SEMINARIO GNC

El seminario GNC, abierto a todo el público interesado, es organizado por los miembros del grupo de Geometría No Conmutativa.

Próxima reunión: lunes 21 de octubre, 11 a 12.30, Sala de Conferencias del DM.

Gastón García (UNLP) - Grupos cuánticos y la conjetura de Baum-Connes.

Reuniones anteriores

Año 2019

En esta serie de charlas veremos la Conjetura de Baum-Connes en el contexto de grupos cuánticos. Para ello estudiaremos los trabajos de Christian Voigt sobre el ejemplo de SU_q(2). En esta primera charla recordaremos definiciones básicas y ejemplos de grupos cuánticos, con énfasis en la descripción de grupos cuánticos compactos.

Sean G un grupo localmente compacto y X un G-espacio localmente compacto. Repasaremos las definiciones de las categorías de Kasparov KK^G y KK^{G\rtimes X} y su propiedad universal. Veremos algunas propiedades de los funtores producto tensorial, restricción, inducción y descenso definidos en estas categorías.

Comenzaremos a estudiar el artículo The Baum-Connes conjecture via localisation of categories, de Ralf Meyer y Ryszard Nest. Veremos algunos resultados de estructura sobre subgrupos compactos de un grupo topológico localmente compacto.

Continuaremos el estudio del artículo 'Homological algebra in bivariant K-theory and other triangulated categories II' de Ralf Meyer. Veremos cómo esta nueva presentación de la conjetura permite realizar una elaboración análoga para los grupos cuánticos discretos y libres de torsión.

Aplicaremos la maquinaria presentada sobre pares complementarios para construir el morfismo de asemblaje de la conjetura de Baum-Connes para grupos localmente compactos.

Concluiremos la sección relacionada a la sucesión espectral ABC mostrando que para un funtor F y un ideal I homológicos y compatibles con sumas directas numerables, la sucesión espectral converge a la localización LF del funtor por los elementos I-contráctiles.

Dado un funtor (co)homologico estable en una categoría triangulada estable veremos como a partir de una torre fantasmal asociada a un ideal I de la categoría se puede definir una acople exacto que determina una sucesión espectral. Veremos como se pueden describir las páginas a partir del funtor y del ideal junto a qué condiciones son necesarias para que dicha sucesión espectral converja. Luego veremos que la segunda página involucra a los funtores derivados.

Sean T una categoría triangulada con sumas directas numerables, I un ideal homológico compatible con tales sumas, P la subcategoría plena de los objetos I-proyectivos y N la subcategoría plena de los objetos I-contráctiles. En la reunión anterior vimos (teorema 3.21) si P tiene suficientes objetos y L es la subcategoría localizante generada por P, entonces el par (L,N) es complementario. En la próxima reunión veremos el teorema 3.27 de caracterización de objetos de L. Si el tiempo lo permite, veremos los teoremas 3.31 que da condiciones –en términos de funtores adjuntos parcialmente definidos– que garantizan que se cumplen las hipótesis de 3.21 y el teorema 3.32, que bajo las mismas condiciones, da una versión refinada del teorema 3.27.

Veremos que dar una subcategoría thick de una categoría triangulada equivale a dar un par complementario. Luego nos centraremos en el caso en que la categoría triangulada ambiente T posee sumas directas numerables y estudiaremos, para un ideal homológico I compatible con sumas, el par localizante que surge de la subcategoría reflexiva de los objetos I-contráctiles.

Introduciremos la noción de pares complementarios y de subcategorías de una categoría triangulada T, y veremos cómo están relacionadas con localizaciones de T y con ideales homológicos. Si el tiempo lo permite discutiremos la compatibilidad de estas estructuras con sumas directas numerables.

Continuando con lo visto en la última reunión, mostraremos cómo usar las torres phantom para calcular las filtraciones phantom en una categoría triangulada T con un ideal homológico I. Mostraremos cómo extender una torre phantom sobre un objeto A a un castillo phantom sobre A, agregando la torre de aproximación celular. Definiremos la noción de par complementario de subcategorías en T y probaremos algunas propiedades básicas de estos objetos.

Definiremos las filtraciones phantom asociadas a un ideal homológico en una categoría triangulada T, y probaremos algunas propiedades básicas de las mismas. Probaremos que toda resolución proyectiva en T puede extenderse a una torre phantom, que está determinada a menos de isomorfismo no canónico. Mostraremos cómo usar las torres phantom para calcular las filtraciones phantom.

Definiremos la noción de ideal homológico en una categoría triangulada T, que permite llevar a T varias ideas del álgebra homológica. Definiremos las potencias de un ideal homológico y las filtraciones phantom asociadas a un ideal, y probaremos algunas propiedades básicas de las mismas.

Año 2018 (Seminario de ∞-categorías)

En el próximo encuentro veremos que todo conjunto simplicial es equivalente débil a su opuesto. Además, probaremos que los objetos iniciales satisfacen la idea previa que teníamos de los mismos, en el sentido de que x es inicial si y solo si map(x,c) es contraíble para todo c en la quasicategoría, y de manera similar para objetos terminales. Por último, definiremos el join y el slice alternativos, y veremos algunas propiedades de los mismos.

En el próximo encuentro veremos la definición de categoría de modelos cartesiana, y probaremos que las estructuras dadas a los conjuntos simpliciales son de este tipo. Además, estudiaremos las adjunciones que son pares de Quillen, y las aplicaciones de estos a algunos ejemplos de colímites homotópicos.

En el próximo encuentro veremos la definición de categoría de modelos, y cómo todo lo estudiado hasta ahora se aplica para ver que las teorías de quasicategorías y quasigrupoides nos dan estructuras de modelos en la categoría de los conjuntos simpliciales.

Terminaremos la demostración del Teorema Fundamental de las Cuasicategorías: si f es un funtor plenamente fiel y esencialmente suryectivo entre cuasicategorías, entonces f es una equivalencia categórica.

En el siguiente encuentro definiremos las cuasigrupoidificaciones, viendo que surgen de manera natural a partir de ciertas descomposiciones de morfismos anodinos. También estudiaremos las fibraciones de caminos entre cuasicategorías y veremos algunas propiedades de las mismas.

En el siguiente encuentro definiremos las cuasigrupoidificaciones, viendo que surgen de manera natural a partir de ciertas descomposiciones de morfismos anodinos. También estudiaremos las fibraciones de caminos entre cuasicategorías y veremos algunas propiedades de las mismas.

Daremos distintas caracterizaciones de la noción de isofibración entre cuasicategorías.

Daremos distintas caracterizaciones de la noción de isofibración entre cuasicategorías.

Probaremos que una fibración de Kan es fibración trivial si y solo si todas sus fibras son complejos de Kan contráctiles. Usando este resultado, demostraremos el teorema fundamental para morfismos entre complejos de Kan: un morfismo entre complejos de Kan es equivalencia categórica si y solo si es plenamente fiel y esencialmente suryectivo.

Probaremos que, para una fibración de Kan entre complejos de Kan, son equivalentes: ser fibración trivial, ser equivalencia débil, ser retracto por deformación en las fibras, y tener fibras contráctiles.

Definiremos los morfismos anodinos y veremos algunas propiedades de ellos, por ejemplo, que son equivalencias débiles. Estudiaremos también el isomorfismo universal, y lo utilizaremos para caracterizar los isomorfismos en cualquier cuasicategoría. Finalmente veremos una condición que simplifica el enunciado del teorema fundamental, para el caso de complejos de Kan.

Probaremos que la propiedad de ser plenamente fiel es preservada por isomorfismos naturales. Comenzaremos a estudiar también las equivalencias débiles y las equivalencias homotópicas simpliciales. Finalmente, definiremos los morfismos anodinos,y veremos algunas propiedades de ellos.

En el próximo encuentro estudiaremos los funtores fielmente plenos y esencialmente suryectivos. Enunciaremos con esto el teorema fundamental, que dice que los funtores de este tipo son precisamente las equivalencias categóricas. Comenzaremos a estudiar también las equivalencias débiles y algunas propiedades de los morfismos anodinos.

Definiremos el espacio de morfismos entre dos objetos x e y de una cuasicategoría C y probaremos que es un complejo de Kan. Probaremos que el pi_0 del espacio de morfismos de x en y está en biyección natural con el conjunto de morfismos de x en y en la categoría de homotopía de C. Discutiremos cómo definir una composición a nivel de espacios de morfismos y veremos que la composición es asociativa a menos de homotopía.

Probaremos distintas aplicaciones de los teoremas de extensión y levantamiento de Joyal. Entre otros resultados, veremos que los cuasigrupoides son complejos de Kan y probaremos que una transformación natural entre funtores de cuasicateorías es un isomorfismo natural si y solo si induce un isomorfismo en cada objeto.

En el próximo encuentro enunciaremos y probaremos el problema de extensión y el de levantamiento de Joyal, utilizando para ello las isofibraciones. Estos problemas nos permitirán probar que los cuasigruopides son precisamente los complejos de Kan.

En este encuentro estudiaremos cómo definir los límites y colímites en quasicategorías, y los caracterizaremos cómo ciertas fibraciones triviales entre dos slice quasicategorías. También definiremos las isofibraciones y las utilizaremos para probar el teorema de extensión de Joyal.

Definiremos las nociones de objeto inicial y objeto final en una cuasicategoría. Probaremos que un objeto x de una cuasicategoría C es inicial/final sii el funtor olvido desde la correspondiente categoría slice es una fibración trivial. Probaremos la unicidad de los objetos iniciales/finales en el contexto de cuasicategorías.

Estudiaremos cómo definir el join y el slice en quasicategorías, la adjunción que aparece entre ellas naturalmente, y cómo extienden estas definiciones a las ya conocidas para categorías en general.

Estudiaremos cómo definir el join y el slice en quasicategorías, la adjunción que aparece entre ellas naturalmente, y cómo extienden estas definiciones a las ya conocidas para categorías en general.

Probaremos que las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas. Definiremos la categoría de homotopía de cuasicategorías. Probaremos que la noción de equivalencia categórica coincide con la de equivalencia categórica débil definida por Joyal.

Discutiremos la noción de equivalencia categórica entre cuasicategorías y, más generalmente, entre conjuntos simpliciales cualesquiera. Probaremos que las fibraciones triviales y las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas.

Discutiremos la noción de equivalencia categórica entre cuasicategorías y, más generalmente, entre conjuntos simpliciales cualesquiera. Probaremos que las fibraciones triviales y las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas.

En el próximo encuentro continuaremos con los conceptos de producto pushout y potencia pullback, y algunas propiedades de los mismos, como los levantamientos enriquecidos. Como consecuencia obtendremos que el espacio de funciones es una cuasicategoría, y daremos otra caracterización de estas últimas.

En el próximo encuentro daremos una caracterización de los monomorfismos como clase saturada. Veremos los conceptos de producto pushout y potencia pullback, y algunas propiedades de los mismos. Como consecuencia obtendremos que el espacio de funciones es una cuasicategoría, y daremos otra caracterización de estas últimas.

En el próximo encuentro veremos la noción de espacio de morfismos, la cual busca generalizar la categoría de funtores entre categorías. El mismo resultará ser a su vez una quasicategoría. Para poder probar este último hecho, necesitaremos desarrollar antes algunos conceptos, cómo la caracterización de los monomorfismos como la saturación de una clase particular de morfismos (las inclusiones de bordes en sus respectivos simples).

Definiremos el problema de levantamiento asociado a un par de morfismos en una categoría. Sea B una clase de morfismos en una categoría cocompleta C. Probaremos que los morfismos de C que tienen la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a cualquier morfismo de B forman una clase saturada. Mediante el argumento del objeto pequeño, probaremos que todo morfismo f en C se factoriza como f=pj, donde j está en la saturación de B y p tiene la propiedad de levantamiento a derecha con respecto a cualquier morfismo de B. En particular, mostraremos que todo morfismo de conjuntos simpliciales se factoriza como un morfismo anodino interno seguido de una fibración interna.

Continuamos con el estudio de las quasicategorías, siguiendo como guía el artículo "Stuff about quasicategories", de C. Rezk. En este encuentro veremos las clases de saturación, que utilizaremos para generalizar el concepto de las inclusiones de cuernos, y sus extensiones. También estudiaremos el concepto de isomorfismo dentro de una quasicategoría, para así poder definir un quasigrupoide, y su relación con los complejos de Kan.

Año 2017

Año 2016