El objetivo principal del curso es introducir a los alumnos a algunos de los resultados más importantes de los últimos 30 años en la teoría de las Formas Modulares, Curvas Elípticas y representaciones de Galois asociadas. Se pretende que el alumno al acabar el curso haya adquirido cierta familiaridad con las técnicas algebraicas, aritméticas y geométricas que intervienen en las demostraciones de algunos de estos resultados. Dentro de este "triángulo" (tres objetos que queremos ver que se relacionan dos a dos) comenzaremos con resultados clásicos pero profundos sobre la interconexión entre curvas elípticas y sus representaciones de Galois asociadas: ¿Cómo relacionar propiedades geométricas de la curva con el comportamiento (ramificación) de las representationes de Galois asociadas? Luego pasaremos a considerar el caso de formas modulares, y veremos cómo la modularidad de curvas elípticas juega un papel esencial en la resolución del Ultimo Teorema de Fermat y de otras ecuaciones diofánticas. A partir de aquí nos centraremos en estudiar algunas de las ideas involucradas en resultados de bajada de nivel (Mazur-Ribet) y de modularidad como el de Wiles para curvas elípticas y otros más generales.     

• Representaciones de Galois: definición, ejemplos, conductor de Artin de una representación, representaciones asociadas a una curva elíptica y a una forma modular.

• Primos de mala reducción de curvas elípticas y ramificación de las representaciones de Galois asociadas: criterio de Ogg-Néron-Shafarevich.

• Bajada de nivel: Teoremas de Mazur y Ribet sobre congruencias entre representaciones asociadas a formas modulares.

• Demostración del Teorema de Fermat: demostración de como el truco de Frey junto con el Teorema de Ribet de bajada de nivel y el Teorema de Shimura-Taniyama-Wiles implican el Teorema de Fermat.

• Aplicación del método a otras ecuaciones diofánticas.

• Conjeturas de Serre: enunciado y aplicaciones.

Bibliografía

• J. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, GTM

• Ribet, Kenneth A.; Stein, William A. Lectures on Serre's conjectures. Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999), 143--232,IAS/Park City Math. Ser., 9, AMS, 2001.

• F. Diamond- J. Shurman: A first course in modular forms, GTM, Springer-Verlag

• J.-P. Serre: Abelian l-adic representations and elliptic curves, Research Notes in Mathematics, a K Peters, Vol 7.

• Modular Forms and Fermat's Last Theorem, Cornell, Silverman, Stevens (Eds.), Springer-Verlag