Problemas Métricos
Profesor: Gabriel Larotonda
Puntaje: 4 puntos
Correlatividades: Análisis Funcional y Geometría Diferencial (TP)
Carga horaria: 6 horas semanales
Carreras:
Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
Profesorado en Matemática
Doctorado en Matemática
Breve descripción del curso:
El objeto de la materia es el estudio de variedades diferenciables con una métrica de Finsler concreta, y los problemas métricos que surgen en este contexto. Se hace especial hincapié en evitar el uso de coordenadas y en aplicar los métodos del análisis funcional a saber: cálculo de variaciones, convexidad de la distancia geodésica. Así se estudian los problemas sin limitaciones de dimensión y los aspectos métricos fundamentales no quedan enmascarados por la notación habitual de tensores y sus acompañantes. Se dará especial énfasis a los espacios de curvatura no positiva ya que allí la existencia de cartas globales simplifica aún más la discusión de los problemas y permite concentrarse en las propiedades de la exponencial.-
Geometría diferencial.
La bibliografía básica es el libro de Lang.- Variedades de Banach, variedades de Banach-Finsler. Sprays, derivadas covariantes. Longitud de curvas, métricas, variedades de Banach-Finsler con spray. El caso Riemanniano como caso particular. Repaso de cálculo variacional.
- eodésicas, función exponencial. El teorema de Hopf-Rinow en dimensión finita. Ejemplo: el teorema de Hopf-Rinow es falso en dimension infinita.
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Geometría métrica.
La bibliografía básica es el libro de Jost.- Espacios de longeur. Segmentos geodésicos. Convexidad de la distancia.
- Nociones elementales de curvatura no positiva: Busemann y Alexandrov.
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Ejemplos vinculados al grupo lineal y operadores acotados.
- Repaso de matrices y operadores, traza, normas. Repaso de cálculo funcional.
- Espacios homogéneos. Ejemplos: matrices y operadores positivos. Operadores unitarios.
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Aplicaciones.
- El teorema de Hopf-Rinow via convexidad en espacios de curvatura no positiva. Minimalidad de geodésicas via convexidad de la distancia. Caso hiperbólico (operadores positivos). Espacios uniformemente convexos y la unicidad de las geodésicas en el caso hiperbólico.
- Minimalidad de geodésicas via cálculo variacional. Caso elíptico (operadores unitarios y sus espacios homogéneos).
Bibliografía:
- D. Beltita: Smooth homogeneous structures in operator theory. Chapman et Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 137. Chapman et Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006.
- S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Pure and Applied Mathematics, 80. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1978.
- J. Jost: Nonpositive curvature: geometric and analytic aspects. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1997.
- S. Lang: Differential and Riemannian manifolds. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 160. Springer-Verlag, New York, 1995.
Reunión preliminar:
Horarios: martes a las 9 hs en el aula 14 del pabellón I.
