Profesor:      Gabriel Acosta Rodríguez
   
Puntaje:  4 puntos (Lic. y Prof.)

Correlatividades:  Análisis real / Medida y probabilidad

Carga horaria:   6 horas por semana (teóricas y prácticas)

Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática

Breve descripción de la materia:

1. Teoría General de la Medida
1.1     Repaso de Teoría General de la Medida
1.2     Teoremas de cubrimiento de Vitali y de Besicovich
1.3     Diferenciación de medidas de Radon
1.4     Puntos de Lebesgue; Continuidad aproximada
1.5     Teorema de representación de Riesz
1.6     Convergencia débil y criterio de compacidad para medidas de Radon

2. Medidas de Hausdorff
2.1   Definición y propiedades elementales; dimensión de Hausdorff
2.2     Desigualdad Isodiamétrica; LN = HN
2.3     Densidades
2.4     Medida de Hausdorff y propiedades elementales de las funciones

3. Fórmulas de área y de co-área
3.1     Funciones Lipschitz, Teorema de Rademacher
3.2     Mapas lineales; Jacobianos
3.3     La fórmula de área
3.4     La fórmula de co-área

4. Funciones de Variación Acotada (BV) y Conjuntos de Perímetro Finito
4.1     Definiciones; Teorema de Estructura
4.2     Aproximación y compacidad
4.3     Trazas y extensiones
4.4     Fórmula de co-área para funciones BV
4.5     Desigualdades Isoperimétricas
4.6     La frontera reducida; El borde en el sentido de la teoría de la medida; El Teorema de Gauss - Green
4.7     Propiedades puntuales de funciones BV
4.8     Variación escencial en líneas; Criterio para perímetro finito

5. Funciones de Sobolev
5.1     Definición y propiedades elementales
5.2     Aproximación, trazas y extensión
5.3     Desigualdades de Sobolev; Teorema de compacidad Rellich - Kondrashov
5.4     Capacidad
5.5     Cuasicontinuidad; Representante preciso de funciones de Sobolev
5.6     Diferenciabilidad en líneas

Bibliografía:

1.    L.C. Evans - R.F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions". Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, 1992.
2.    K. Falconer, "Fractal Geometry". Wiley, New York, 1990.
3.    H. Federer, "Geometric Measure Theory". Springer-Verlag, New York, 1969.
4.    D. Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
5.    E. Stein, "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions". Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
6.    W. Ziemer, "Weakly Differentiable Functions". Springer-Verlag, New York, 1989.


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