Profesor:     Pablo De Nápoli
   

Puntaje:  3 puntos (Lic. y Prof.)


Correlatividades:  Análisis complejo


Carga horaria:  4 horas por semana (teórico-prácticas)


Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática


Contenidos :

Funciones aritméticas: ejemplos (las funciones d(n) y $\sigma(n)$, $\varphi$ de Euler y $\mu$ de Möbius).La convolución de Dirichlet. La fórmula deinversión de Moëbius. Medias de funciones aritméticas. Fórmulas de sumación de Euler y de Abel.

Métodos elementales para estudiar la distribución de los números primos:Funciones de Chevishev. Distintas formas equivalentes del teorema de losnúmeros primos.

Funciones generatrices. Teoría aditiva: particiones. Teoríamultiplicativa: Series de Dirichlet. Productos de Euler. Ejemplos.

Algunos temas de variable compleja (necesarios para estudiar la funciónzeta y las L-series de Dirichlet): Funciones enteras de orden finito.Formula de Jensen. Teorema de factorización de Hadamard. Función Gama.

La función zeta de Riemann. Su  prolongación al plano complejo comofunción meromorfa. Ecuación funcional. Región clásica libre de ceros de lafunción zeta y demostración del teorema de los números primos.

Relación entre la distribución de los ceros de la función zeta y la distribución de los números primos (``fórmulasexplícitas''). Teorema de los números primos con error. Hipótesis de Riemann.

Caracteres de grupos abelianos finitos. Los caracteres de Dirichlet y sussumas de Gauss. L-Series de Dirichlet: prolongación analítica y ecuaciónfuncional. Teorema de Dirichlet sobre la infinitud de los primosen progresiones aritméticas.

Bibliografía

L. Alfhors,Complex analysis; an introduction to the theory of analytic functions  ofone complex variable. McGraw-Hill. New York, etc. (1953).

T. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de Números. Ed. Reverté(1980).

A. Córdoba. Lecciones de Teoría de los Números. Publicacionesdel Departamento de Matemáticas, Universidad de Extremadura / AsociaciónMatemática Española. (1987)

H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function;. Academic Press, New York, (1974).

G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.

A.E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, (1990).

A.A. Karatzuba. Fundamentos de la teoría analítica de los números, Karatsuba,Editorial Mir, Moscú (1975)

D. J. Newman. Analytical Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 177.Springer (1998).

E.C. Titchmarsh,The Theory of the Riemman Zeta Function. Science Publications.Oxford (1986).Notas del curso sobre números primos de Ben Green. Disponibles en http://www.dpmms.cam.ac.uk/~bjg23/primenumbers.html