SEMINARIO GNC

El seminario GNC, abierto a todo el público interesado, es organizado por los miembros del grupo de Geometría No Conmutativa.

Próxima reunión (Seminario de ∞-categorías): jueves 30/8, 12 a 14 hs, aula de seminarios del DM.

Federico Font: Los problemas de extensión y levantamiento de Joyal

En el próximo encuentro enunciaremos y probaremos el problema de extensión y el de levantamiento de Joyal, utilizando para ello las isofibraciones. Estos problemas nos permitirán probar que los quasigruopides son precisamente los complejos de Kan.

Reuniones anteriores

Año 2018 (Seminario de ∞-categorías)

En este encuentro estudiaremos cómo definir los límites y colímites en quasicategorías, y los caracterizaremos cómo ciertas fibraciones triviales entre dos slice quasicategorías. También definiremos las isofibraciones y las utilizaremos para probar el teorema de extensión de Joyal.

Definiremos las nociones de objeto inicial y objeto final en una cuasicategoría. Probaremos que un objeto x de una cuasicategoría C es inicial/final sii el funtor olvido desde la correspondiente categoría slice es una fibración trivial. Probaremos la unicidad de los objetos iniciales/finales en el contexto de cuasicategorías.

Estudiaremos cómo definir el join y el slice en quasicategorías, la adjunción que aparece entre ellas naturalmente, y cómo extienden estas definiciones a las ya conocidas para categorías en general.

Estudiaremos cómo definir el join y el slice en quasicategorías, la adjunción que aparece entre ellas naturalmente, y cómo extienden estas definiciones a las ya conocidas para categorías en general.

Probaremos que las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas. Definiremos la categoría de homotopía de cuasicategorías. Probaremos que la noción de equivalencia categórica coincide con la de equivalencia categórica débil definida por Joyal.

Discutiremos la noción de equivalencia categórica entre cuasicategorías y, más generalmente, entre conjuntos simpliciales cualesquiera. Probaremos que las fibraciones triviales y las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas.

Discutiremos la noción de equivalencia categórica entre cuasicategorías y, más generalmente, entre conjuntos simpliciales cualesquiera. Probaremos que las fibraciones triviales y las extensiones anodinas internas son equivalencias categóricas.

En el próximo encuentro continuaremos con los conceptos de producto pushout y potencia pullback, y algunas propiedades de los mismos, como los levantamientos enriquecidos. Como consecuencia obtendremos que el espacio de funciones es una cuasicategoría, y daremos otra caracterización de estas últimas.

En el próximo encuentro daremos una caracterización de los monomorfismos como clase saturada. Veremos los conceptos de producto pushout y potencia pullback, y algunas propiedades de los mismos. Como consecuencia obtendremos que el espacio de funciones es una cuasicategoría, y daremos otra caracterización de estas últimas.

En el próximo encuentro veremos la noción de espacio de morfismos, la cual busca generalizar la categoría de funtores entre categorías. El mismo resultará ser a su vez una quasicategoría. Para poder probar este último hecho, necesitaremos desarrollar antes algunos conceptos, cómo la caracterización de los monomorfismos como la saturación de una clase particular de morfismos (las inclusiones de bordes en sus respectivos simples).

Definiremos el problema de levantamiento asociado a un par de morfismos en una categoría. Sea B una clase de morfismos en una categoría cocompleta C. Probaremos que los morfismos de C que tienen la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a cualquier morfismo de B forman una clase saturada. Mediante el argumento del objeto pequeño, probaremos que todo morfismo f en C se factoriza como f=pj, donde j está en la saturación de B y p tiene la propiedad de levantamiento a derecha con respecto a cualquier morfismo de B. En particular, mostraremos que todo morfismo de conjuntos simpliciales se factoriza como un morfismo anodino interno seguido de una fibración interna.

Continuamos con el estudio de las quasicategorías, siguiendo como guía el artículo "Stuff about quasicategories", de C. Rezk. En este encuentro veremos las clases de saturación, que utilizaremos para generalizar el concepto de las inclusiones de cuernos, y sus extensiones. También estudiaremos el concepto de isomorfismo dentro de una quasicategoría, para así poder definir un quasigrupoide, y su relación con los complejos de Kan.

Año 2017

Año 2016