Profesor:     Fernando Cukierman

Puntaje:    4 puntos (Licenciatura, Profesorado y Doctorado)

Correlatividades: Álgebra II

Carga horaria:   4 horas por semana

 Carreras:    
    Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
    Profesorado en Matemática

    Doctorado en Matemática

Breve descripción del curso:

• Teoría elemental: Ecuaciones cuadráticas en Z/nZ. Unidades de Z/nZ. Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad cuadrática.
• Métodos geométricos – Parte I: Grupos abelianos libres. Retículos de R^n. Teorema de Minkowski. Aplicación: representación de enteros positivos como suma de cuadrados.
• Teoría algebraica: Extensiones de cuerpos. Números algebraicos. Enteros algebraicos. Anillos de enteros. Ejemplos: cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. Factorización en anillos de enteros. Dominios euclidianos. Consecuencias de la unicidad de factorización para la resolución de ecuaciones diofánticas. Ejemplos de no unicidad de factorización. Ideales: factorización prima.
• Métodos geométricos – Parte II: El grupo de clases de un cuerpo de números. Finitud del grupo de clases. Aplicaciones: Demostración de un caso particular del último Teorema de Fermat. Teorema de las unidades de Dirichlet.
• Nociones básicas de curvas elípticas: Curvas cúbicas en forma de Weierstrass. Ley de grupo. Puntos de orden finito. Teorema de Nagell-Lutz. El grupo de puntos racionales. Teorema de Mordell. Puntos racionales sobre cuerpos finitos. Aplicación: un algoritmo de factorización de enteros usando curvas elípticas.

Bibliografía:

• Kenneth Ireland, Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, GTM Springer, 1982.
• Anthony W. Knapp, Elliptic Curves, Princeton University Press, 1992.
• Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer, 1977.
• Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves, UTM Springer, 1992.
• Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1987.

Reunión preliminar: 

Horarios: