Temas de teoría ergódica
Profesor: Pablo Shmerkin
Puntaje: 2 puntos (Lic. y Prof.)
Correlatividades: Análisis Real (Medida y Probabilidad)
Carga horaria: 6 horas por semana (Teórico-práctico) durante 7 semanas
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática. Doctorado en Matemática.
Breve descripción del curso:
En la primera parte del curso (4 a 5 semanas) se desarrollarán los conceptos y resultados básicos de teoría ergódica:
(1) Ejemplos básicos.
(2) Construcciones en teoría ergódica: transformaciones inducidas, torres, extensión natural, etc.
(3) Teoremas ergódicos.
(4) Ergodicidad, mixing débil y fuerte.
(5) Descomposición ergódica.
(6) Entropía.
En la segunda parte del curso (2 a 3 semanas), en la medida que el tiempo lo permita, se presentrán los siguientes temas más avanzados, sobre los que hay una activa investigación en la actualidad:
(1) Conjuntos y medidas invariantes bajo multiplicación por 2 y por 3 en el círculo. Teoremas de Furstenberg y de Rudolph-Johnson. Panorama de resultados recientes.
(2) El Teorema de Szemerédi sobre progresiones aritméticas en conjuntos de densidad positiva utilizando teoría ergódica: esbozo del argumento, principio de correspondencia, ideas en la demostración de casos particulares (Teorema de Roth, caso mixing débil). Enunciado de generalizaciones recientes.
Bibliografía: En la primer parte del curso, seguiremos el libro de Karl Petersen “Ergodic Theory”, en especial los capítulos 1, 2 y 5. Otro libro que contiene el material es “An Introduction to Ergodic Theory” de Peter Walters.
Para la segunda parte nos basaremos en los papers “Disjointness in Ergodic Theory, Minimal Sets, and a Problem in Diophantine Approximation” de H. Furstenberg (Solo la parte IV) y “Ergodic Methods in Additive Combinatorics” de B. Kra (Secciones 1-5).
