios compactos X con dimensión dinámica asintótica finita satisfacen ciertas condiciones que implican la conjuetura de Baum-Connes para G con coeficientes en C(X).
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (II):
Introduciremos la K-teoría controlada y luego, continuando los temas de la reunión pasada, continuaremos viendo los resultados de Guentner, Willett y Yu. Particularmente veremos un resultado que, asumiendo ciertas condiciones sobre los grupos de K-teoría y sobre la K-teoría controlada de las álgebras de Roe asociadas a una acción de un grupo discreto G sobre un espacio compacto X, la conjetura de Baum-Connes para dicho grupo con coeficientes en C(X) es cierta. De ser posible, comenzaremos a ver como las álgebras de Roe de acciones con dimensión dinámica asintótica finita satisfacen dichas condiciones.
Acciones con dimensión dinámica asintótica finita y K-teoría controlada (I):
Definiremos las acciones con dimensión dinámica asintótica finita (fdad) para grupos discretos actuando en un espacio topológico. Luego definiremos las álgebras de Roe y veremos una formulación de la conjetura de Baum-Connes a partir de dichas álgebras. A lo largo de las próximas reuniones veremos los resultados de Guentner, Willett y Yu que prueban la conjetura con coeficientes en espacios con acciones fdad. Para ello utilizaremos elementos de K-teoría controlada, que de tener tiempo, comenzaremos a ver en esta primer reunión.
K-teoría bivariante de álgebras de Leavitt (II):
Continuaremos viendo los temas de la reunión pasada y sus aplicaciones.
K-teoría bivariante de álgebras de Leavitt (I):
Sea \ell un cuerpo. Generalizaremos el teorema fundamental de la K-teoría homotópica probando que, para todo grafo E, el álgebra de Cohn es isomorfa a \ell^{|E^0|} para cualquier teoria de homología escisiva de \ell-álgebras que sea invariante homotópica y matricialmente estable. Luego usaremos esto para probar que hay un triángulo que involucra al álgebra de Leavitt en dichas categorias. Este triángulo da origen a la sucesión exacta larga en la K-teoría homotópica calculada por Cortiñas-Brustenga-Ara. Si alcanza el tiempo, veremos algunas aplicaciones de este resultado.
2016
El teorema de escisión en homología cícica periódica:
Comenzaremos con los preparativos para demostrar el teorema del título.
Algunas consecuencias del teorema de invarianza homotópica:
Utilizaremos la invarianza homotópica de HP para probar que es invariante por extensiones nilpotentes (teorema de Goodwillie), matricialmente estable y numerablemente aditivo.
El teorema de invarianza homotópica en homología cíclica periódica:
Probaremos el teorema del título.
Propiedades de las álgebras casi-libres:
Probaremos un teorema de unicidad a menos de homotopía para presentaciones de una pro-álgebra como cociente de una casi-libre con núcleo pro-nilpotente. Caracterizaremos el complejo cíclico periódico de un álgebra en términos de su extensión pro-nilpotente universal y comenzaremos los preparativos para el teorema de invarianza homotópica de aquel complejo.
Pro-álgebras casi libres:
Probaremos algunas propiedades de la extensión pro-nilpotente universal, introduciremos el concepto de pro-álgebra casi libre y daremos distintas caracterizaciones equivalentes de tales pro-álgebras.
La extensión pro-nilpotente versal:
Construiremos, para cada pro-álgebra A, una extensión pro-nilpotente que se aplica en cualquier otra extensión.
Pro-álgebras y extensiones pro-nilpotentes:
Probaremos que la categoría de álgebras localmente convexas es una subcategoría plena de la de pro-álgebras normadas. Luego introduciremos las pro-álgebras pro-nilpotentes y probaremos algunas propiedades de estabilidad para esta clase de pro-álgebras.
Pro-álgebras y homología cíclica:
Comenzaremos por explicar el rol de la pro-álgebra universal para extensiones nilpotentes en homología cíclica. A continuación estudiaremos algunas propiedades básicas de pro-objetos y finalmente introduciremos las pro-álgebras pro-nilpotentes y veremos algunas de sus propiedades.
Homología cíclica a la Cuntz-Quillen:
Daremos un pantallazo general sobre homología cíclica desde el punto de vista de Cuntz-Quillen. Luego comenzaremos a exponer temas del capítulo de homología cíclica periódica del libro de Ralf Meyer:Local and analytic cyclic homology.
Propiedad de aproximación finita para espacios bornológicos:
Definiremos un análogo de la propiedad de aproximación finita de espacios de Banach para espacios bornológicos, luego utilizaremos esta propiedad para ver que para un producto tensorial de espacios bornológicos, con uno de ellos que poseea la propiedad de aproximación finita, implica que es el producto es subcompleto.
Metrizabilidad de espacios bornológicos II:
Continuaremos estudiando algunas propiedades de los espacios bornológicos metrizables y bajo que casos éstos son subcompletos.
Metrizabilidad de espacios bornológicos:
Definiremos la noción de metrizabilidad de espacios bornológicos. Veremos algunas propiedades de los espacios bornológicos metrizables y luego estudiaremos la relación de la metrizabilidad de un espacio con la propiedad de ser subcompleto.
Disección de extensiones y completación de disecciones:
Estudiaremos el comportamiento de sucesiones exactas cortas de espacios bornológicos bajo el funtor de disección para concluir que es un funtor plenamente exacto. Luego estudiaremos el comportamiento de la completación de espacios bornológicos y su relación con la completación de sistemas inductivos de espacios normados vía la disección. Daremos condiciones necesarias y suficientes para que la disección de la completación sea la completación de la disección.
Disección de espacios bornológicos II:
Continuaremos con las propiedades elementales del funtor de disección de la categoría de espacios bornológicos (resp. separados o completos) a la categoría de sistemas inductivos de de espacios seminormados (resp. normados o de Banach), como ser la adjunción entre dicho funtor y el funtor de colímite (o colímite separado) y otras propiedades más. Luego estudiaremos la imagen esencial del funtor de disección.
Disección de espacios bornológicos I:
Definiremos el funtor de disección entre espacios bornológicos y los sistemas inductivos de espacios seminormados. Veremos que esto resulta también entre un funtor disección entre espacios bornológicos separados y sistemas inductivos de espacios normados y espacios bornológicos completos y sistemas inductivos de espacios de Banach. Luego veremos algunas de sus propiedades.
Categorías de sistemas inductivos II:
Concluiremos algunos resultados de la reunión anterior para ver que las categorías de sistemas inductivos de las categorías Norm_{1/2}, Norm y Ban son bicompletas.
Categorías de sistemas inductivos I:
Probaremos que las categorías de sistemas inductivos de las categorías Norm_{1/2}, Norm y Ban son bicompletas. Luego definiremos los funtores de disección y, si queda tiempo, veremos algunas de sus propiedades.
Categorías Monoidales Simétricas II:
Primero estudiaremos los límites y colímites en las categorías de espacios bornológicos. Luego pasaremos a estudiar las categorías de sistemas inductivos.
Categorías Monoidales Simétricas I:
Daremos las definiciones de álgebras y módulos sobre una categoría monoidal simétrica. Luego hablaremos de categorías monoidales simétricas cerradas, estudiaremos algunas de sus propiedades y mostraremos que las categorías de espacios bornológicos, espacios bornológicos separados y espacios bornológicos completos son categorías monoidales simétricas cerradas.
Integral de Stieltjes en espacios bornológicos
Dado un espacio bornológico completo V definiremos BV([0,1] , V), el espacio de funciones de variación acotada. Dadas f en C([0,1], V) y g en BV([0,1] , V) definiremos la integral de Stieltjes y probaremos algunas identidades.
2015
Construcciones con espacios vectoriales bornológicos II
En la primera parte de la charla estudiaremos las nociones de núcleo, conúcleo, producto y coproducto en las categorías de espacios vectoriales bornológicos, espacios vectoriales bornológicos separados y espacios vectoriales bornológicos completos. En la segunda parte, definiremos el producto tensorial de espacios bornológicos y lo compararemos con el producto tensorial topológico para espacios de Frechet.
Construcciones con
espacios vectoriales bornológicos I
Sean V un espacio vectorial bornológico y W un subespacio vectorial de V. Definiremos la bornología de subespacio en W y la bornología cociente en V/W, y daremos ejemplos de estas construcciones. Definiremos las nociones de núcleo y conúcleo y estudiaremos estas nociones en las categorías de espacios vectoriales bornológicos, espacios vectoriales bornológicos separados y espacios vectoriales bornológicos completos.
- Cuando la topología débil es
patológica
Veremos un resultado de Yamasaki que establece condiciones bajo las cuales la multiplicación en una unión creciente de grupos no resulta continua para la topología débil.
Emanuel Rodríguez Cirone
- Densidad en Espacios
Bornológicos
Definiremos los subconjuntos densos y localmente densos de un espacio bornológico separado y estudiaremos los morfismos acotados con rango uniformemente denso.
La Topología Bornológica II
Dado un espacio bornológico V, continuaremos con el estudio de su topología bornológica. Daremos la noción de bornología relativamente compacta y precompacta. Si V es separado, definiremos sus subconjuntos densos y localmente densos. Finalmente estudiaremos los mapas acotados con rango uniformemente denso.
La Topología Bornológica I
Dado un espacio bornológico V, continuaremos con el estudio de la clausura y de la cápsula discal completa de un subconjunto acotado B. Daremos la definición de conjunto bornológicamente precompacto / compacto relativo / compacto.
Convergencia y Continuidad en Espacios Bornológicos
Estudiaremos las nociones de convergencia y
continuidad en un espacio bornológico V. Veremos además que si V
es de Frechet, estas nociones coinciden si tomamos la bornología
de precompactos Cpt(V), la de von Neumann vN(V), o la topología
usual. Definiremos los conjuntos bornológicamente cerrados de V, y
veremos una caracterización de la cápsula discal completa de un
conjunto acotado B en términos de series convergentes.
Morfismos n-lineales continuos y acotados de LF-espacios
Vamos a intruducir los espacios LF, caracterizaremos sus acotados von Neumann y precompactos. Veremos que un morfismo n-lineal entre LF-espacios, con las bornologías mencionadas antes, es acotado si y solo si fijando n-1 coordenadas es continua.
Morfismos entre Espacios Bornológicos
Sean V_1 y V_2 espacios bornológicos. Definiremos el espacio Hom(V_1,V_2) y le daremos una estructura de espacio bornológico. Generalizaremos este espacio a mapas n-lineales, y en el caso particular de espacios de Fréchet vamos a ver algunas equivalencias de continuidad que involucran funciones acotadas n-lineales de espacios bornológicos von Neumann y precompactos.
Espacios Vectoriales Bornológicos
En esta
primera charla comenzaremos con definiciones básicas acerca de e.v bornológicos; discos, subconjuntos acotados,
bornología, etc.
Por ultimo analizaremos algunos ejemplos importantes de
bornología; "generada" y "de precompactos", y sus respectivos e.v bornológicos.
K-teoría con Soportes Finitos (IV)
En este último encuentro, relacionaremos la K-teoría de soperte finito que desarollamos en las últimas clases con la conjetura de Baum-Connes. Concretamente veremos que el morfismo de Baum-Connes se factoriza por los morfismos naturales K^sfin_ -> K^fin_ -> K_*. Más aún veremos que la conjerura es equivalente a que el morfismo natural de la K-teoría de soporte fuertemente finito K^sfin a la K-teoría usual es un isomorfismo.
K-teoría con Soportes Finitos (III)
A partir de lo que vimos la clase pasada, desarrollaremos la relación entra la KK-teoría de Kasparov y la K-teoría de soportes finitos. Veremos que las C*-álgebras universales que permiten explicitar esta relación son Morita equivalentes a productos cruzados reducidos de C*-álgebras E_F^s y E_F que son las asociadas a una estructura de complejo simplicial pleno sobre el grupo G en cuestión. Dicho resultado (junto con la Dualidad de Baaj-Skandalis y la Dualidad de Takesaki-Takai) permite expresar la K-teoría de soportes finitos para productos cruzados como grupos de KK-teoría de las álgebras E_F^s y E_F. Si el tiempo lo permite comenzaremos a describir como esto se aplica al estudio de la Conjetura de Baum-Connes para el grupo G.
K-teoría con Soportes Finitos (II)
Continuando con lo que vimos la vez anterior y utilizando la noción de soporte de una coacción sobre un módulo de Hillbert, definirmos los grupos de K-teoría de soporte finito y comentaremos su relación con la KK-teoría para coacciones de un grupo definida por Baaj y Skandalis. Luego veremos algunas propiedades de una C*-álgebra universal relacionada con la construcción de dichos grupos de K-teoría.
K-teoría con Soportes Finitos (I)
Comenzaremos definiendo los C*-módulos de Hilbert sobre una C*-álgebra y enunciaremos algunas de sus propiedades básicas. Si tenemos tiempo definiremos acciones y coacciones de un grupo localmente compacto G sobre C*-álgebras y módulos de Hilbert y con ello definiremos los bimódulos de Kasparov.
El Teorema de Rickard para Categorías Derivadas (III)
Usando herramientas sobre álgebras diferenciales graduadas, terminaremos de demostrar el teorema de Rickard.
El Teorema de Rickard para Categorías Derivadas (II)
En esta segunda parte de las charlas terminaremos de ver las propiedades básicas de las resoluciones homotópicamente proyectivas y luego empezaremos a hablar del concepto de funtor derivado en la categoría derivada. Nos concentraremos en los funtores derivados del funtor Hom y del producto tensorial. Si queda tiempo, enunciaremos el teorema de Rickard.
El Teorema de Rickard para Categorías Derivadas (I)
En esta sesión de charlas vamos a
demostrar el teorema de Rickard; el cual estable
condiciones
equivalentes para que dos anillos tengan
categorías derivadas equivalentes. En la primer charla
contaremos las nociones básicas de categorías trianguladas
y categoría derivada de una categoría
abeliana. Luego empezaremos con la noción de resoluciones para complejos.
Complejos Simpliciales No-Conmutativos (III)
Concluiremos el tema
introduciendo los complejos simpliciales plenos ("full"),
que en la literatura son
nombrados también como complejos
"flag" y C*-álgebras asociadas a estos complejos.
Utilizando esto,
definiremos complejos simpliciales plenos
que modelan las esferas S^n y llamaremos a sus C*-álgebras
asociadas esferas no conmutativas S^nc_n. Luego estudiaremos los grupos de K-teoría de las álgebras S^nc_n.
Complejos Simpliciales No-Conmutativos (II)
Continuaremos con el análisis de las C*-álgebras C^*_E asociadas a un
complejo simplicial localmente finito E.
Puntualmente veremos que C^_E
es una C-subálgebra de la suma directa de las C*-álgebras asociadas a
todos sus símplices. Posteriormente introduciremos los complejos
simpliciales plenos ("full"), que en la
literatura son nombrados también
como complejos "flag". Definiremos una C*-álgebra asociada a un
complejo
pleno y haciendo uso de esto introduciremos complejos
simpliciales plenos que modelan las esferas S^n; a
sus C*-álgebras
asociadas las denotaremos como esferas no conmutativas S^nc_n.
Finalmente, si el tiempo lo
permite, haremos algunas observaciones al
respecto de los grupos de KK^G-teoría de las C*-álgebras asociadas
a un complejo simplicial localmente finito y los grupos de K-teoría de las esferas no conmutativas.
Complejos Simpliciales No-Conmutativos (I)
Dado un complejo simplicial localmente finito E definiremos una
C*-álgebra C^*_E asociada a él de manera universal.
Mostraremos algunas
de sus propiedades básicas; entre ellas que su abelianización
(C^_E)^ab = C_E/ [C_E,C_E]
resulta ser isomorfa a C_0(|E|), el
conjunto de funciones continuas del la realización geométrica de E que
se anulan en
infinito y que hay una filtración natural análoga a la filtración por esqueletos de un complejo simplicial.
2014
156. Emanuel Rodríguez Cirone
Clasificación homotópica de fibrados vectoriales (X)
Si X es un CW-complejo, el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales de rango n
está en biyección natural con las clases de homotopía de funciones de X en la Grassmanniana de
n-planos. Repasaremos detalles de este resultado clásico y daremos una idea de la demostración
del resultado análogo en el contexto de la teoría de homotopía motívica, que fue probado por
Morel y Voevodsky.
155. Emanuel Rodríguez Cirone
La categoría de A^1-homotopía (IX)
Sean k un cuerpo perfecto y (Sm_k, Nis) el sitio Nisnevich de k-esquemas suaves, separados y de tipo finito.
Por un resultado de Jardine, la categoría de haces simpliciales en (Sm_k, Nis) admite una estructura de modelos
cuyas equivalencias débiles son los morfismos que inducen equivalencias débiles en todos los puntos.
Describiremos las estructuras monoidal y simplicial de esta categoría de modelos y su variante punteada.
Definiremos la noción de A^1-equivalencia débil. Mediante una localización en la clase de A^1-equivalencias
débiles obtendremos la estructura de modelos usada por Morel y Voevodsky para definir la categoría de A^1-homotopía.
154. Emanuel Rodríguez Cirone
La categoría de A^1-homotopía (VIII)
Sean k un cuerpo perfecto y (Sm_k, Nis) el sitio Nisnevich de k-esquemas suaves, separados y de tipo finito.
Por un resultado de Jardine, la categoría de haces simpliciales en (Sm_k, Nis) admite una estructura de modelos
cuyas equivalencias débiles son los morfismos que inducen equivalencias débiles en todos los puntos.
Describiremos las estructuras monoidal y simplicial de esta categoría de modelos y su variante punteada.
Definiremos la noción de A^1-equivalencia débil. Mediante una localización en la clase de A^1-equivalencias
débiles obtendremos la estructura de modelos usada por Morel y Voevodsky para definir la categoría de A^1-homotopía.
153. Emanuel Rodríguez Cirone
Estructura de modelos simplicial en la categoría de haces para la topología de Nisnevich (VII)
Describiremos una familia conservativa de puntos para el sitio (Sm_k,Nis). Describiremos una estructura de modelos
en la categoría de haces simpliciales para la topología de Nisnevich, cuyas equivalencias débiles son los morfismos
que inducen equivalencias débiles en todos los puntos.
152. Emanuel Rodríguez Cirone
Haces en la topología de Nisnevich (VI)
Terminaremos de probar que un prehaz F es un haz en la topología de Nisnevich si y sólo si F manda cuadrados distinguidos
en cuadrados cartesianos. Describiremos los puntos para la topología de Nisnevich. Definiremos la noción de haz simplicial
con respecto a una topología de Grothendieck.
151. Emanuel Rodríguez Cirone
Haces en la topología de Nisnevich (V)
Veremos algunas propiedades de los haces en la categoría de k-esquemas suaves con la topología de Nisnevich.
150. Emanuel Rodríguez Cirone
Haces en la topología de Nisnevich (IV)
Definiremos la noción de haz en una topología de Grothendieck. Veremos
algunas propiedades de los haces en la categoría de k-esquemas suaves
con la topología de Nisnevich.
149. Emanuel Rodríguez Cirone
Topologías en categorías de esquemas (III)
En la primera parte de la charla definiremos las nociones de morfismo suave y morfismo etale.
En la segunda parte definiremos la noción de sitio y mencionaremos como ejemplo las topologías Zariski,
Nisnevich y etale en una categoría de esquemas.
148. Emanuel Rodríguez Cirone
Esquemas (II)
Definiremos la nociones de esquema, morfismo de esquemas, morfismo suave y morfismo etale. Daremos algunos ejemplos.
147. Emanuel Rodríguez Cirone
Haces y esquemas afines (I)
En la primera parte de la charla introduciremos la noción de haz sobre un espacio topológico y mencionaremos algunas de sus propiedades. En la segunda parte introduciremos la noción de esquema afín y veremos algunos ejemplos.
146. Ma. Eugenia Rodríguez
Representaciones tight de semigrupos inversos
Probaremos que una representación, sobre un semigrupo inverso, es tight si, y solo si la represenatción está soportada en el conjunto
de caracteres tight, que notamos E_t. Veremos también qu existe una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto de representaciones tight
y las -representaciones de C(G_t) (la C*-algebra del grupoide de gérmenes "asociado" al espacio cerrado e invariante E_t).
145. Ma. Eugenia Rodríguez
Filtros y caracteres
Para estudiar las representaciones tight, definidas la vez pasada, necesitaremos la noción de filtro y ultrafiltro,
y especificamente, para las representaciones sobre el álgebra de Boole {0,1}, los caracteres.
Probaremos que existe una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto de todos los filtros y el conjunto de caracteres
de un semireticulado E.
Caracterizaremos también, al conjunto de representaciones tight a partir de caracteres y ultrafiltros.
144. Ma. Eugenia Rodríguez
Representaciones de semi-reticulados
Introduciremos el tema definiendo representación y representación tight de semi-reticu_ lados sobre un álgebra de Boole,
y cubrimiento de un semi-reticulado. Veremos que un álgebra de Boole es un ejemplo de semi-reticulado y daremos
condiciones necesarias y suficientes para que una representación sea tight.
143. Guillermo Cortiñas
Propiedad universal de la C*-álgebra de un semigrupo inverso con respecto a un cerrado invariante de su espectro
Veremos que si S es un semigrupo inverso numerable y X un cerrado invariante de su espectro, entonces las representaciones de S soportadas en X están en correspondencia biyectiva con las de la C*-álgebra del grupoide de gérmenes de la acción de S en X.
142. Guillermo Cortiñas
Subespacios invariantes del espectro de un semigrupo inverso
Un subespacio X del espectro de un semigrupo inverso S es invariante si es estable bajo la acción de S. Restringiendo la acción de S a X se obtiene una acción, cuyo grupoide de gérmenes tiene asociada una C*-álgebra. Veremos algunas propiedades de ese álgebra.
141. Guillermo Cortiñas
Semigrupos inversos, productos cruzados y espectro
Resumen: La charla tendrá dos partes. En la primera parte probaremos que
si S es un semigrupo inverso y X es un espacio localmente compacto de
Hausdorff en el que S actúa por homeomorfismos con dominios que son a la
vez abiertos y cerrados, entonces el álgebra C_c(G) de funciones
continuas de soporte compacto sobre el grupoide de gérmenes de la acción
con producto de convolución es isomorfo al producto cruzado de S con el
álgebra C_c(X). En la segunda parte introduciremos la noción de espectro
de un semigrupo inverso y veremos algunos ejemplos.
140. Diego Montero
Productos cruzados de semigrupos inversos
Definiremos las nociones de acción de un semigrupo inverso S sobre una C*-álgebra A y de producto cruzado de A por S relativo a una acción de S en A. Luego veremos que para todo grupoide G, C*(G) es el producto cruzado bajo la acción de cierto semigrupo inverso en C_0(G^(0)) (el álgebra de funciones continuas sobre el espacios de unidades de G que se anulan en el infinito).
Guillermo Cortiñas
Acciones parciales y productos cruzados algebraicos (I)
Compararemos el producto cruzado algebraico por acciones globales de semigrupos, introducido anteriormente, con el producto cruzado algebraico por accciones parciales. Discutiremos en qué medida los resultados probados para el caso C* son válidos en el caso algebraico.
139. Diego Montero
Productos cruzados de semigrupos inversos
Definiremos las nociones de acción de un semigrupo inverso S sobre una C*-álgebra A y de producto cruzado de A por S relativo a una acción de S en A. Luego veremos que para todo grupoide G, C*(G) es el producto cruzado bajo la acción de cierto semigrupo inverso en C_0(G^(0)) (el álgebra de funciones continuas sobre el espacios de unidades de G que se anulan en el infinito).
138. Diego Montero
Propiedad universal de C*(G)
Sea G el grupoide de gérmenes de una acción de un semigrupo inverso S en un
espacio X localmente compacto y Hausdorff. Introduciremos la noción de representación
covariante de una acción en un espacio de Hilbert H y veremos que bajo ciertas condiciones
una representación covariante de la acción del semigrupo inverso induce una representación
de C*(G) en H.
137. Diego Montero
Estructura pre-graduada en C*(G)
Dado S un semigrupo inverso con una acción en un espacio X locamente compacto y
Hausdorff, veremos que la C*-álgebra C*(G) del grupoide G de gérmenes sobre dicha
acción tiene una estructura pre-graduada sobre S.
137. Diego Montero
Grupoide étale asociado a un grafo (III)
y G su grupoide asociado. Probaremos que el álgebra L(E) es una subálgebra de C_c(G).
que el grupoide étale asociado sea un espacio Hausdorff.
136. Diego Montero
Grupoide étale asociado a un grafo (II)
Dado G= (V,E,r,s) un grafo finito por filas y sin pozos, construiremos un grupoide
étale cuyo espacio de unidades es P(G) el espacio de caminos infinitos en G.
Luego estudiaremos el semigrupo inverso proveniente del conjunto de rebanadas.
135. (1ra. hora) Guillermo Cortiñas
Semigrupo de rebanadas de un grupoide étale
En un grupoide G con espacio de unidades G0 es étale si las aplicaciones
r,s:G\to G0 son homeomorfismos locales. Una rebanada de G es un abierto
U tal que r y s son inyectivas en U. Las rebanadas de un grupoide étale
son una base de su topología. Veremos que el conjunto de rebanadas tiene
estructura de semigrupo inverso, que este semigrupo actúa en G0 y que el
grupoide de gérmenes de esta acción es el grupoide de partida G.
(2do. hora) Diego Montero
Grupoide étale asociado a un grafo (I)
Dado G= (V,E,r,s) un grafo finito por filas y sin pozos, construiremos un
grupoide étale cuyo espacio de unidades es P(G) el espacio de caminos
infinitos en G. Luego estudiaremos el semigrupo inverso proveniente del
conjunto de rebanadas.
134. Guillermo Cortiñas
Grupoides étales, grupoides de gérmenes y productos cruzados
Sea X un espacio discreto y sea \beta X su compactación de Stone-Cech.
Sea I(X) el semigrupo de todas las inyecciones parcialmente definidas de X en X.
La acción de I(X) en X se extiende a una acción en \beta X; sea G el grupoide de
gérmenes. En la primera parte de esta charla, veremos que el álgebra C_c(G) es
isomorfa al producto cruzado algebraico de G con el álgebra \ell^{\infty}(X) de
funciones acotadas.
133. Guillermo Cortiñas
Grupoides de gérmenes y productos cruzados
Cada acción de un semigrupo inverso S en un espacio X tiene asociado un grupoide G y
por tanto un álgebra C_c(G) de funciones continuas de soporte compacto con producto
de convolución. Por otro lado la acción de S en X induce una acción en C_c(X) y podemos
formar el producto cruzado C_c(X)\rtimes S. En la charla examinaremos la relación entre
C_c(X)\rtimes S y C_c(G).
132. Guillermo Cortiñas
Topología del grupoide de gérmenes
Cada acción de un semigrupo inverso S en un espacio localmente compacto Hausdorff X
tiene asociado un grupoide G de gèrmenes de la acción. Veremos que G se puede equipar
con una topología que lo hace un grupoide étale.
131. Guillermo Cortiñas
Acciones de semigrupos inversos. El grupoide de gérmenes
Luego de ver algunas propiedades elementales de semigrupos inversos introduciremos
el concepto de acción de un semigrupo en un espacio topológico y veremos que una tal
acción tiene asociado un grupoide, el grupoide de gérmenes de la acción.
La C*-álgebra de un grupoide étale. Subgrupos inversos
Veremos que el álgebra de operadores compactos en un espacio de
Hilbert es la C*-álgebra de cierto grupoide.
Luego mostraremos que cada
unidad aproximada del álgebra C_c(G^0) de funciones continuas de soporte
compacto en las unidades de un grupoide G
induce una unidad aproximada en C*(G).
Finalmente introduciremos la noción de semigrupo inverso y veremos algunas de sus propiedades básicas.
129. Guillermo Cortiñas
La C*-álgebra de un grupoide étale
Introduciremos el álgebra C_c(G)
de funciones continuas con soporte compacto en un grupoide
étale G con producto de convolución. Veremos que esta *-álgebra
tiene asociada una norma || ||, y de definiremos la C*-álgebra de G,
C*(G), como la completación de C_c(G) con respecto a || ||. Se darán
también algunos ejemplos.
128. Guillermo Cortiñas
Grupoides Etales
Durante este cuatrimestre estudiaremos diversas álgebras
asociadas a grupos, grupoides, y semigrupos.
En esta primera charla daremos la definición de grupoide etal y veremos algunas propiedades básicas.
Hasta el 2013
1. En la primera parte de esta plática daré un resumen de la charla dada en el ERP. En general voy a hablar de fórmulas en teoría del índice para grupoides de Lie. Más precisamente, en el contexto de los grupoides de Lie, voy a exponer un resultado en el cual se prueba la localización (al nivel de símbolos principales) del pairing entre el índice de un operador pseudodiferencial y cualquier cocíclo cíclico periódico. Las herramientas fundamentales en la exposición son la construcción de índices analíticos con soporte compacto para grupoides de Lie, estos índices son construidos usando grupoides de deformacion como el grupoide tangente de Connes. Si el tiempo lo permite hablaré de como estos índices pueden ser también utilizados para restablecer todas las fórmulas (del índice) escalares conocidas para folaciones.
2. La charla tratará el producto tensorial de álgebras de Hopf trenzadas, definido en
M. Graña, J. A. Guccione, J.J. Guccione. How to disentangle two braided Hopf algebras.arXiv
3. Se expondrá el trabajo de W. Crawley-Boevey, P. Etingof, V. Ginzburg, Noncommutative Geometry and Quiver algebras, arXiv
4. Los grupos cuánticos -en una de sus encarnaciones posibles- son deformaciones de las álgebras envolventes de álgebras de Lie semisimples. Uno los puede construir con la presentación de Chevalley, deformando las relaciones. Esta teoría es casi clásica hoy en día. Otra manera de construirlos, más a la Lusztig, es comenzar con la matriz de Cartan y hacer actuar el grupo de Weyl. Lo nuevo, el último grito, es considerar matrices de Cartan más generales, que obligan a remplazar el grupo de Weyl por un grupoide. Como en el caso clásico, uno consigue álgebras de dimensión finita (o de dim. de Gelfand-Kirillov finita) si el grupoide resultante es finito.
5. Dado un carcaj (=grafo orientado) Q y un cuerpo k, es posible asociar a Q diversas k-álgebras. La más conocida es el álgebra de caminos, PQ. Localizando PQ se obtiene una nueva álgebra, llamada el álgebra de Leavitt LQ, que viene equipada con una involución natural. Si k es el cuerpo de los complejos, se puede ver LQ como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert; su completación es una C*-álgebra CQ, el álgebra de Cuntz-Krieger del carcaj. En la charla se verán algunos ejemplos y propiedades de estas álgebras.
6. Se expondrá el trabajo de G. Carboni, J.A. Guccione, J.J. Guccione, Cyclic homology of crossed products, arxiv
7. Mostraremos cómo puede construirse la familia de los Uq(sl2)-módulos simples de dimensión finita y mostraremos cómo se deforma esto al generalizarlo a álgebras de Nichols de rango 1.
8. Las álgebras de Yang-Mills fueron introducidas por Alain Connes y Michel Dubois-Violette en [CD1], en relación al estudio de ciertos problemas planteados en la teoría de cuerdas y la teoría de campos no conmutativos (cf. [Ne1], donde el autor insiste en la necesidad de conocer la teoría de representaciones para estas álgebras). Aunque es posible describir de forma sencilla todas las representaciones irreducibles de dimensión finita y en algún sentido todas las representaciones de dimensión finita, el problema de describir la categoría completa de representaciones de las álgebras de Yang-Mills es demasiado complejo. En esta charla, luego de presentar las definiciones generales y repasar las propiedades generales para este tipo de álgebras nos concentramos en mostrar familias de representaciones lo suficientemente finas como para distinguir elementos de estas álgebras. Para ello hicimos uso del método de órbitas de Kirillov, que permite relacionar las álgebras de Yang-Mills con las álgebras de Weyl. Esto permite hallar varias familias de representaciones, ya que las representaciones de las álgebras de Weyl generalizadas fueron estudiadas previamente por Bavula y Bekkert en [BB].
Por otro lado, se presentarán también las propiedades homológicas de las álgebras de Yang-Mills, en particular, su homología de Hochschild y cíclica, obteniendo de este modo también su cohomología ya que existe una dualidad entre ambas. El resultado fundamental para estudiar las homologías mencionadas es que el álgebra de Lie de Yang- Mills posee un ideal que en sí mismo es un álgebra de Lie libre. Esta idea había sido ya utilizada por Movshev (cf. [Mov]) en su trabajo inédito sobre las álgebras de Yang-Mills, tendiente a calcular la homología.
Estos resultados forman parte de mi trabajo de doctorado con la Dra. Andrea Solotar.
Referencias
[BB] Bavula, V.; Bekkert, V. Indecomposable representations of generalized Weyl algebras. Comm. Algebra 28, (2000), no.
11, pp. 5067–5100.
[CD1] Connes, A.; Dubois-Violette, M. Yang-Mills Algebra. Lett. Math. Phys. 61, (2002), no. 2, pp. 149–158.
[Mov] Movshev, M. On deformations of Yang-Mills algebras. hep-th/0509119.
[Ne1] Nekrasov, N. Lectures on open strings and noncommutative gauge fields. Unity from duality: gravity, gauge
theory and strings (Les Houches, 2001), pp. 477–495, NATO Adv. Study Inst., EDP Sci., Les Ulis, 2003.
9. Este es un trabajo conjunto con Laura Barberis y Marco Farinati. Se expondrán los resultados de clasificación de las biálgebras de Lie reales de dimensión 3 y el estado de avance de la
clasificación de las de dimensión 4. Se expondrán resultados generales que resultan útiles en la tarea de clasificación.
10. Las charlas versarán sobre la noción de estructura simpléctica en el contexto no conmutativo. El ejemplo principal es la estructura simpléctica en el espacio cotangente no conmutativo de un álgebra no conmutativa suave. El teorema de reducción hamiltoniana de Crawley-Boevey, Etingof y Ginzburg, permite transladar parte de esta estructura a cierto cerrado del espacio cotangente, i.e. cierto cociente de su álgebra de secciones. En el caso del álgebra de caminos de un carcaj Q, el espacio cotangente (o, mejor dicho, su anillo de secciones globales) es el álgebra de caminos del doble de Q, y el corchete de Poisson inducido por la estructura simpléctica es el corchete de Kontsevich. El cociente hamiltoniano es el álgebra preproyectiva asociada a Q.
También se explicará la relación existente entre la estructura simpléctica de un álgebra suave no conmutativa A, y la estructura simpléctica en la variedad algebraica conmutativa rep_nA de sus representaciones de dimensión n.
Esta es la última serie de charlas sobre el trabajo de W. Crawley-Boevey, P.Etingof y V. Ginzburg Noncommutative Geometry and Quiver algebras, arXiv
11. En esta charla mostraremos algunas de las técnicas con las que pueden estudiarse álgebras de Hopf punteadas sobre grupos no abelianos. En particular, nos concentraremos en álgebras de Hopf punteadas sobre algunos grupos simples esporádicos: J1, J2, J3, He, M. Trabajo en desarrollo y en colaboración con N. Andruskiewitsch, F. Fantino y M.
Graña.
12. En esta charla repasaremos brevemente los conceptos de colímites homotópicos y de fibraciones de Grothendieck, hablaremos de la caracterización de Thomason de los colímites homotópicos en Cat, y extenderemos esta construcción al caso de pseudofuntores usando nervios alternativos para fibraciones.
13. En esta charla hablaré de la conexión entre estos dos campos de la matematica, y algunas investigaciones recientes de mi grupo. La mayor parte de la charla sera de nivel introductorio.
14. Dado un cubrimiento de Galois F: A -> B, con A, B categorías k-lineales, nos interesa mostrar la relación que existe entre las representaciones de las categorías A y B, y mostrar que el tipo de representación finito es preservado por esta construcción.
15. Se expondrá el trabajo V. Ginzburg, T. Schedler, Free products, cyclic homology, and the Gauss-Manin connection, arxiv
16. Sea k un cuerpo de característica cero. El objetivo de esta charla es mostrar que si una k-álgebra asociativa y unitaria tiene una familia de derivaciones dobles que satisface condiciones adecuadas, entonces es canónicamente isomorfa al álgebra de un carcaj.
17. El caracter de Chern ch: K(R)--->HN(R) va de la K-teoría de un anillo R en su homología cíclica negativa. Su construcción involucra el morfismo canónico de Goodwillie que va de la homología H(G) de un grupo G en HN(Z[G]). En la charla veremos que esa construcción se generaliza a álgebras de Hopf coconmutativas, y discutiremos algunas aplicaciones de este hecho.
18. Se presentará la definición de Rieffel de deformación cuántica, y se mostrará cómo se pueden construir ejemplos a partir de los productos cruzados por C*-bimódulos de Hilbert.
19. En 1966, R. Stong muestra cómo decidir de manera muy sencilla si dos espacios topológicos finitos son homotópicamente equivalentes. Stong define la noción de "beat point" y prueba que dos espacios finitos tienen el mismo tipo homotópico si y sólo si uno puede obtener uno a partir del otro quitando y agregando beat points. La idea combinatoria de utilizar movimientos elementales para describir clases de equivalencia aparece en varias áreas en matemática: las transformaciones de Tietze para presentaciones de grupos y los colapsos simpliciales de Whitehead para describir los tipos homotópicos simples son dos importantes ejemplos.
Decidir si dos espacios finitos son débilmente equivalentes resulta un problema mucho más complejo. En el contexto de los espacios finitos, las nociones de homotopía y homotopía débil son muy distintas. La conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos de un grupo afirma justamente que si este espacio finito es homotópicamente trivial, entonces es contráctil. Los tipos homotópicos débiles de espacios finitos están directamente relacionados con los tipos homotópicos de poliedros.
En esta charla mostraré cómo estudiar teoría de homotopía de poliedros por medio de movimientos elementales de espacios finitos que los modelan.
20. En esta charla expositoria presentaré una construcción no muy estudiada de algebras de operadores. Mas precisamente, explicaré como construir un algebra de von Neumann a partir de un grupo numerable $G$ y un 2-cociclo de G a valores en $\mathbb T$. En particular, esta construcción ofrece una descripción alternativa del toro no conmutativo presentado en la charla de B. Abadie. Si el tiempo lo permite, explicaré cómo el estudio de estas algebras nos permitió resolver varios problemas abiertos acerca de las algebras de von Neumann. Esto es parte de un trabajo conjunto con S. Popa y R. Nicoara.
P.D: No es necesario saber lo que es un álgebra de von Neumann para entender la mayor parte de la charla.
21. Durante las charlas vamos a seguir el Paper "Semicanonical bases and Preprojective Algebras" (Christof Geiss, Bernard Leclerc, Jan Schröer). El objetivo central va a ser estudiar las representaciones del Álgebra Preproyectiva asociada a un Quiver , para ello vamos a definir un Álgebra de Hopf que tiene información de la Variedad de Módulos del Álgebra Preproyectiva y veremos una inmersión de la misma en el Álgebra se Shuffles.
22. In this talk I will recall the classical Schur-Weyl duality which relates complex representations of the general linear groups and symmetric groups. Then I will discuss what can said about the corresponding relation when the ground field has positive characteristic or when we pass to quantum groups at roots of unity. In both these situations the representations are no longer completely reducible but nevertheless there are still valid versions of Schur-Weyl duality.
La cohomología elíptica es una teoría de cohomología generalizada descubierta a fines de los 80. Esta relacionada con teoría del índice de operadores, teoría de formas modulares y teoría de supercuerdas.
En esta charla presentaré una descripción de la cohomología eliptica y sus relaciones con las áreas mencionadas.
24. Expondré los resultados y construcciones que se indican en el titulo, siguiendo el trabajo de Ginzburg y Kapranov "Koszul duality for operads".
Starting with the notion of (co)module (co)algebras I will describe how such Hopf actions and coactions interact with Hoschschild and cyclic (co)homology complexes we construct using such (co)algebras.
26. Gracias a la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dim finita sobre grupos abelianos, se pudo comenzar a probar que numerosos grupos no tienen "encima" un álgebra de Hopf no trivial o, en el peor de los casos, acotar mucho qué álgebras puede tener. Aquí miramos los grupos PSL(2,q) = PSL(2,F_q). En la charla voy a explicar el abstract. Es un trabajo conjunto con Sebastián Freyre y Leandro Vendramin.
27.La charla versará sobre un trabajo conjunto con A. Thom. En ese trabajo probamos un teorema de invarianza homotópica para funtores de $\mathbb{C}$-álgebras conmutativas en grupos abelianos. El teorema dice que si $F$ satisface ciertas condiciones algebraicas, entonces el funtor que manda un espacio compacto de Hausdorff $X$ a $F(C(X))$, es invariante homotópico. Aquí $C(X)$ es el álgebra de funciones continuas $X\to \mathbb{C}$. En la charla mostraremos algunas aplicaciones de este teorema, como por ejemplo la confirmación de una conjetura formulada por Rosenberg en 1990: para todo $n<0$, el funtor $X\mapsto K_n(C(X))$ que envía a $X$ en la $K$-teoría algebraica negativa de $C(X)$, es invariante homotópico.
28.Se realizan cálculos de homología de Hochschild y cíclica de intersecciones completas con singularidades aisladas.
29. Se hará una introducción a la teoría de operads, siguiendo el capítulo 1 del libro "Operads in algebra, topology and physics", de Markl, Shnider y Stasheff.
30.En 1967 D. Kazdhan demostró que muchos grupos algebráicos, (los de rango real >2) son finitamente generados. Este resultado es un corolario de lo que se conoce como propiedad (T), una noción sobre la existencia de vectores invariantes para representaciones unitarias de grupos.
Desde ese entonces, la propiedad (T) ha tenido muchísimas aplicaciones en varias ramas de la matemática. Algunos ejemplos son la solución del problema de Ruziewicz sobre la existencia de medidas invariantes en la n-esfera, la construcción de grafos expanders, la construcción de algebras de von Neumann sin automorfismos exteriores entre otras.
En esta charla daremos una introducción a la propiedad (T) de Kazdhan y a otras propiedades de representaciones de grupos relacionadas como la propiedad H de Haagerup (tambien llamada a-T-menability), la propiedad (T) relativa, y amenabilidad.
31.Los racks son estructuras combinatorias muy utilizadas en álgebra y teoría de nudos. En teoría de nudos, por ejemplo, dan invariantes. En álgebra, por ejemplo, dan soluciones de la ecuación de trenzas. En esta charla presentaremos un software para poder realizar cálculos relacionados con racks, sus (co)homologías, y álgebras de Nichols. Es un trabajo en colaboración con Matías Graña.
32.En la charla contare parte de un trabajo en curso, realizado en colaboracion con Maria julia Redondo y Claude Cibils. Luego de recordar algunas definiciones y resultados que simplifican el calculo del grupo fundamental intrinseco que definimos, aplicare estos al calculo del grupo fundamental de algebras de matrices.
33. Los trabajos de J. Cuntz y N. Higson en la KK-teoría de Kasparov motivaron a G.Cortiñas y A. Thom a definir una k-teoria bivariante para álgebras.
Veremos que la k-teoría bivariante algebraica admite una versión equivariante: en primer lugar definiremos una k-teoría bivariante para kG-álgebras (en términos de propiedades para las cuales esta teoría es universal) y luego veremos que si H es un álgebra de Hopf de dimensión finita se puede definir una k-teoría bivariante para H-módulo algebras.
Veremos que si G es finito (H es semisimple) los funtores producto cruzado (producto #) y la acción trivial son funtores adjuntos a nivel de las categorías de kk-teoría. Esto no ocurre a nivel de las categoría de álgebras. Este teorema se conoce como Teorema de Green-Julg en el contexto de KK-teoría de Kasparov. Veremos además un teorema de adjunción para funtores de inducción y restricción.
34. Principal bundles can be viewed as functors associating vector bundles to group representations. Combining such a functor with the Chern-Weil formalism allows one to compute invariants of vector bundles. A noncommutative-geometric generalization of this construction is a functor called the Chern-Galois character.
It transforms quantum-group representations into cyclic homology classes. On the other hand, principal bundles give rise to the Ehresmann groupoids beautifully codifying their structure. A noncommutative version of this construction is a quantum groupoid devised by Schauenburg.
The talk will be focused on showing that the Chern-Galois character factorizes through cyclic homology groups intrinsically defined by the structure of the Ehresmann-Schauenburg quantum groupoid. This factorization gives a hope for finer invariants and shows unexpected links between the classical Chern character and Ehresmann groupoid. (Joint work with Gabriella Boehm.)
36. Drinfel'd propuso en 1992 clasificar las soluciones conjuntistas de la Ecuación de Yang-Baxter, es decir, las aplicaciones r:X^2→X^2 que satisfacen la ecuación $r_{12}r_{13}r_{23}=r_{23}r_{13}r_{12}$, donde $r_{ij}:X^3\rightarrow X^3$, actúa como $r$ en las posiciones $(i,j)$ y como la identidad en la otra posición. Este problema está todavía lejos de ser solucionado. Gateva-Ivanova y Van der Bergh, e independientemente Etingoff, Schedler y Soloviev, han obtenido recientemente, una interpretación en términos de grupos, de las soluciones que son involutivas y no degeneradas. Jespers y Okninski han demostrado que los grupos asociados a dichas soluciones son los subgrupos del producto semidirecto $\mathbb{Z}^n \rtimes S_n$, con la acción natural del grupo simétrico $S_n$ en el grupo abeliano libre $\mathbb{Z}^n$, que proyectan biyectivamente en $\mathbb{Z}^n$. Los grupos involutivos de Yang-Baxter (grupos IYB) son las proyecciones en la segunda componente de dichos grupos. Un primer paso para clasificar las soluciones conjuntistas involutivas y no degeneradas consistiría en clasificar los grupos IYB. El segundo paso consistiría en calcular, para cada grupo IYB $G$, las soluciones cuyo grupo IYB asociado es $G$.
Es bien conocido que todo grupo IYB es resoluble. Mostraremos varios resultados, obtenidos en colaboración con Ferran Cedó y Eric Jespers, que soportan el recíproco de esta propiedad.
37.En esta charla comentaré algunos resultados y ejemplos clásicos sobre homología de grupos desde el punto de vista topológico. Veremos primero la interpretacion topologica de la homología de grupos y luego se mostrará como utilizar la topología para calcular dicha homología en algunos casos. Por último estudiaremos un teorema clásico de Hopf que relaciona la homología y homotopía de un espacio con la homología de su grupo fundamental.
Un esquema de asociación es una estructura combinatórica que aparece bajo diferentes formas en estadística, particularmente en el diseño es experimentos, en combinatoria y en teoría de códigos. Una herramienta importante en el estudio de este tipos de objetos es la llamada álgebra de Terwilliger [Terwilliger, Paul. The subconstituent algebra of an association scheme. I. J. Algebraic Combin. 1 (1992), no. 4,
363--388; Terwilliger, Paul The subconstituent algebra of an association scheme. II. J. Algebraic Combin. 2 (1993), no. 1, 73--103.] y, en cierta forma, el estudio de esta álgebra y de sus representaciones puede verse como una versión discreta del análisis armónico clásico sobre espacios homogéneos.
Una fuente importante de ejemplos de esquemas de asociación es la clase de los grafos llamados distancia-regulares, entre los que se encuentran los grafos de adyacencia de los poliedros regulares.
En esta charla discutiremos el problema de la descripción del álgebra de Terwilliger en estos ejemplos.
39. Serie de charlas acerca del espacio [I,J] de conmutadores entre dos ideales del álgebra B(H) de operadores acotados en un espacio de Hilbert separable.
Básicamente se trata de exponer el enunciado y la demostración del teorema principal del siguiente trabajo Dykema, Ken; Figiel, Tadeusz; Weiss, Gary; Wodzicki, Mariusz, Commutator structure of operator ideals. Adv. Math. 185 (2004), no. 1, 1--79, y algunas de sus aplicaciones al cálculo de homología cíclica y K-teoría algebraica, como las enunciadas en Wodzicki, Mariusz. Algebraic $K$-theory and functional analysis, First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), 485--496, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Basel, 1994.
40. Para álgebras de Lie, la descomposición de Levi que dice que un álgebra de Lie siempre es (isomorfa a) su radical soluble producto semidirecto un álgebra semisimple, de alguna manera indica que para "entender" las algebras de Lie hay que (empezar por) entender a las solubles, y a las semisimples. Para biálgebras de Lie no existe tal descomposición, y no esta claro cuales son las familias importantes de bialgebras de Lie que conviene (empezar a) estudiar. En esta charla repasaremos un poco lo que se conoce en general sobre bialgebras de Lie (de dimensión finita) y mostrare una técnica de construcción inductiva (en la dimensión) para producir (todos los) ejemplos de biálgebras de Lie cuyo doble es soluble.
41. En esta charla describiremos una desingularizacion del orbifold C^2/Z_2 y su relacion con el instanton de Eguchi-Hanson.
Ademas daremos un recuento de las propiedades mas importantes de los espacios hiperkahler en 4 dimensiones (es decir, con holonomia SU(2)), y mostraremos que el instanton de Eguchi-Hanson es de este tipo.
42. Paul Smith. In 1900 Engel gave an elegant description of the exceptional Lie group of type G2 by defining it as the stabilizer of a point in the unique dense orbit of GL(7) acting on the 3-forms on the complex vector space of dimension 7. Over the field of real numbers there are two open orbits for the action of GL(7) on the 3-forms on R7 and stabilizers of points in these orbits are real forms of G2. Starting with such a 3-form we define an algebra A that has some very nice properties. It is a graded algebra on 7 generators with 7 quadratic relations. A is far from being noetherian, but it is coherent (this was shown to me by Piontkovski). It has exponential growth with Hilbert series (1-7t+7t^2-t^3)^{-1}. G2 acts as automorphisms of A. It is an Artin-Schelter regular of global homological dimension 3. It is a Calabi-Yau algebra. It is Koszul. I expect A has a much richer structure so part of the talk will focus on what we do not know about it. The Fano plane and the octonions also appear because they provide organizing principles for various features of the algebra. For example, when the degree-1 component A1 is identified with the imaginary octonions in the appropriate way, and P is a 3-plane in A1, then A/APA is a polynomial ring in 4 variables when P is the imaginary part of a copy of the quaternions, and otherwise A/APA is a non-commutative algebra that has appeared in the work of Connes and Dubois-Violette.
43. Leandro Lombardi. En esta serie de charlas discutiremos la definición dada por G. Segal de una CFT (Teoría conforme de campos).
44. Beatriz Abadie. Se definirá el concepto de ergodicidad única con respecto a la subálgebra de puntos fijos para automorfismos en una C*-algebra con unidad. Se presentará el ejemplo del shift libre en la C*-álgebra reducida del grupo libre con n generadores y se describirá como este resultado puede extenderse al caso del shift libre en el producto libre amalgamado y reducido de C*-álgebras.
A la página del seminario.
45. Sergio Yuhjtman. Hablaré en primer lugar sobre la estructura matemática de los modelos utilizados en física cuántica, contando algunos ejemplos y temas tales como el principio de incertidumbre y simetrías de una teoría. A continuación daré motivaciones de la teoría cuántica de campos, para luego exponer la formulación axiomática. Contaré algunos resultados fundamentales y algo sobre el rumbo de la investigación en el área.
A la página del seminario.
46. Leandro Vendramin. Racks y álgebras de Nichols de dimensión finita: En esta charla se expondrán algunos aspectos matemáticos relacionados con la ecuación de Yang-Baxter: grupos cuánticos y álgebras de Nichols, invariantes de nudos, álgebras de Nichols, racks y soluciones conjuntistas.
A la página del seminario.
47. Daniel Galicer. Aron y Berner, basados en la extensión de Arens para el producto de un álgebra A a A'', dieron una manera canónica de extender un polinomio n-homogéneo definido sobre un espacio de Banach a su bidual. Dicha extensión ha sido muy estudiada y, entre otras cosas, sirve para entender el espectro del álgebra de funciones analíticas de tipo acotado. En este charla definiremos ideales de polinomios n-homogéneos, en particular aquellos que son maximales o minimales. Éstos pueden describirse en términos del producto tensorial simétrico dotado con diferentes normas. Para éste tipo de ideales de polinomios mostraremos que la extensión de Aron-Berner resulta isometría. Si queda tiempo, comentaremos algunas condiciones necesarias para que un ideal maximal "sea también" minimal.
A la página del seminario.
48. Daniel Carando. Consideraremos álgebras uniformes de funciones analíticas acotadas en la bola de un espacio de Banach. Mostraremos distintos resultados relacionando los puntos de acumulación de una función a lo largo de ciertas redes, con su rango en las fibras del espectro del álgebra. Esto nos permitirá obtener versiones débiles del teorema de la corona para espacios de Hilbert y para c0 (el espacio de las sucesiones convergentes a 0).
Esto es parte de un trabajo conjunto con Richard Aron, Ted Gamelin, Silvia Lassalle y Manuel Maestre.
A la página del seminario.
49. Juliana García Galofre. En estas charlas definiremos corchete y cocorchete de clases de homotopía libre de curvas en una superficie orientada con borde, tanto de forma geométrica como combinatoria, y su relación con las potencias de estas curvas. Se mostrarán ejemplos y las ideas que nos motivaron a encontrar estas relaciones. Siguiendo la versión combinatoria describiremos el grupo fundamental de estas superficies según la cantidad de manijas y componentes de borde, luego cómo obtener un modelo combinatorio a partir de una superficie cualquiera.
A la página del seminario.
50. Nicolás Capitelli. Las variedades combinatorias son el análogo a las variedades topológicas en el contexto PL (lineal a trozos). De sus propiedades locales se derivan importantes resultados que marcaron gran parte del desarrollo de la topología de los últimos cien años. Algunos de los resultados y aplicaciones más relevantes que involucran a las variedades combinatorias incluyen a los teoremas de entornos regulares de Whitehead, la conjetura de Zeeman y su relación con la conjetura (teorema) de Poincaré, el teorema del s-cobordismo y los teoremas clásicos de Newman y Alexander.
La idea de esta charla es introducir a las Q-variedades, que son poliedros que generalizan a las variedades combinatorias en el caso no homogéneo. Estos objetos verifican muchas propiedades análogas a las de las variedades combinatorias, que permiten, entre otras cosas, extender al caso no homogéneo los conceptos de borde y colapso regular. En particular, se puede definir una noción de shellabilidad generalizada en un contexto geométrico, compatible con la desarrollada por Björner y Wachs en el contexto combinatorio.
La charla está pensada para un público matemático general. Se exhibirán varios ejemplos que grafiquen las propiedades geométricas de estos nuevos objetos de estudio. Esto es parte de un trabajo en conjunto con Gabriel Minian.
A la página del seminario.
51. Sarah Witherspoon. Deformations of crossed products and graded Hecke algebras -Joint work with Anne Shepler-A crossed product of an algebra with a group of automorphisms encodes the group action in a larger algebra. In case the group acts on a polynomial ring, deformations of the crossed product include graded (Drinfeld) Hecke algebras, symplectic reflection algebras, and rational Cherednik algebras. In order to understand these deformations in a wider context, we give some results on the Gerstenhaber bracket on Hochschild cohomology of the crossed product; this bracket encodes obstructions to deforming the algebra.
A la página del seminario.
52. Osvaldo Santillán. Modelo de juguete de teoría topológica de campos. Se van a describir unos modelos muy simples que resumen aspectos variados de teoría topológicas de campos. Es una charla introductoria sobre el tema y no se requiere ningún background especial.
A la página del seminario.
53. Gabriel Minian. Teoría de Morse clásica y modern. En la primera parte de la charla expondré los resultados e ideas básicas de la teoría de Morse clásica (para variedades diferenciables). Veremos algunos ejemplos y repasaremos algunas de las aplicaciones más importantes de esta teoría: el teorema del índice de Poincaré-Hopf, la clasificación de superficies compactas y el teorema del h-cobordismo.
En la segunda parte de la charla veremos una versión moderna de la teoría de Morse para poliedros, que fue introducida por Forman a fines de los años 90. Esta teoría, que está basada en la teoría clásica, estudia las deformaciones que se pueden aplicar a los poliedros a partir de funciones de Morse y campos vectoriales discretos. Por último contaré algunos resultados que obtuve recientemente sobre una variante de la teoría de Morse para espacios finitos que sirve para estudiar la topología de variedades y variedades homológicas.
A la página del seminario.
54.Guillermo Cortiñas. Homología de productos cruzados y conjeturas de isomorfismo. Dada una teoría de homología de anillos E, un anillo R y un grupo G actuando en R, la conjetura de isomorfismo propone una fórmula que describe los grupos E*(R#G) en términos de la homología G-equivariante con coeficientes en E(R) de cierto espacio clasificante E(G,F) que depende de G y de una familia de subgrupos F de G. Por ejemplo si E=HH es la homología de Hochschild, la conjetura es cierta, y esencialmente se reduce a interpretar topológicamente la conocida fórmula para HH(R#G) en función de los centralizadores de elementos de G. La validez de la conjetura para la K-teoría algebraica y la L-teoría (Conjeturas de Farrell-Jones) implican la conjetura de Borel, que establece que toda equivalencia homotópica entre variedades topológicas cerradas y asféricas es homotópica a un homeomorfismo. La conjetura de isomorfismo para la K-teoría topológica, conocida como Conjetura de Baum-Connes implica diversas otras conjeturas, como por ejemplo la de Novikov.
En estas serie de charlas se darán las nociones básicas que permiten formular la conjetura, y se discutirán algunos ejemplos, propiedades y consecuencias. Partiendo del ejemplo E=HH se verá cómo describir la aplicación de emsamblado, que va de la homología G-equivariante de E(G,F) con coeficientes en E(R) en E(R#G); la conjetura de isomorfismo dice que esa aplicación da un isomorfismo de homologías.
55. Jimmy Petean. Algunos resultados y preguntas sobre el invariante de Yamabe. El invariante de Yamabe es un invariante de la estructura diferenciable de una variedad cerrada, que surge de un estudio variacional de la funcional de Hilbert-Einstein en el espacio de metricas Riemannianas de la variedad. Su estudio es una forma de geometrizacion de variedades, y en el mismo surgen problemas topologicos y analiticos. La charla sera una introduccion general al tema contando los resultados fundamentales y las preguntas de mayor interes actual.
56. Gastón Giribet. Teoría(s) de gravedad e invariantes topológicos. Las teorías de gravedad, entendidas éstas como la teoría de Relatividad General de Einstein y sus generalizaciones, están estrechamente relacionadas a ciertos invariantes topológicos correspondientes a variedades diferenciables que, de hecho, representan el spacio-tiempo en el cual acontecen los fenómenos físicos. En esta charla breve describiré la conexión existente entre lo que los físicos entendemos por "una teoría de gravedad" y algunos resultados clásicos de geometría y topología diferencial.
A la página del seminario.
57.Gisela Tartaglia. Todo espectro E tiene asociada una teoría de homología E*. En particular, el espectro no-conectivo KR cuyos grupos de homotopía son los K-grupos algebraicos del anillo R. En esta charla contaremos la descripción que dan Pedersen y Weibel de la teoría de homología KR*(X) asociada a KR.
58.Juliana Garcia Galofré. Basados en el trabajo de Chas ''Minimal intersection of curves on surfaces'', consideraremos la estructura de biálgebra de Lie dada por Goldman y Turaev en el espacio vectorial generado por todas las clases de homotopía libre de lazos en una superficie orientada. Daremos una descripción para el corchete de un lazo simple con otro arbitrario, para esto utilizaremos productos amalgamados (si el lazo es separante) y extenciones HNN (si el lazo es no separante). En ambos casos no hay cancelación de términos, con lo cual queda determinada la cantidad mínima de puntos de intersección de dichos lazos.
59,60,61,63,64,65,66.Guillermo Cortiñas, Gabriel Minian, Román Sasyk. En esta serie de charlas se expusieron algunas nociones y resultados básicos de la teoría de L^2-invariantes, segun el libro de Wolfgang Lück "L^2 invariants: theory and applications to geometry and K-theory", y el artículo de Beno Eckmann "Introduction to $l_2$-methods in topology: reduced $l_2$-homology, harmonic chains, $l_2$-Betti numbers".
62. Matías del Hoyo. Los grupoides de Lie fueron introducidos por Charles Ehresmann en 1950 y desde entonces han despertado gran interés por sus variados ejemplos y aplicaciones. Muchos llegan a sostener que la noción moderna de grupo de Lie es una etapa de transición en la evolución hacia los grupoides. Los grupoides son una formulación de espacios singulares que permite trabajar con variedades, grupos, acciones, fibrados y foliaciones, entre otros.
Paulo Carrillo Rouse.
Grupoides, álgebras y teoría del índice
Voy a platicar de varios ejemplos de grupoides, sobre todo varios que aparecen en geometría diferencial no conmutativa, para despues asociarles álgebras de funciones. La motivación principal para hacer esto es para el estudio de la teoría del índice para grupoides. Platicaré entonces de K-teoría de estas álgebras, su interpretación en términos de índices, algunos teoremas de índice como los famosos de Atiyah-Singer, Connes-Skandalis, así como la construcción de morfismos de asemblaje (Baum-Connes). En particular el punto de vista que tomaré es nuevo, basado en métodos geométricos, y si el tiempo lo permite podría contar como ciertas técnicas se aplican en situaciones de más alto orden, como por ejemplo para K-teoría torcida.
Leandro Vendramin (UBA)
Órbitas de Huwtiz y álgebras de Nichols con relaciones cúbicas
En esta charla mostraremos cómo es que pueden estudiarse álgebras de Nichols y sus relaciones cúbicas. Como ejemplo, mencionaremos la clasificación de las álgebras de Nichols (sobre ciertos tipos de racks) que satisfacen una determinada desigualdad relacionada con la
cantidad de relaciones cúbicas. Esto resulta ser equivalente a una factorización particular de la serie de Hilbert. Es un trabajo en colaboración con I. Heckenberger y A. Lochmann.
Deformación de álgebras y la propiedad de Cohen Macaulay
La imagen intuitiva de que una variedad X se deforma en una variedad Y de forma continua puede codificarse diciendo que tantoX como Yson fibras de un mismo morfismo de variedades, ;
[;U;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?U"> puede entenderse como un espacio continuo de parametros, y para cada valor de los parametros (cada punto
) tenemos una subvariedad (dada por
). El correspondiente concepto algebraico es el de tomar un álgebra de parámetros
y construir una
-álgebra
[;B;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B">; decimos que el álgebra
[;R;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?R"> se deforma en el álgebra
[;S;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?S"> a través de
[;A;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A"> si ambas son cocientes de
[;B;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B">, obtenidos especificando algún valor para los parámetros que aparecen en
[;A;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A">. Si el álgebra de parámetros y el álgebra
[;B;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B"> son lo suficientemente regulares, las propiedades de
[;S;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?S"> se pueden transferir a
, en cuyo caso decimos que estas propiedades son invariantes por deformación. En esta charla presentamos el resultado de que si
[;A;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A"> es un álgebra conmutativa regular y
[;B;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B"> es una
[;A;]" src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A">-álgebra playa (no necesariamente conmutativa), la propiedad de ser Cohen-Macaulay en el sentido de Artin y Schelter es invariante por deformación, lo cual extiende un resultado clásico del caso conmutativo.
Marco Farinati (UBA)
Biálgebras de Lie producto y a biálgebras de Lie reductivas
Este es un trabajo en conjunto con A.P. Jancsa. Las estructuras de bi\'algebra de Lie en un \'algebra de la forma $\l=\g\times V$ pueden describirse en t\'erminos de estructuras de bi\'algebras en $\g$, en $V$, y ciertas compatibilidades entre ambas. En el caso particular que $\g$ es semisimple y $V$ es abeliana (i.e. $\l$ reductiva) se conoce una buena familia de estructuras de bi\'algebra en $\g$, y adem\'as resolvemos las condiciones de compatibilidad. En esta charla discutiremos las herramientas principales utilizadas para describir estas estructuras.
Gabriel Minian
La conjetura de asfericidad de Whitehead desde un nuevo enfoque
La conjetura de asferecidad de J.H.C. Whitehead es un problema formulado hace 70 años. Esta conjetura afirma que todo subcomplejo de un complejo asférico de dimensión 2 es también asférico.Este problema ha sido investigado desde el punto de vista topológico como también desde el de la teoría combinatoria de grupos y se han obtenido algunos (pocos) avances, pero la conjetura aún no fue resuelta.
En esta charla contaré la historia de esta conjetura y los avances más destacados que se consiguieron. Luego veremos cómo se puede reformular este problema, para el caso compacto, en el contexto de los espacios topológicos finitos. Esto permite analizarla con un enfoque totalmente novedoso. Probaremos, usando algunos resultados y técnicas propias de los espacios finitos, la validez de la conjetura para algunas clases particulares de complejos. Estos resultados forman parte de un trabajo en preparación en colaboración con Manuela Cerdeiro.
Mariano Suárez-Álvarez (UBA)
Deformaciones de álgebras de N-Koszul
Hay dos nociones naturales de deformación aplicables a álgebras de N-Koszul.
Por un lado, una tal álgebra puede ser presentada por generadores y relaciones usando relaciones homogéneas de grado N, y es natural considerar aquellas álgebras que se obtienen agregando a esas relaciones términos de grado menor. Entre éstas, hay una subclase caracterizada por una cierta propiedad de Poincaré-Birkhoff-Witt y que es particularmente interesante en vista de sus aplicacioes. Estas deformaciones han sido estudiadas por R. Berger y V. Ginzburg [BG] con el nombre de "deformaciones PBW", generalizando un trabajo anterior de A. Braverman y D. Gaitsgory para el caso cuadrático, y, en particular, estos autores lograron exhibir un conjunto finito de condiciones sobre una deformación de este tipo que generalizan a la condición de Jacobi de las álgebras de Lie y que caracterizan a la propiedad PBW.
Por otro lado, tenemos una teoría general de deformaciones formales de álgebras, iniciada por M. Gerstenhaber [G], y que se expresa en términos de la cohomología de Hochschild.
El propósito de esta charla será presentar un resultado que muestra la equivalencia de estas dos nociones de deformación para el caso de álgebras de N-Koszul.
Recordaré la definición general de álgebras de N-Koszul, introduciré con algún detalle las dos nociones de deformación involucradas en el resultado, y, si el tiempo lo permite, discutiré la idea general de la prueba.
Este trabajo es el resultado de una colaboración con A. Solotar y E. Herscovich.
[BG] Berger, R.; Ginzburg, V. Higher symplectic reflection algebras and non-homogeneous N-Koszul property. J. of Algebra 304 (2006), 577-601.
[G] Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, Ann. of Math. (2) 79 (1964), 59-103.
[BG] Braverman, A.; Gaitsgory, D. The Poincare-Birkhoff-Witt theorem for quadratic algebras of Koszul type. J. of Algebra 181 (1996), 315-328.
Guillermo Cortiñas (UBA)
Se expondrán algunos temas del capítulo 9 del libro de Lück. Veremos cómo algunos resultados de la teoría de álgebras de von Neumann (e.g. el álgebra N(G)) tienen aplicaciones a las conjeturas de isomorfismo.
Gisela Tartaglia (UBA)
Utilizando la teoría de álgebras de von Neumann se demostrará el siguiente resultado sobre el grupo de Whitehead: Dado H subgrupo normal y finito de un grupo discreto G, la aplicación de Wh(H)^G en Wh(G) inducida por la inclusión tiene núcleo finito.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Se discutirán la conjetura de isomorfismo para el K_0 del álgebra de grupo, su conexión con la conjetura de Bass, y con el álgebra N(G).
Guillermo Cortiñas (UBA)
Se utilizará el álgebra de von Neumann N(G) para obtener resultados acerca del grupo G_0(\C[G]).
Juan José Guccione (UBA)
Motivados por la construcción de las álgebras de Leavitt L(1,k) se introduciremos las álgebras de Leavitt de grafos. Veremos en detalle algumos ejemplos fundamentales, analízaremos brevemente sus conexiones con otros tipos de álgebras asociativas y comenzaremoss el estudio de sus propiedades básicas.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Two questions that arise naturally when working with Leavitt path algebras are: firstly if every ideal of a Leavitt path algebra is itself a Leavitt path algebra; secondly, if the quotient of a Leavitt path algebra by an ideal is a Leavitt path algebra too. We will see that ideals which are Leavitt path algebras are the graded ones (and not every ideal in a Leavitt path algebra will be graded). As far as the quotient is involved, there will exist a graph (the so called quotient graph) whose associated Leavitt path algebra will be isomorphic to the quotient of the original Leavitt path algebra by a graded ideal. Moreover, we will prove that graded ideals in a Leavitt path algebra associated to a row-finite graph E can be described in terms of the graph, concretely, in terms of the hereditary and saturated subsets of E^0.
Vladimir Manuilov (Moscú)
The talk is an introduction to the present state of the theory of C*-algebra extensions. It is well known that there exist non-invertible extensions of C*-algebras. Since the first such example due to J. Anderson, many new examples and classes of non-invertible extensions were revealed. We show that this is not a deficiency of the BDF theory, but is a homotopy property. Nevertheless, a minor adjustment of the BDF theory makes more extensions invertible, and we provide such examples. The results are based on our joint work with K. Thomsen.
Gisela Tartaglia (UBA)
Dados un anillo R, un grupo G y una teoría de homología de anillos E con buenas propiedades, se construye una teoría de homología equivariante H^G(X,ER), definida para todo G-espacio X. Cuando X es un punto la
homología equivariante recupera el valor de E en el álgebra de grupo: H^G(*,ER)=E(RG). En particular la aplicación X-->* induce H_^G(X,ER)-->E_(RG) (1)
Una conjetura de isomorfismo para la terna (E,R,G) es la afirmación de que cuando X es cierto espacio clasificante que depende de G y de E, la
aplicación (1) es un isomorfismo. La afirmación más débil de que (1) es inyectiva módulo torsión (i.e. luego de tensorizar con Q) es la conjetura de Novikov.
En esta charla daremos una demostración de esta conjetura para el caso en que E=KH es la K-teoría homotópica de Weibel y R es un ideal de operadores
suharmónico. Este resultado, conjunto con G. Cortiñas, generaliza el obtenido recientemente por Guoliang Yu para operadores de Schatten..
Emanuel Rodríguez Cirone (UBA)
Dado un grafo E finito por filas, daremos condiciones necesarias y suficientes para que el álgebra de Leavitt L_K(E) sea simple.
Emanuel Rodríguez Cirone (UBA)
Caracterizaremos las álgebras de Leavitt puramente infinitas simples en términos de propiedades del grafo. Probaremos el siguiente principio de dicotomía: si E es un grafo tal que L_K(E) es simple, entonces o bien L_K(E) es puramente infinita simple o L_K(E) es localmente matricial.
Emanuel Rodríguez Cirone (UBA)
Dado un grafo E finito por filas, caracterizaremos el monoide M_E de clases de equivalencia Murray- von Neumann de matrices idempotentes con
coeficientes en L_K(E) y estudiaremos algunas de sus propiedades.
Marco Farinati (UBA)
Comentaré la definición de rango estable para un anillo en general y mostraré algunas cotas del rango estable para el caso de las álgebras de Leavitt, en términos de propiedades del grafo que la define.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Se recordarán definiciones y propiedades acerca de C*-álgebras y se fijará notación. Dado un grafo E, se definirá su C*-álgebra asociada a partir del álgebra de caminos de Leavitt L(E). Se mostrará como ejemplo el caso en que E=R_1 (rosa de un pétalo). Por último, se probará que dado un grafo dirigido E, hay una inyección de L(E) en C*(E).
María Eugenia Rodríguez (UBA)
E grafo finito por filas. Veremos la correspondencia entre el lattice de los subconjuntos hereditarios y saturados de E^0 y el lattice de los ideales cerrados gauge-invariant de C*(E).
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Sean $E$ un grafo dirigido, $B$ una $C*$-álgebra, $\pi$ un -morfismo entre $C(E)$ y $B$ y $\beta$ una acción de $S^1$ en $B$. Veremos que si los vértices no van a $0$ por $\pi$, y además $\beta$ junto con la acción gauge hacen "conmutar a $\pi$", entonces $\pi$ es inyectivo. Para esto necesitaremos: definir $C*$-álgebra graduada y la esperanza condicional entre dos $C*$-álgebras $A$ y $B$ (con $B\subseteq A$) y algunos resultados previos.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Dado E un grafo finito por filas, probaremos que existe un isomorfismo entre los monoides V(L(E)) y V(C*(E)).
Emanuel Rodríguez (UBA)
Definiremos categoría de modelos y probaremos algunas propiedades básicas, siguiendo el libro de Mark Hovey.
Emanuel Rodríguez (UBA)
Definiremos la categoría de homotopía Ho(C) asociada a una categoría de modelos C. Probaremos que Ho(C) es equivalente al cociente de los objetos cofibrantes y fibrantes por la relación de homotopía.
Emanuel Rodríguez (UBA)
Probaremos que la categoría de homotopía de una categoría de modelos es equivalente al cociente de los objetos cofibrantes y fibrantes por la relación de homotopía. Introduciremos la noción de adjunción de Quillen y veremos algunas propiedades básicas.
Emanuel Rodríguez (UBA)
Introduciremos la noción de funtor de Quillen entre categorías de modelos. A cada funtor de Quillen le asociaremos un funtor derivado entre las correspondientes categorías de homotopía. Probaremos algunas propiedades básicas.
María Emilia Descotte (UBA)
Introduciremos las nociones de 2-categoría y de 2-funtor y daremos ejemplos clásicos y otros ejemplos relacionados con la Teoría de Categorías de Modelos de Quillen siguiendo el libro de Mark Hovey, Model Categories.
María Emilia Descotte (UBA)
2-categorías
Continuaremos con ejemplos de 2-funtores y daremos la noción de pseudo-2-funtor dando ejemplos relacionados con la teoría de categorías de modelos.
Guillermo Cortiñas (UBA)
Conjuntos bien ordenados
Repasaremos algunos resultados básicos sobre conjuntos bien ordenados.
96
Guillermo Cortiñas (UBA)
Inducción transfinita, teoría axiomática de conjuntos y ordinales
Continuaremos con la exposición de propiedades básicas de los conjuntos bien ordenados. Veremos el principio de inducción transfinita y algunas de sus variantes, e introduciremos la noción de (número) ordinal. Informalmente, los ordinales son las clases de isomorfismo de los conjuntos bien ordenados. La construcción formal de los ordinales requiere de la teoría axiomática de conjuntos. La exposición incluirá una breve descripción de los axiomas de Bernays-Gödel- von Neumann y sus consecuencias básicas.
97
Guillermo Cortiñas (UBA)
Teoría axiomática de conjuntos y ordinales
Finalizaremos la exposición de los axiomas de Bernays-Gödel- von Neumann y daremos la definición y algunas propiedades básicas de los números ordinales.
98
Guillermo Cortiñas (UBA)
Objetos finitos y objetos pequeños
Luego de algunos preliminares sobre cardinales y composiciones transfinitas, introduciremos la noción de pequeñez de un objeto de una categoría con respecto a un cardinal. Un objeto es pequeño si es pequeño con respecto a algún cardinal y es finito si es pequeño con respecto a un cardinal finito. Veremos por ejemplo que todo conjunto es pequeño, y que los conjuntos finitos son precisamente los que tienen finitos elementos.
99
Guillermo Cortiñas (UBA)
Complejos celulares y el argumento del objeto pequeño
La ventaja de saber que una clase de morfismos tiene (co)-dominios pequeños es que permite factorizaciones funtoriales. Este hecho, debido a Quillen, se conoce como el argumento del objeto pequeño. En la charla comenzaremos a desarrollar los preliminares necesarios para su formulación y demostración.
100
Guillermo Cortiñas (UBA)
Complejos celulares y el argumento del objeto pequeño II
Se enunciará el teorema del objeto pequeño. Se probarán algunas propiedades de los complejos celulares que se utilizarán en la siguiente charla para la demostración del citado teorema.
101
Guillermo Cortiñas (UBA)
Complejos celulares y el argumento del objeto pequeño III
Se probará el teorema del objeto pequeño. Se introducirá la noción de categoría de modelos cofibrantemente generada y se enunciarán algunas de sus propiedades.
102
Guillermo Cortiñas (UBA)
Categorías de modelos cofibrantemente generadas
Se enunciará y probará un teorema que establece condiciones necesarias y suficientes para que dados una categoría C, una subcategoría W y conjuntos de morfismos I y J exista una estructura de modelos en C con equivalencias débiles W, cofibraciones generadoras I y cofibraciones triviales generadoras J.
103
Emanuel Rodriguez Cirone (UBA)
La categoría de módulos sobre un anillo de Frobenius
Probaremos que la categoría de módulos sobre un anillo de Frobenius es una categoría de modelos, y caracterizaremos a la correspondiente categoría de homotopía.
104
Emanuel Rodriguez Cirone (UBA)
Categorías de modelos: la categoría de complejos de cadena
Probaremos que la categoría de complejos de cadena de módulos sobre un anillo admite una estructura de modelos cofibrantemente generada y tal que las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos.
Emanuel Rodriguez Cirone (UBA)
La categoría de modelos de los espacios topológicos
Construiremos la estructura de modelos usual en la categoría de espacios topológicos siguiendo el libro de Mark Hovey, Model Categories.
Gisela Tartaglia(UBA)
Categorías de modelos: la categoría de conjuntos simpliciales
Presentaremos la categoría simplicial \Delta y la categoría de conjuntos simpliciales SSet = Set^{\Delta}. Veremos algunas propiedades básicas, como por ejemplo que todo conjunto simplicial es pequeño y que se puede escribir como colímite de copias de \Delta[n].
Gisela Tartaglia(UBA)
Categorías de modelos: la categoría de conjuntos simpliciales (continuación)
Continuando con el estudio de los conjuntos simpliciales, veremos que dada una categoría C con colímites pequeños, la categoría C^{\Delta} (categoría de conjuntos cosimpliciales en C) es equivalente a la categoría de adjunciones de SSet en C. Como caso particular de esta construcción presentaremos el funtor de realización geométrica.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
La estructura de modelos sobre conjuntos simpliciales (SSet)
Para la prueba de que la categoría SSet es una categoría de modelos necesitaremos definir, sobre dicha categoría, una estructura de modelos. Por lo tanto, empezaremos probando que el funtor de realización geométrica preserva límites finitos, y en particular pullbacks. Por último, veremos cuál hipótesis es necesaria y suficiente para que un mapa en SSet sea una fibración trivial.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Estructura de modelos de la categoría SSet: Extensiones Anodinas.
Continuaremos con la contrucción de una estructura de modelos para la categoría de conjuntos simpliciales. Para esto necesitaremos definir a las extensiones anodinas y probar el siguiente resultado: sean "i" la inclusión y "p" una fibración de conjuntos simpliciales, entonces el mapa inducido por ellas f--->(fi,pf) resulta también una fibración.
Gisela Tartaglia (UBA)
Grupos de homotopía de conjuntos simpliciales.
Dado un conjunto simplicial fibrante X, contruiremos los grupos π_n(X). Veremos que si X tiene todos sus grupos de homotopía triviales, cualquier mapa f: ∂ Δ [n]--> X se extiende a Δ [n]. Por último, veremos que toda fibración induce una sucesión exacta larga de grupos de homotopía.
María Eugenia Rodríguez (UBA)
Conjuntos simpliciales: FIBRACIONES MINIMALES
Hablaremos acerca de fibraciones minimales en el contexto de la categoría de conjuntos simpliciales. Mostraremos que las fibraciones minimales son fibraciones localmente triviales como paso intermedio de la prueba de que la categoría SSet es una categoría de modelos.
Guillermo Cortiñas (UBA)
Fibraciones y realización geométrica
Mostraremos que la realización geométrica de una fibración es una fibración de Serre. Si el tiempo lo permite veremos también que los grupos de homotopía de un conjunto simplicial fibrante coinciden con los de su realización.
Guillermo Cortiñas (UBA)
Conjuntos simpliciales y espacios topológicos
Veremos que la realización geométrica induce una equivalencia de Quillen entre las categorías de modelos de conjuntos simpliciales y espacios topológicos.
Guillermo Cortiñas (UBA)
Categorías de modelos propias
Definiremos la noción de categoría de modelos propia y veremos que tanto SSet como Top son propias.
2do. cuatrimestre 2013
113. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (I)
Definiremos la categoría de espectros en una categoría de modelos simplicial punteada basándonos en un trabajo de Stefan Schwede, Spectra in model categories and applications to the algebraic cotangent complex.
114. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (II)
Sea M una categoría de modelos simplicial punteada y sea Spt(M) la categoría de espectros en M.
Costruiremos la estructura de modelos proyectiva en Spt(M) y probaremos que es cofibrantemente generada.
115. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (III)
Sea C una categoría de modelos simplicial y propia, y sea Spt(C) la categoría de espectros en C.
Definiremos un endofuntor Q de Spt(C) que reemplaza a un espectro por un omega-espectro.
Usaremos el funtor Q para construir la estructura de modelos estable en Spt(C).
116. Emanuel Rodríguez Cirone
Homología equivariante de variedades algebraicas
Dada una teoría de homología E, mostraremos cómo de finir una teoría de homología E(A⊗-) que en los
esquemas afines Spec(R) valga E(A⊗R). Mostraremos que bajo ciertas condiciones sobre E, E(A⊗-)
satisface descenso Nisnevich y descenso para blowups a lo largo de sucesiones regulares.
Guillermo Cortiñas
Variaciones sobre el teorema de Hocshchild-Kostant-Rosenberg
Sea R un álgebra conmutativa sobre un cuerpo k de característica cero.
El teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg y sus variantes expresan la homología de Hochschild y
cíclica de R en términos de formas diferenciales. En la charla comentaremos estos resultados y su aplicación
al cálculo de la homología de cocientes \ell^\infty/S del álgebra de sucesiones acotadas de números complejos.
116. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (IV)
Sea C una categoría de modelos simplicial y propia, y sea Spt(C) la categoría de espectros en C.
Definiremos un endofuntor Q de Spt(C) que reemplaza a un espectro por un omega-espectro.
Usaremos el funtor Q para construir la estructura de modelos estable en Spt(C).
117. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (V)
Sea C una categoría de modelos simplicial y propia, y sea Spt(C) la categoría de espectros en C.
Definiremos un endofuntor Q de Spt(C) que reemplaza a un espectro por un omega-espectro.
Usaremos el funtor Q para construir la estructura de modelos estable en Spt(C).
118. Emanuel Rodríguez Cirone
Espectros en una categoría de modelos simplicial (VI)
Sea C una categoría de modelos simplicial y propia, y sea Spt(C) la categoría de espectros en C.
Definiremos un endofuntor Q de Spt(C) que reemplaza a un espectro por un omega-espectro.
Usaremos el funtor Q para construir la estructura de modelos estable en Spt(C).
119. Guillermo Cortiñas
Estructuras de modelos en categorías de diagramas (I)
El tema de la charla es el teorema que establece que si $C$ es una categoría de modelos
cofibrantemente generada e $I$ es una categoría pequeña, entonces la categoría $C^I$ de
funtores $I\to C$ tiene una estructura natural de modelos cofibrantemente generada.
120. Guillermo Cortiñas
Estructuras de modelos en categorías de diagramas (II)
El tema de la charla es el teorema que establece que si $C$ es una categoría de modelos
cofibrantemente generada e $I$ es una categoría pequeña, entonces la categoría $C^I$ de
funtores $I\to C$ tiene una estructura natural de modelos cofibrantemente generada.
121. Guillermo Cortiñas
Estructuras de modelos para $G$-espacios
Sea G un grupo y sea $F$ una familia de subgrupos
de $G$, no vacía y cerrada por subgrupos y por conjugación.
Veremos que la categoría de $G$-espacios posee una estructura de
modelos cofibrantemente generada donde
una aplicación equivariante $f:X\to Y$ es equivalencia débil (resp. fibración) si para todo $H\in F$ la restricción de
$f$ a $X^H\to Y^H$ es una equivalencia
débil (resp. una fibración). Utilizaremos esta estructura de
modelos
para definir el espacio clasificante de $G$ con respecto a $F$ y
para
formular las conjeturas de isomorfismo para teorías de homología
equivariantes.
122. Emanuel Rodríguez Cirone
Colímite homotópico en una categoría de modelos
simplicial
Definiremos el colímite homotópico en una
categoría de modelos simplicial
y probaremos sus propiedades
básicas.
123. Emanuel Rodríguez Cirone
Colímite homotópico en una categoría de modelos
simplicial (II)
Definiremos el colímite homotópico en una
categoría de modelos simplicial
y probaremos sus propiedades básicas.
124. Emanuel Rodríguez Cirone
Colímite homotópico en una categoría de modelos
simplicial (III)
Probaremos que una equivalencia débil natural
entre diagramas de objetos
cofibrantes induce una equivalencia débil entre los colímites homotópicos.
125. Ma. Eugenia Rodríguez
Representaciones tight de semigrupos inversos (I)
Haremos una introducción acerca de
representaciones tight para un
semigrupo inverso y su
semi-reticulado asociado. Probaremos que
ser tight equivale a
estar "soportada" sobre ciertas representaciones
q denominamos caracteres tight.
126. Ma. Eugenia Rodríguez
Representaciones tight de semigrupos inversos (II)
Probaremos que ser tight equivale a estar
"soportada" sobre ciertas
representaciones q denominamos caracteres tight.
127. Ma. Eugenia Rodríguez
Representaciones tight de semigrupos inversos (III)
Sean S un semigrupo inverso y G_tight su
grupoide de germenes
asociado. Estudiaremos la correspondencia
biunívoca que existe
entre las representaciones tight de S y las
*-representaciones de
la C* del grupoide G_tight.
