Teoría de números
Teoría de números
Profesor: Román Sasyk
Puntaje: 4puntos Licenciatura, Profesorado y Posgrado
Correlatividades: Algebra II
Carga horaria: 6 horas semanales
Carreras: Licenciatura y Doctorado
Breve descripción del curso:
- Teoría elemental: Ecuaciones cuadráticas en Z/nZ. Unidades de Z/nZ. Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad cuadrática.
- Métodos geométricos – Parte I: Grupos abelianos libres. Retículos de R^n. Teorema de Minkowski. Aplicación: representación de enteros positivos como suma de cuadrados.
- Teoría algebraica: Extensiones de cuerpos. Números algebraicos. Enteros algebraicos. Anillos de enteros. Ejemplos: cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. Factorización en anillos de enteros. Dominios euclidianos. Consecuencias de la unicidad de factorización para la resolución de ecuaciones diofánticas. Ejemplos de no unicidad de factorización. Ideales: factorización prima.
- Métodos geométricos – Parte II: El grupo de clases de un cuerpo de números. Finitud del grupo de clases. Aplicaciones: Demostración de un caso particular del último Teorema de Fermat. Teorema de las unidades de Dirichlet.
- Nociones básicas de curvas elípticas: Curvas cúbicas en forma de Weierstrass. Ley de grupo. Puntos de orden finito. Teorema de Nagell-Lutz. El grupo de puntos racionales. Teorema de Mordell. Puntos racionales sobre cuerpos finitos. Aplicación: un algoritmo de factorización de enteros usando curvas elípticas.
Reunión preliminar:
Horarios:
