Profesor:    Esteban Andruchow

Puntaje:   3 puntos (Licenciatura, Profesorado y Doctorado)

Carga horaria:    4 horas

Correlativas: Análisis real y Medida y probabilidad

Carreras:    Licenciatura Pura y Aplicada, Profesorado y Doctorado

Breve descripción del curso

Repaso de nociones básicas sobre espacios de Hilbert reales y complejos. Ejemplos elementales. Desigualdad de Schwarz, identidad del paralelogramo.

Puntio más próximo a un convexo, proyección ortogonal sobre un subespacio. Descomposiciones ortogonales. Funcionales lineales, Teorema de Riesz-Frechet, Lema de Lax-Milgram. Bases ortonormales, desigualdad de Bessel, proceso de Gram- Schmidt. Isometrías.

Aplicaciones I. Teorema de Radon-Nikodym. Problema de Dirichlet en un dominio acotado de R^n (usando Riesz-Frechet y Lax- Milgram).

Polinomios trigonométricos, transformada de Fourier en la circunferencia.

Operadores acotados. Operadores integrales de tipo Hilbert-Schmidt, de tipo Holmgren. Teorema de convexidad de M. Riesz.

Aplicaciones II. Transformada de Fourier, teorema de Parseval y desigualdad de Hausdorff-Young. Transformada de Hilbert, transfromada de Laplace, transformada de Hilbert-Hankel.

Operadores de Hilbert-Schmidt, espacios de Hilbert de operadores.

Aplicaciones III. Inversa de un operador elíptico. Operadores definidos por ecuaciones parabólicas.

Determinante  y resolvente de Fredholm. Ejemplos. Indice de Noether, estabilidad.

Aplicaciones IV. Operadores de Toeplitz. Operadores de Hankel.

Teorema espectral de un operador compacto y simétrico.

Inversas de operadores diferenciales. Sistemas de Sturm-Liouville.

Espacios de Hilbert de funciones analíticas. Núcleos reproductivos. Espacio de Hardy, espacio de Bergmann. Teorema de Beurling. Factorizaciones.

J.B. Conway, A course in Functional Analysis, Springer,1990.

T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer, 1966

P. Lax, Functional Analysis, Wiley, 2002.

M. Reed y B. Simon, Methods of modern Mathematical Physics I y II, Academic Press, 1975, 1979.