Análisis complejo y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

2do cuatrimestre 2009

Superficie de Riemann de f(z)=z^2

Docentes

Horario y aulas

Programa general de la materia

1. Funciones analíticas u holomorfas

   Números complejos. Funciones de variable compleja. Las funciones elementales en campo complejo. Límites y continuidad. Funciones analíticas. El cálculo diferencial e integral complejo. Fórmulas integrales de Cauchy. El teorema de Morera. El teorema de Liouville. El teorema del módulo máximo. Fórmulas integrales de Poisson para el círculo y para el semiplano. Series funcionales en el campo complejo. Serie de Taylor y serie de Laurent. Singularidades. Polos y residuos. Cálculo de integrales definidas.

2. Series e Integrales de Fourier

   Series de Fourier. Desigualdad de Bessel. Igualdad de Parseval. El teorema de óptima aproximación en media cuadrática. Condición suficiente para la convergencia puntual de series de Fourier. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Aplicaciones a la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

3. Ecuaciones Diferenciales

   Soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden por desarrollo en serie. Singularidad regular. Ecuación hipergeométrica. Ecuación de Legendre. Solución para grandes valores de |x|. Ecuación de Bessel.

Materias correlativas

1. Matemática 3 (para Cs. de la Atmósfera, Física y Oceanografía)
2. Análisis Matemático II (para Química)

Bibliografía sugerida

1. Ahlfors, L.V. Complex Analysis. Mc Graw Hill, 1966.
2. Cartan, H. Théorie élémentaire des functions analytiques d'une ou plusiers variables complexes. Hermann, Paris, 1961.
3. Churchill, R.V. Fourier Series and Boundary Value Problems. Mc Graw Hill, N. York, 1941.
4. Churchill, R.V. Complex Variable and Applications. Mc Graw Hill, N. York, 1960.
5. Lang, S. Complex Analysis. Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics 103, 1999.
6. Markushevich, A. Teoría de las Funciones Anal&iaacute;ticas. Tomos 1 y 2. Editorial Mir, Moscú, 1960.
7. Rudin, W. Real and Complex Analysis. Mc Graw Hill, New York, 1966.
8. Weinberger, H. A First Course in Partial Differential Equations: with Complex Variables and Transform Methods. Blaisdell Publishing Company, 1965.

Listas de Ejercicios Prácticos

1era Lista de ejercicios prácticos: Repaso de nociones básicas

2da Lista de ejercicios prácticos: Propiedades topológicas de los números complejos

3era Lista de ejercicios prácticos: Funciones holomorfas

4ta Lista de ejercicios prácticos: Series de potencias

5ta Lista de ejercicios prácticos: Integrales de camino y teorema de Cauchy

6ta Lista de ejercicios prácticos: Desarrollos de Laurent

7ma Lista de ejercicios prácticos: Integrales impropias y series de Fourier

8va Lista de ejercicios prácticos: Transformada de Fourier y de Laplace

9na Lista de ejercicios prácticos: Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Tablas y algunos apuntes

Integrales impropias

Series de Fourier

Tabla de Transformadas de Fourier

Apunte sobre transformada de Fourier

Tabla de transformadas de Laplace

Apunte de transformada de Laplace