Aritmética de curvas elípticas
Profesor: Ariel Pacetti
Puntaje: 4 puntos (Lic. y Prof.)
Correlatividades: Álgebra II, Geometría Proyectiva (si un alumno está interesado en cursar la materia pero no posee las correlatividades requeridas, contáctese con el Dr. Pacetti)
Carga horaria: 4 hs (teórico práctico)
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
En este curso comenzaremos con la definición de una curva elíptica con su estructura de grupo abeliano (en cualquier cuerpo). Estudiaremos curvas elípticas sobre el cuerpo de números complejos y su correspondencia con retículos en el plano complejo (Teorema de Eichler-Shimura).
Continuaremos con el estudio de curvas sobre cuerpos de números, demostraremos el Teorema de Mordell utilizando el método del descenso, y veremos ejemplos donde esta demostración nos permite calcular explícitamente el rango de la curva elíptica (introduciendo el grupo de Tate-Shafarevich). También hablaremos de la noción de isogenías de una curva elíptica. Luego estudiaremos curvas elípticas sobre cuerpos finitos (Teorema de Hasse) y la reducción de una curva sobre un cuerpo modulo primos para poder calcular la torsión.
Finalmente definiremos la serie L de una curva elíptica (enunciando la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer) y luego de dar una noción elemental de formas modulares, enunciaremos el famoso Teorema de Shimura-Taniyama-Wiles.
Bibliografía:
The Arithmethic of Elliptic Curves, J. Silverman
Rational Points on Elliptic Curves, J. Tate , J. Silverman
Elliptic Curves, W. Knapp
Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, N. Koblitz
