Ecuaciones polinomiales y algoritmos
Profesor: Teresa Krick
Puntaje: 4 puntos (Licenciatura) y 2 puntos (Doctorado)
Correlatividades: Algebra lineal
Carga horaria: 6 horas
Carreras: Licenciatura Pura y Aplicada y Doctorado
Breve descripción del curso:
(1) Polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo: Máximo común divisor y factorización única (Repaso). Raíces en R[X]: Algoritmos de Descartes y Sturm para determinar el número de raíces reales. Equivalencia de las factorizaciones en Q[X] y Z[X]: Polinomios primitivos, Lema de Gauss, Criterio de Eisenstein. El algoritmo de Kronecker de factorización en Q[X].
(2) Polinomios en varias variables: Factorización única. Polinomios irreducibles. Especialización y polinomios nulos.
(3) Ideales de K[X1,...,Xn]: Ideales monomiales y el Lema de Dickson. Ordenes monomiales. Teorema de la base de Hilbert (Noetherianidad). Algoritmo de división de Hironaka en K[X1,...,Xn].
(4) Bases de Gröbner: Definición, equivalencias y propiedades. Algoritmo de Buchberger de construcción de una base de Gröbner. Aplicación a los problemas de pertenencia de un polinomio a un ideal y representación. Comparación con el punto de vista clásico. El teorema de Eliminación. Operaciones con ideales y bases de Gröbner.
(5) Variedades en Kn: Las correspondencias I vs. VK(I) y V vs. IK(V ). El radical de un ideal e ideales radicales. Proyecciones de variedades e ideales de eliminación.
(6) La correspondencia recíproca "ideal radical de C[X1,...,Xn] y su variedad de ceros en Cn": La Resultante de dos polinomios en una variable. El Discriminante. El teorema de Extensión. El Nullstellensatz. Equivalencias. La correspondencia. La clausura de Zariski de la proyección de una variedad.
(7) Ideales cero-dimensionales: Sistemas con finitas soluciones en Cn. Ideales cero-dimensionales radicales. Cocientes de anillos polinomiales. Ideales cero-dimensionales y la dimensión del espacio vectorial cociente.
(8) Descomposición primaria de un ideal: Ideales irreducibles y primarios. Ideales cociente. Descomposición primaria. Componentes aisladas e inmersas. Unicidad de los primos asociados y de las componentes aisladas. Algoritmos para el cálculo de la descomposición primaria de un ideal cero-dimensional (caso racional y caso general).
Bibliografía:
– Adams W., Loustaunau P.: An introduction to Gröbner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.
– Becker T.,Weispfenning V.: Gröbner bases. A computational Approach to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.
– Cox D., Little J., O’Shea D.: Ideals, Varieties and Algorithms: An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1992
– Cox D., Little J. - O’Shea D.: Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
– von zur Gathen J., Gerhard J.: Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 1999.
– Greuel G-M., Pfister G.: A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.
– Lejeune-Jalabert M.: Effectivité des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA. Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.
– Mignotte M.: Mathématiques pour le Calcul Formel. Presses Universitaires Francaises, 1986.
– Mignotte M., Stefanescu D.: Polynomials, An Algorithmic Approach. Springer-Verlag, 1999.
– Mishra, B.: Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.
– Van der Waerden, B.L.: Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York, 1969.
Reunión preliminar:
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