Grupos y álgebras de Lie
Profesor: Estanislao Herscovich
Puntaje: 4 puntos (Lic. y Prof.)
Correlatividades: Álgebra II y Geometría proyectiva
Carga horaria: 6 horas por semana (teórico-práctico)
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática
Contenidos :
1. Grupos de Lie.Definiciones y ejemplos. Grupos de Lie clásicos. Propiedades.Representaciones lineales de grupos. Representaciones de grupos compactos.
2. Álgebras de Lie. Definiciones y ejemplos. El álgebra de Lie de un grupo de Lie. El álgebra de Lie de un grupo de Lie de matrices y subejemplos. La función exponencial.
3. Álgebras de Lie nilpotentes y solubles. Serie derivada y serie central descendente. Ideales. Teoremas de Lie y de Engel. Descomposición de Levi.
4. La forma de Killing. La representación adjunta y la forma de Killing. Criterio de semisimplicidad de Cartan.
5. Álgebras semisimples sobre C. Descomposición en espacios raíces. Subálgebras de Cartan. El ejemplo sl(n,C). Propiedades generales para g simple sobre C. Sistemas de raíces de las álgebras de Lie clásicas.
6. Teorema de clasificación. Axiomática de los sistemas de raíces. Reflexiones en el espacio euclídeo, grupo de Weyl. Sistemas de raíces. Raíces simples. Matriz de Cartan. Diagrama de Dynkin. Álgebras excepcionales. Teoremas de isomorfismo. Relaciones de Serre. Generadores de Chevalley-Serre.7. Teoría de representacions de álgebras de Lie semisimples. Modulos de Verma.
8. Aplicaciones a teoría de partículas en física.
BIBLIOGRAFÍA:
- Bourbaki, N., Elements de Mathématique, Groupes et Algèbres de Lie. Hermann, Paris 1960.
- Farinati M., Jancsa P., Grupos, Álgebras de Lie, y sus Representaciones. Universidad Nacional de Córdoba. FAMAF. Publicación Nº 56/2010. Link a la versión pdf.
- Helgason, S., Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978.
- Humphreys, J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978.
- Jacobson, N., Lie Algebras, Dover 1979. Knapp, A., Lie Groups Beyond an Introduction. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
- Serre, J.-P., Lie Algebras and Lie Groups. W. A. Benjamin, New York 1965. Warner, F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.
- Scott Foresman, Glenview, III, 1971. Second ed. Springer-Verlag. NY 1982.
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