Sucesiones y series
Profesor: Norberto Fava
Puntaje: 2 puntos (Lic. y Prof.)
Correlatividades: Análisis I y no tener aprobados: TP ni Taller de Cálculo Avanzado, ni los viejos Complementos de Análisis II (M), ni los TP del Seminario Elemental de Análisis 2007.
Carga horaria: 4 horas por semana ()
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática.
Breve descripción del curso:
- Introducción. Números reales y números complejos. Valor absoluto y módulo; distancias. Funciones de variable real y funciones de variable compleja.
- Sucesiones y series. Sucesiones. Sucesiones y conjuntos de números. Sucesiones monótonas. Convergencia y divergencia. Criterio de Cauchy y sus generalizaciones. Series infinitas.
- Criterios principales para series infinitas. Operaciones con series convergentes. Series de términos positivos. Primer criterio principal. Criterios de comparación. Criterios de la raíz y del cociente. Series de términos positivos monótonamente decrecientes. Segundo criterio principal. Convergencia absoluta. Operaciones con series convergentes. Productos infinitos.
- Series de potencias. Disco de convergencia. Funciones representadas por series de potencias. Operaciones con series de potencias. Inversión de una serie de potencias.
- Desarrollo de la teoría de convergencia. Teoremas de Abel, Dini y Pringsheim. Fórmula de Abel sobre sumas parciales. Lemas. Criterios de Abel y de Dirichlet y sus generalizaciones. Transformaciones de series. Multiplicación de series.
- Desarrollos de funciones elementales. Concepto de función elemental. Funciones racionales. Función exponencial y funciones circulares. Función logarítmica. Serie binomial. Funciones ciclométricas.
- Sumabilidad de sucesiones y series. Matrices de Toeplitz. Métodos de
sumabilidad: métodos de Cesaro y de Abel. Teorema de Abel-Stolz. Teoremas
de Tauber y de Hardy. Aplicaciones.
[1] T. J. Bromwich, An introduction to the
Theory of Infinite Series, 3ra. Edición, Chelsea, 1991
[2] K. Knopp, Infinite Sequences and Series, Dover, 1956
[3] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3ra. edición, McGraw-Hill, 1976.
