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Departamento de Matematica

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Teoría de números

Profesor:     Román Sasyk

Puntaje:    4 puntos

Correlatividades: Álgebra II

Carga horaria:           96 horas (6 horas por semana)

 Carreras:    
    Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada)
    Profesorado en Matemática 

Breve descripción del curso:

  • Teoría elemental: Ecuaciones cuadráticas en Z/nZ. Unidades de Z/nZ. Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad cuadrática.
  • Métodos geométricos – Parte I: Grupos abelianos libres. Retículos de R^n. Teorema de Minkowski. Aplicación: representación de enteros positivos como suma de cuadrados.
  • Teoría algebraica: Extensiones de cuerpos. Números algebraicos. Enteros algebraicos. Anillos de enteros. Ejemplos: cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. Factorización en anillos de enteros. Dominios euclidianos. Consecuencias de la unicidad de factorización para la resolución de ecuaciones diofánticas. Ejemplos de no unicidad de factorización. Ideales: factorización prima.
  • Métodos geométricos – Parte II: El grupo de clases de un cuerpo de números. Finitud del grupo de clases. Aplicaciones: Demostración de un caso particular del último Teorema de Fermat. Teorema de las unidades de Dirichlet.
  • Nociones básicas de curvas elípticas: Curvas cúbicas en forma de Weierstrass. Ley de grupo. Puntos de orden finito. Teorema de Nagell-Lutz. El grupo de puntos racionales. Teorema de Mordell. Puntos racionales sobre cuerpos finitos. Aplicación: un algoritmo de factorización de enteros usando curvas elípticas.

Bibliografía:

  • Kenneth Ireland, Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, GTM Springer, 1982.
  • Anthony W. Knapp, Elliptic Curves, Princeton University Press, 1992.
  • Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer, 1977.
  • Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves, UTM Springer, 1992.
  • Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1987.


Reunión preliminar: 


Horarios: 



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Last modified 2013-07-16 11:20 AM
 
 

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