Teoría de Números
Profesor: GABRIELA JERONIMO
Puntaje: 4 puntos (Lic. y Prof.)
Correlatividades: TP y final de Álgebra II (cursada y final, resp.)
Carga horaria: 6 horas por semana (entre teóricas y prácticas)
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
- Teoría elemental: Ecuaciones cuadráticas en Z/nZ. Unidades de Z/nZ. Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad cuadrática.
- Métodos geométricos – Parte I: Grupos abelianos libres. Retículos de Rn. Teorema de Minkowski. Aplicación: representación de enteros positivos como suma de cuadrados.
- Teoría algebraica: Extensiones de cuerpos. Números algebraicos. Enteros algebraicos. Anillos de enteros. Ejemplos: cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. Factorización en anillos de enteros. Dominios euclidianos. Consecuencias de la unicidad de factorización para la resolución de ecuaciones diofánticas. Ejemplos de no unicidad de factorización. Ideales: factorización prima.
- Métodos geométricos – Parte II: El grupo de clases de un cuerpo de números. Finitud del grupo de clases. Aplicaciones: Demostración de un caso particular del último Teorema de Fermat. Teorema de las unidades de Dirichlet.
- Nociones básicas de curvas elípticas: Curvas cúbicas en forma de Weierstrass. Ley de grupo. Puntos de orden finito. Teorema de Nagell-Lutz. El grupo de puntos racionales. Teorema de Mordell. Puntos racionales sobre cuerpos finitos. Aplicación: un algoritmo de factorización de enteros usando curvas elípticas.
- Kenneth Ireland, Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, GTM Springer, 1982.
- Anthony W. Knapp, Elliptic Curves, Princeton University Press, 1992.
- Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer, 1977.
- Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves, UTM Springer, 1992.
- Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1987.
Reunión preliminar: MIÉRCOLES 2 DE SEPTIEMBRE 15 HORAS
Aula y horario:
