Profesor:     Esteban Andruchow
    

Puntaje:  3 puntos (Lic. y Prof.)


Correlatividades:  Análisis funcional


Carga horaria:   4 horas por semana


Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática, Doctorado en Matemática


Contenidos :

Repaso de nociones básicas sobre espacios de Hilbert reales y complejos. Ejemplos elementales. Desigualdad de Schwarz, identidad del paralelogramo.Puntio más próximo a un convexo, proyección ortogonal sobre un subespacio. Descomposiciones ortogonales. Funcionales lineales, Teorema de Riesz-Frechet, Lema de Lax-Milgram. Bases ortonormales, desigualdad de Bessel, proceso de Gram- Schmidt. Isometrías.

Aplicaciones I.
Teorema de Radon-Nikodym. Problema de Dirichlet en un dominio acotado de R^n (usando Riesz-Frechet y Lax- Milgram).Polinomios trigonométricos, transformada de Fourier en la circunferencia.Operadores acotados. Operadores integrales de tipo Hilbert-Schmidt, de tipo Holmgren. Teorema de convexidad de M. Riesz.

Aplicaciones II.
Transformada de Fourier, teorema de Parseval y desigualdad de Hausdorff-Young. Transformada de Hilbert, transfromada de Laplace, transformada de Hilbert-Hankel.Operadores de Hilbert-Schmidt, espacios de Hilbert de operadores.

Aplicaciones III.
Inversa de un operador elíptico. Operadores definidos por ecuaciones parabólicas.Determinante  y resolvente de Fredholm. Ejemplos. Indice de Noether, estabilidad.

Aplicaciones IV.
Operadores de Toeplitz. Operadores de Hankel.Teorema espectral de un operador compacto y simétrico.Inversas de operadores diferenciales. Sistemas de Sturm-Liouville.Espacios de Hilbert de funciones analíticas. Núcleos reproductivos. Espacio de Hardy, espacio de Bergmann. Teorema de Beurling. Factorizaciones.


BIBLIOGRAFIA

J.B. Conway, A course in Functional Analysis, Springer,1990.

T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer, 1966P.

Lax, Functional Analysis, Wiley, 2002.

M. Reed y B. Simon, Methods of modern Mathematical Physics I y II, Academic Press, 1975, 1979.