Profesor:    Alicia Dickenstein

Puntaje:    4 puntos (Licenciatura y Profesorado) y 2 puntos (Doctorado)

Correlatividades: Álgebra Lineal

Carga horaria:     6 horas    

 Carreras:    
    Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
    Profesorado en Matemática

    Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:

1) Polinomios en una variable. Máximo común divisor, factorización. Raíces reales. Algoritmos de Descartes y Sturm. Ideales.

2) Polinomios en varias variables. Factorización única. Polinomios y funciones polinomiales. Ideales.  Variedades algebraicas afines.

3) Bases de Groebner. Ordenes monomiales, algoritmo de división. Lema de Dickson. Teorema de la base de Hilbert. Algoritmo de Buchberger.

4) Eliminación. La geometría de la eliminación. Teoremas de eliminación y extensión.  Resultantes.

5) Nullstellensatz de Hilbert. Correspondencia entre ideales radicales y variedades afines. Suma, producto e intersección de ideales. Clausura de Zariski. Cocientes por ideales. Variedades irreducibles e ideales primos.

6) Aplicaciones de bases de Groebner (problemas en robótica, demostración automática de teoremas geométricos, teoría de invariantes de grupos finitos, aplicaciones polinomiales inversibles).

7) Variedades proyectivas. Clausura proyectiva. Teorema de Bézout.

8) Variedades cero dimensionales.  Caracterizaciones equivalentes. Bases del cociente vía bases de Groebner. Cálculos efectivos.

9) La dimensión de una variedad afín.  Dimensión y función de Hilbert. Dimensión e independencia algebraica.

Bibliografía:

– Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gr¨obner Bases. Graduate Studies in Mathematics,   AMS, 1994.

– Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner bases. A computational Approach to Commutative Algebra.   Springer-Verlag, 1993.

– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Ideals , Varieties and Algorithms: An introduction to Computational   Algebraic Geometry and Commutative Algebra.  Undergraduate Texts in   Mathematics. Springer-Verlag, 1992

– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.

– von zur Gathen J. - Gerhard J. : Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 1999.

– Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.

– Lejeune-Jalabert M. : Effectivit´e des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA. Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.

– Mignotte M. : Math´ematiques pour le Calcul Formel. Presses Universitaires Fran¸caises, 1986.

– Mignotte M., Stefanescu D. : Polynomials, An Algorithmic Approach. Springer-Verlag, 1999.

– Mishra, B. : Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.

– Van der Waerden, B.L. : Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York, 1969.

Reunión preliminar:

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