Tópicos en teoría de conjuntos

Profesor: Pedro Sánchez Terraf

Puntaje: 1 punto Licenciatura y Doctorado

Correlatividades:  Cálculo avanzado

Carga horaria: 6 horas semanales          

Carreras:    Licenciatura y Doctorado

Breve descripción del curso:

Repaso: axiomática ZFC, ordinales,    cardinales, aritmética cardinal. Teorema de Hessenberg. Unión de   conjuntos  con cardinal acotado, presencia de AC en la prueba.   

 Cofinalidad. Ordinales regulares. La cofinalidad es un cardinal   regular. Caracterización en términos de supremos de cardinales   menores. Teorema de König.    

 Características (invariantes) cardinales del   Continuo. Dominación de funciones. Familias casi disjuntas   (maximales). Cardinales b y a. Teorema de Solomon   b<= a. Cardinales p y t.   

 Posets: nociones de forzamiento, compatibilidad,   anticadenas. Ejemplo Fn (I,J): funciones y filtros. Conjuntos   densos, filtros genéricos. Teorema del Filtro Genérico   (MA(omega)). No hay genérico para Fn(omega,omega_1).     Condición de cadenas contables (ccc). Axioma de Martin MA(k);    MA(k) implica que k <2^{omega}.    

 Aplicaciones de MA a las características   cardinales del continuo: MA implica que bound=2^{omega}. MA   implica que 2^{omega} es regular y la unión de menos que continuos   conjuntos de medida Lebesgue 0 es un conjunto de medida nula.     Filtros como noción de ``conjuntos grandes''. Filtros e ideales   sobre P(k). Conjuntos estacionarios; aplicación a conjuntos de   medida 1, 0 y positiva en el intervalo [0,1].   

 Definición de filtro e ideales sobre X como casos particulares   de filtros en P(X){0}. Dual de un filtro.    Ultrafiltros. Los ultrafiltros son filtros maximales. Filtros   primos. Los ultrafiltros “preservan” los conectivos   lógicos. Filtros k -completos.      Conjuntos club. Intersección de <k  clubes es club. El filtro   Club(k). El ideal no estacionario. Ejemplos de conjuntos   estacionarios: S^theta_alpha. Matrices de Ulam; Club(k) no es ultrafiltro. Intersección diagonal: interpretación.   

  Ejemplos: (ultra)filtros principales. Ultrafiltros principales   son lambda -completos para todo lambda inCard.     Ejemplos de clubes en k: {beta: alpha <beta}, ordinales límites en k. Consecuencias para estacionarios. Las propiedades k  se   reflejan en algún elemento de todo estacionario.      El filtro club es cerrado por intersecciones diagonales de tamaño   k. Subálgebras de <k ,f> con f:k → k. Lema de   ``regresión'' de Fodor y aplicaciones a topología. Cardinales de   Mahlo.     Introducción al problema de la medida.   

 Problema de la Medida para cardinales. Medidas   lambda -aditivas. Cardinales medibles a valores reales (mvr). El primer   cardinal que admite una medida no trivial es mvr. Los cardinales mvr   son regulares. Átomos de una medida. Si el primer cardinal mvr   admite medida sin átomos, entonces 2^{omega} también.   

 Los cardinales mvr son débilmente   inaccesibles. Átomos y medidas a dos valores. Cardinales   medibles. Relación con ultrafiltros. Los cardinales medibles son   inaccesibles.

Bibliografía

[1] R. Cignoli, “Teoría axiomática de conjuntos: Una introducción”, Departamento de Matemática,

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires (2016).

[2] F. Drake, “Set Theory: An Introduction to Large Cardinals”, North-Holland Publishing Company (1974).

[3] T. Jech, “Set Theory”, Springer-Verlag (2006) edición del milenio (3ra).

[4] K. Kunen, “Set Theory”, College Publications (2011).

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