Profesor:     Pablo De Napoli

Puntaje:    4 puntos (Licenciatura y Doctorado)

Correlatividades: Análisis Real/Medida y probabilidad y Análisis complejo

Carga horaria:    6 horas

Carreras:    Licenciatura Pura y Aplicada y Dotorado

Breve descripción del curso:

1. Repaso de algunos conceptos de Análisis real. Introducción a las series y la transformada de Fourier. Teorema de interpolación de Riesz–Thorin. Desigualdades de Young para la convolución, y de Hausdorff–Young para la transformada de Fourier.

2. La desigualdad de Brunn-Minkowski y su forma funcional: la desigualdad de Prékopa-Leindler. Diversas aplicaciones y consecuencias. Aplicación a la prueba de la desigualdad isoperimétrica.

3. Reordenada radial decreciente funciones. Desigualdades que cumple la reordenada radial decreciente.

4. Introducción a los espacios de Sobolev. La desigualdad de Sobolev. Prueba clásica mediante la integral fraccionaria (teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev). Equivalencia con la desigualdad isoperimétrica cuando p=1. Versión con constante óptima: prueba mediante reducción al caso radial y transporte óptimo. Versiones fraccionarias.

5. Autovalores del Laplaciano. La desigualdad de Poincaré. La desigualdad de Rayleigh–Faber–Krahn.

Bibliografía:

[Bre11] H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.

[CENV04] D Cordero-Erausquin, B Nazaret, and Cédric Villani. A mass-transportation approach to sharp Sobolev and Gagliardo–Nirenberg

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[Gar02] R. J. Gardner. The brunn-minkowski inequality. Bulletin of the American Mathematical Society, 39(3):355–405, 2002.

[LL01] Elliott H. Lieb and Michael Loss. Analysis. 2nd ed. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2nd ed. edition, 2001.

[MLP93] Francesco Mercuri and Renato Luna Pedrosa. Uma Introdução às Desigualdades Isoperimétricas, volume 19o CBM-04. IMPA, 1993.

[SW71] Elias M Stein and Guido L Weiss. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, volume 1. Princeton University Press, 1971.

[Tal94] Giorgio Talenti. Inequalities in rearrangement invariant function spaces. In Nonlinear analysis, function spaces and applications. Vol. 5. Proceedings of the spring school held in Prague, May 23-28, 1994, pages 177–230. Prague: Prometheus Publishing House, 1994.