1) Curvas parametricas planas y espaciales. Ejemplos. Longitud de arco, curvatura, torsion, ecuaciones de Frenet, teorema de clasificacion ortogonal.

2) Subvariedades de Rⁿ. Definiciones y ejemplos. Subvariedades definidas implicitamente. Espacio tangente, puntos regulares y puntos singulares. Funciones diferenciables, derivada, fibrado tangente.

3) Cuadricas en Rⁿ. Clasificacion ortogonal y afin. Rango, centro y puntos singulares. Otros problemas de clasificacion, accion de un grupo en un conjunto, invariantes.

4) Superficies en R³. Ejemplos: superficies de revolucion, superficies regladas. Primera forma fundamental. Aplicacion de Gauss, segunda forma fundamental, curvatura media y Gaussiana. Direcciones principales. Puntos elipticos, hiperbolicos y parabolicos. Ecuaciones de compatibilidad, teorema de clasificacion ortogonal de superficies.

5) Geodesicas. Enunciado y discusion de los axiomas de plano euclideo segun Hilbert. Superficies de revolucion de curvatura constante y modelos de geometrias no-euclideanas. Ideas sobre triangulos geodesicos y el teorema de Gauss-Bonnet.

6) Introduccion a la geometria axiomatica. Definicion axiomatica de plano afin y de plano proyectivo. Ejemplo: el plano proyectivo P²(K) asociado a un cuerpo K. Propiedades de Pappus y de Desargues, caracterizacion de P²(K).

7) Curvas algebraicas. Curvas algebraicas en el plano afin K². Puntos singulares, multiplicidad, cono tangente. Multiplicidad de interseccion. Curvas algebraicas en el plano proyectivo P²(K). Coordenadas homogeneas y coordenadas afines. Homogeneizacion y deshomogeneizacion. Teorema de Bezout. Aplicaciones. Puntos de inflexion y el Hessiano. Curva dual. Clasificacion de cuatro puntos, ordenados y no ordenados, en la recta proyectiva, razon doble, invariante j. Cubicas: clasificacion, forma de Weierstrass, estructura de grupo, parametrizacion mediante funciones elipticas. Genero aritmetico y genero geometrico. Caracterizacion de curvas racionales. Integrales abelianas.