Profesor:     UDAYAN DARJI (University of Louisville, USA)
   
Puntaje: 2 puntos (Lic. y Prof.)

Correlatividades:  Análisis Real  

Carga horaria:   3 horas por semana (durante 2 meses, entre marzo y mayo, a partir del 26 de marzo)

Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática


Breve descripción del curso:

La teoría descriptiva de conjuntos es el estudio de los objetos definibles como los conjuntos de Borel, los conjuntos analíticos, relaciones de equivalencia, etc. Durante los últimos treinta años se han utilizado técnicas de este tema para resolver importantes problemas abiertos en otras áreas de la matemática como análisis de Fourier,  sistemas dinámicos, topología,  teoría de grupos.  Se usa frecuentemente la teoría descriptiva de conjuntos para mostrar que ciertas clasificaciones y caracterizaciones no son posibles. Por ejemplo, un problema de análisis de Fourier que estuvo abierto durante mucho tiempo fue la caracterización de los conjuntos compactos del círculo que son conjuntos de singularidades de series trigonométricas. Desde  el comienzo del siglo pasado diversos matemáticos importantes trataron de resolver este problema sin éxito. En los ochenta Kaufman y Solovay mostraron, usando las técnicas de la teoría descriptiva de conjuntos, que lo que trataban de hacer en el pasado no era posible. En particular, ellos mostraron que el conjunto de los conjuntos de singularidades de series trigonométricas es el complemento de un conjunto analítico no boreliano. El fracaso de las técnicas utilizadas en el pasado se debió a que éstas  siempre producían colecciones de borelianos.

En esta materia  estudiaremos cuestiones  básicas de la teoría descriptiva de conjuntos y sus aplicaciones. Trabajaremos en teoría de series de Fourier,  teoría de la medida, topología y teoría de grupos dependiendo de  los intereses de los participantes. El libro principal que usaremos es el libro de Kechris llamado “Classical Descriptive Set Theory”.


Referencias
[1] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156, Springer-Verlag, New York, 1995.
[2] S. M. Srivastava, A course on Borel sets.     Graduate Texts in Mathematics, 180. Springer-Verlag, New York, 1998.
[3] Y. N. Moschovakis, Descriptive set theory.     Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1980
[4] A. S. Kechris; A. Louveau, Descriptive set theory and the structure of sets of uniqueness. London Mathematical Society Lecture Note Series, 128. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
[5] R. Kaufman, Fourier transforms and descriptive set theory.     Mathematika 31, (1984), no. 2, 336–339.
[6] J. P.     R. Christensen, Measure theoretic zero sets in infinite dimensional spaces and applications to differentiability of Lipschitz mappings. Actes du Deuxime Colloque d’Analyse Fonctionnelle de Bordeaux (Univ. Bordeaux, 1973), I , pp. 29–39.
[7] U. Darji  and J. D. Mitchell, Highly transitive subgroups of the symmetric group on the natural numbers, Colloq. Math. 112 (2008) 163–173.
[8] A. S. Kechris, and C. Rosendal, Turbulence, amalgamation, and generic automorphisms of homogeneous structures. Proc. Lond. Math. Soc. (3) bf 94 (2007), no. 2, 302–350.
[9] Randall Dougherty, Jan Mycielski, The prevalence of permutations with infinite cycles.     Fund. Math. 144 (1994), no. 1, 89–94.
[10] B. R. Hunt, T. Sauer, J. A. Yorke, Prevalence:     a translation-invariant “almost every” on infinite-dimensional spaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992), no. 2, 217–238.
[11] Irwin, Trevor; S. Solecki, Projective Frass limits and the pseudo-arc.     Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), no. 7, 3077–3096.
[12] S. Solecki, The space of composants of     an indecomposable continuum. Adv. Math. 166 (2002), no. 2, 149–192.
[13] Darji, Udayan B.; Marcone, Alberto Complexity of curves.     Fund. Math. 182 (2004), no. 1, 79–93.
[14] Camerlo, Riccardo; Darji, Udayan B. Construction of Borel inseparable coanalytic sets.    Real Anal. Exchange 28 (2002/03), no. 1, 163–180.
[15] D’Aniello, Emma; Darji, Udayan B.     Cn functions, Hausdorff measures, and analytic sets. Adv. Math. 164 (2001), no. 1, 117–143. [16] Akin, Ethan; Glasner, Eli; Weiss, Benjamin Generically there is but one self homeomorphism of the Cantor set. Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), no. 7, 3613–3630.

APUNTES

El curso durará ocho semanas. Para poder cursar, se recomienda tener conocimientos básicos sobre topología y teoría de la medida. Nos reuniremos tres horas por semana.

Aula y horario: El horario es flexible pero la primera clase será el viernes 26 de marzo  a las 15 hs en aula a confirmar. 

Cualquier consulta enviar un mail a esta dirección.