Profesor:     Román Sasyk
   
Puntaje:  4 puntos (Lic. y Prof.)

Correlatividades:  Análisis real

Carga horaria:   6 horas por semana (teórico-prácticas)

Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática

Contenidos:

Este es un curso introductorio a la Teoría Ergódica, un área de las matemáticas muy activa  y que está relacionada a muchas otras ramas del saber matemático, desde la lógica a los sistemas dinámicos, pasando por la teoría de números, la combinatoria y el análisis funcional.La noción de recurrencia será el eje conductor del curso, que constará de dos partes. En la primera de ellas, que abarca los ítems 1 a 5 se estudiarán nociones básicas de la teoría ergódica. En la segunda parte veremos algunas aplicaciones de la teoría ergódica a la teoría de números. Más precisamente, se presentará la Teoría de recurrencia múltiple, (también llamada Teoría Ergódica de Ramsey) iniciada por H. Furstenberg a fines de los '70 y que permitió demostrar entre otras cosas que cualquier subconjunto de los números naturales de densidad positiva contiene sucesiones aritméticas de cualquier longitud (Teorema de Szemeredi). Hoy en día esta Teoría es muy estudiada en parte por ser uno de los ingredientes principales de la demostración del Teorema de Green-Tao acerca de números primos en sucesión aritmética.

[1] H. Furstenberg, Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory,  Princeton University Press,  (1981).
[2] K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, (1983).
[3] T. Tao, V. Vu Additive Combinatorics, Cambridge University Press, (2006).

Programa:

(0) Introducción informal a los temas a tratar en el curso.
(1) Recurrencia y Teorema de Poincaré.
(2) Transformaciones ergódicas, mixing y weakly mixing.
(3) Teoremas ergódicos de Birkoff y von Neumann.
(4) Lema de la torre de Rokhlin.
(5) Entropía y teoría de la información.
(6) Teorema de Van der Warden.
(7) Teorema de Roth.
(8) Teorema de Szemeredi.
(9) Introducción a la teoría ergódica no conmutativa.