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Programas

ALGEBRA I

1. Operadores conjuntistas, unión, intersección, diferencia simétrica, complemento. Propiedades, ley de De Morgan. Producto cartesiano, n-uplas. Funciones, gráficos, biyecciones. Composición. Relaciones. Relaciones de equivalencia. Particiones. Conjuntos cociente.

2. Inducción completa. Definiciones inductivas.

3. Elementos de análisis combinatorio. Combinaciones, permutaciones. Combinaciones con repetición. Particiones.

4. Enteros, divisibilidad. Algoritmo de división. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Primos. Teorema fundamental de la aritmética. Factorización. Congruencias. Sistemas de numeración. Racionales e irracionales.

5. Números complejos. Forma trigonométrica. Teorema de De Moivre. Raíces n-ésimas.

6. Polinomios. Teorema del resto. Divisibilidad. Raíces, multiplicidad. Teorema de Gauss.

BIBLIOGRAFIA

  • E. Gentile. Notas de Algebra (EUDEBA)
  • E. Gentile. Estructuras algebraicas I. (Public. OEA)
  • R. Cignoli. O. Ambas. Apuntes de la materia Lógica (Computadores): Algebras de Boole. Cálculo proporcional.
  • Birkhoff-Mc Lane. Algebra moderna.

ALGEBRA II

1. Grupos: definición. Subgrupos. Morfismos de grupos. Orden de un grupo. Subrupos normales. Grupo cociente. Propiedades: Grupos cíclicos. Teorema de Lagrange. Grupo simétrico.

2. Acción de un grupo sobre un conjunto. Estabilizador. Orbita. Teorema de Ecuación de clases. Teoremas de Sylow.

3. Anillos. Ideales. Dominios.

4. Módulos. Combinaciones lineales. Espacios vectoriales y grupos abelianos. Morfismos de módulos. Submódulos. Relaciones de equivalencia compatibles. Módulo cociente. Submódulo generado.

5. Sucesiones exactas. Morfismos. Extensiones y equivalencia. Propiedades relativas al módulo de morfismos.

6. Definición universal de producto directo. Propiedades de factorización. Definición universal de suma directa. Propiedades. Suma directa interna. Submódulos suplementarios. Proyectores.

7. Sistemas de generadores. Módulos de tipo finito. Módulos noetherianos y artinianos. Anillos noetherianos y artinianos.

8. Módulos de torsión y módulos divisibles sobre un dominio principal. Torsión y divisibilidad en un dominio íntegro. Estructura de módulo de torsión y divisible sobre un dominio principal.

9. Definición de módulo libre generado por un conjunto. Módulos libres. Rango de un módulo libre sobre un anillo conmutativo.

10. Producto tensorial. Aplicaciones bilineales. Definición universal de producto tensorial de módulos. Propiedades de factorización. Caso en que el anillo de base es conmutativo. Módulo de morfismos entre dos módulos cuando el anillo es conmutativo. Propiedades.

11. Módulos proyectivos e inyectivos. Caracterización de anillos semisimples. Teorema de Kaplansky. Caracterización de módulos proyectivos e inyectivos sobre un dominio principal.

12. Módulos de tipo finito sobre un dominio principal. Estructura.

13. Módulos playos. Propiedades. Criterios.

BIBLIOGRAFIA

  • Bourbaki. Algebre, Ch. II - 3ra. Ed.
  • Bourbaki. Algebre, Ch. VII - 2da. Ed.
  • Gentile. Estructuras Algebraicas I y II
  • Jacobson. Lectures in Abstract Algebra (Vol. I y Vol. II)
  • Lang. Algebra
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra lineal

ALGEBRA LINEAL

1. Espacios vectoriales Definición. Subespacios. Sistemas de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Suma de subespacios. Teorema de dimensión de la suma. Suma directa.

2. Matrices Subespacios de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades del álgebra de matrices. Matrices inversibles. Cálculo de la inversa. Matrices elementales como generadores de GL(n,K). Coordinadas y matrices de cambio de base.

3. Transformaciones lineales Definición. Núcleo, imagen, epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo. Teorema de la dimensión para transformaciones lineales. Proyectores y nilpotentes. Matriz de una transformación lineal. Rango de una matriz. Teorema sobre la dimensión del subespacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Equivalencia y semejanza de matrices.

4. Espacio dual Definición. Base dual. Anulador. Dimensión del espacio anulador. Ecuaciones para un subespacio en una base. Cambios de bases duales a partir de las bases originales. Anulador de la suma y de la intersección de subespacios. Función transpuesta.

5. Determinante Funciones multilineales alternadas por columnas definidas en matrices cuadradas. Existencia y unicidad fijando el valor en la identidad. Definición del determinante como la única multilineal alternada que vale 1 en la identidad. El determinante como función Alternada por filas. Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Efectos de la triangulación sobre el determinante. Criterio del determinante para decidir invertibilidad de matrices. Matriz adjunta. Regla de Cramer. Cálculo del rango de una matriz a partir de determinantes de submatrices. Area de paralelogramos y volumen de paralelepípedos. Fórmula del determinante usando permutaciones.

6. Diagonalización Polinomio característico de una matriz cuadrada. Autovalores y autovectores. Diagonalización de matrices. Polinomio minimal. Teorema de Hamilton-Cayley. Criterios de diagonalización basados en el polinomio característico y en el minimal. Subespacios invariantes.

7. Forma de Jordan Forma de Jordan para endomorfismos nilpotentes. Semejanza de matrices nilpotentes en Cnxn. Forma de Jordan general en Cnxn. Criterios para establecer semejanza de matrices en Cnxn. Potencias de una matriz en Cnxn.

8. Variedades lineales, espacio euclídeo, transformaciones ortogonales Definición de variedad lineal. Dimensión de una variedad lineal. Ecuaciones implícitas. Variedades paralelas y alabeadas. Formas bilineales simétricas, clasificación. Espacios vectoriales con producto interno. Ortogonalidad y ortonormalidad. Método de Gram-Schmidt. Proyecciones ortogonales. Distancia y ángulo. Adjunta de una transformación lineal. Transformaciones ortogonales. Clasificación en R2 y en R3. Isometrías.

BIBLIOGRAFIA

  • Algebra lineal, K. Hoffman y R. Kunze, Prentice Hall.
  • Algebra lineal y geometría. A. Larotonda, Eudeba.
  • Algebra lineal, S. Lang, Addison
  • Wesley.
  • Notas de Algebra II, E. Gentile, Editorial Docencia.
  • Algebra lineal, S. Lipschutz, Serie Schaum.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS Algebra

ELEMENTOS DE CALCULO NUMERICO (Para biologos)

1. Matrices y vectores asociados a sistemas lineales. Operaciones del álgebra matricial; asociatividad del producto. Matrices elementales. Matriz inversa. Matriz dada por bloques.

2. Eliminación gaussiana en sistemas lineales y triangulación de matrices. Matrices de permutación. Resolución de sistemas por triangulación gaussiana. Descomposición PA=LU, con A de m filas y n columnas, P de permutación, L y U triangulares inferior y superior respectivamente. Matriz totalmente reducida.

3. Espacios vectoriales y subespacios; dependencia e independencia lineal de conjunto de vectores. Espacios vectoriales finitamente generados. Bases de espacios vectoriales. Dimensión de espacios vectoriales finitamente generados. Espacio columna, fila y nulo de una matriz. Rango de una matriz. Teorema de la dimensión.

4. El espacio euclídeo N-dimensional; Producto escalar. Ortogonalidad de vectores en dos, tres y N dimensiones. Teorema de Pitágoras. Subespacios ortogonales. Proyecciones ortogonales. Procedimiento de Gram-Schmidt. Descomposición QR.

5. Aproximación por cuadrados mínimos. Soluciones por cuadrados mínimos de sistemas sin solución o no compatibles. Ecuaciones normales. Solución de mínima norma euclídea de las ecuaciones normales.

6. Determinantes y sus propiedades. Fórmulas para el cálculo de determinantes.

7. Autovalores y autovectores. El polinomio característico. Diagonalización de matrices con bases de autovectores.

8. Matrices de transición. Modelo lineal discreto. Modelos de evolución independiente. Matrices de probabilidad. Cadenas de Markov. Vectores estacionarios o estados de equilibrio. Vectores límite o comportamiento asintótico. Esquema general de un proceso de Markov discreto. Modelos de evolución y circulación. Modelos de circulación unidireccional. Modelos de fertilidad y supervivencia.

9. Computación: cálculo y programación mediante el utilitario MATLAB

BIBLIOGRAFIA

  • Algebra Lineal y sus aplicaciones, Gilbert Strang, Fondo educativo interamericano, 1982
  • Matriz algebra for the biological sciences. S.R.Searle, John Wiley, 1966.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS Análisis Matemático I

ESTADISTICA (Para químicos)

1. Diseño de experimentos. Experimentos controlados y estudios observacionales. Características fundamentales de cada tipo de estudio

2. Estadística Descriptiva. Tipos de variables. Métodos descriptivos visuales: Esquema de tallo-hoja, histograma. Boxplot. Medidas de posición y escala"Media, mediana, desvío estándar, distancia intercuartil, mediana de las desviaciones absolutas. Errores de medición: error aleatorio, datos anómalos, sesgo, tendencia. Aproximación normal a los datos. Percentiles. Gráficos cuantil-cuantil.

3. Probabilidad. Espacio muestral. Eventos. Definición de probabilidad. Propiedades. Espacios de probabilidad finitos. Probabilidad condicional. Independencia. Variables aleatorias. Función de probabilidad puntual y función de densidad. Función de distribución. Distribución conjunta. Independencia. Distribución binomial. Distribución normal. Propiedades. Distribución gamma. Propiedades. Distribución 2. Distribución t. Esperanza y varianza. Propiedades. Desigualdad de Chebishev. Teoremas límites: Ley débil de los grandes números. Teorema Central de Límite. Aproximación de la binomial por la normal.

4. Inferencia. Intervalos de confianza. Intervalo para la media ??de una distribución normal. Intervalo asintótico para la media ??de una distribución cualquiera. Intervalo asintótico para una proporción. Tamaño de muestra. Test de hipótesis. Presentación del problema de test de hipótesis. Hipótesis nula y alternativa. Región crítica. P-valor. Tipos de errores. Nivel y potencia de un test. Relación entre test e intervalos de confianza.

5. Test de hipótesis. Test para una muestra de observaciones. Test e intervalo de confianza para la media ? de una población normal con varianza desconocida. Test e intervalo de confianza para dos muestras normales independientes. Apartamiento del supuesto de homoscedasticidad: Test de Welsch. Test e intervalos de confianza asintóticos para dos muestras independientes. Test para muestras apareadas. Métodos basados en la distribución normal. Test del signo.

6. Análisis de la varianza. Modelo para el diseño a un factor. Partición de las sumas de cuadrados. Distribución de las sumas de cuadrados. Tabla de análisis de varianza. Test de Hartley para homogeneidad de varianzas. Comparaciones múltiples: Método de Tukey y de Bonferroni. Intervalos de confianza simultáneos.

7. Test de Bondad de Ajuste. Test de Kolmogorov-Smirnov de bondad de ajuste. Bandas de confianza para una distribución F. Test de normalidad de Lilliefors. Test de Shapiro-Wilk.

BIBLIOGRAFIA

  • Box G.E.P., W.G.Hunter and J.S.Hunter (1978). Statistics for experiments. An introduction for design, data analysis and model building. New Yor: Wiley.
  • Freeman, D., Pisani, R. And Purves, R. (1980). Statistcs W.W. Norton & Company.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Análisis II

ANALISIS I

1. Supremo e ínfimo. Límite de sucesiones. El número e, la función exponencial. Intervalos, conjuntos abiertos. Puntos de acumulación, conjuntos cerrados. Límite funcional. Continuidad, continuidad uniforme. Propiedades de funciones sobre compactos. Teoremas de Rolle y Lagrange. Regla de L'Hopital. Formula de Taylor, funciones de Ck, forma del resto.

2. Integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Convergencia uniforme e integración. Integrales impropias. Series. Convergencia absoluta e incondicional. Series alternadas, criterio de Leibnitz. Criterio integral. Límite superior. Criterios de Cauchy y D'Alembert.

3. Series de potencias, radio de convergencia. Integración y derivación. Producto. Lema de Abel. Serie exponencial, binómica. Exponencial compleja.

4. Descripción de propiedades relevantes de subconjuntos de R2, R3, Rn. Conexión. Límite funcional. Continuidad. Derivadas parciales y direccionales. Diferencial, caso de funciones compuestas, regla de la cadena. Gradiente. Teoremas del valor medio. Derivadas de orden superior, funciones Ck, C\infty. Formula de Taylor. Diferencial de segundo orden. Hessiano.

5. Funciones definidas implícitamente, F(x,y)=0. Casos en tres variables. Transformaciones. Uso de los teoremas de la función inversa y de funciones implícitas. Curvas en R2, curvas y superficies en R3, tangentes y normales. Coordenadas generalizadas.

6. Extremos de funciones de varias variables, condiciones suficientes: formas cuadráticas. Extremos ligados, multiplicadores de Lagrange.

BIBLIOGRAFIA

  • Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo. Analisis Matematico. Vol I. Ed. Kapeluz.
  • Marsden, Tromba. Calculo vectorial. Ed. Addison-Wesley.
  • Apostol. Calculus. Ed. Addison-Wesley.
  • Courant. Differential and integral calculus. Ed. Interscience.
  • Ayres. Calculus. Serie Shaum. Ed. Mc. Graw Hill

ANALISIS II

1. Integrales múltiples. Integrales dobles. Integrales múltiples. Cambio de variables en integrales múltiples. Convergencia uniforme. Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro. Integrales impropias dependientes de un parámetro.

2. Integrales curvilíneas o integrales de superficies. Longitud de curvas. Integrales curvilíneas. Independencia de las integrales curvilíneas en las curvas. El teorema de Green. Cambio de variables en integrales dobles. Superficies y área. Integrales de superficie. El teorema de la divergencia. Cambio de variables en integrales triples. El teorema de Stokes.

3. Integrales de Riemann-Stieljes. Definición. Propiedades.

4. Vectores. Algebra vectorial. Gradiente, divergencia y rotor. Operador nabla. Fórmulas usuales. Integrales vectoriales. Circulación y flujo de un vector. Interpretación vectorial de los teoremas de Gauss, Stokes y Green.

5. Ecuaciones de primer orden y de primer grado. Definiciones. Integración. Separación de variables. Ecuación homogénea. Ecuación con coeficientes constantes. Diferenciales exactas. Factor integrante. La ecuación lineal. Ecuación de Euler. La ecuación de Bernoulli. La ecuación de Ricatti.

6. Ecuaciones de segundo orden. Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes. Wronskiano. Método de variación de constantes. Sistemas lineales con coeficientes constantes.

7. Soluciones por desarrollo en serie. Desarrollo de una solución en serie de Taylor. Singularidad regular. La ecuación hipergeométrica. La ecuación de Legendre. Solución para grandes valores de |x |. La ecuación de Bessel y la función Jn(x).

8. Sistemas autónomos. Sistemas autónomos para n = 2. Singularidades. Sistemas lineales. Interpretación dinámica.

9. Teorema de existencia y unicidad. Sistemas de primer orden. Condición de Lipschitz. Sistemas normales.

BIBLIOGRAFIA

  • Apostol, T. "Análisis Matemático". Ed. Reverté, 1960 y "Calculus", Vol. II, Ed. Reverté, 1960.
  • Ayres, F. "Ecuaciones Diferenciales", Colección Schaum. 1969.
  • Bers, L. "Cálculo Diferencial e Integral". Vol. II. Interamericana, 1972.
  • Birkhoff, G. And Rota, G.C. "Ordinary Differential equations", Ginn & Company, 1962.
  • Coddington, E.A., "Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias", Compañía Editorial Continental, SA, 1ra. ed. en español, 7ma. ed. en inglés, 1968.
  • Coddington, E.A. & Levinson, N. "Theory of ordinary differential equations", Mc-Graw Hill, 1955.
  • Courant, R. "Differential and Integral Calculus". Vol. II. Intercience Publishers, 1959.
  • Creighton Buck, R. "Advanced Calculus". Mc Graw Hill, 1965.
  • Friedman, A. "Advanced Calculus". Holt, Reinhart and Winston, 1971.
  • Hurewicz, W. "Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias", Ediciones RIALP, Madrid, 1966.
  • INCE, E.L. "Integración de ecuaciones diferenciales ordinarias", Editorial Dossat, S.A., Madrid, 1939.
  • Piskunov, N. "Differential and Integral Calculus", (I and II). Mir Publishers, Moscú, 1974.
  • Pontryagin, L.S. "Ordinary Differential Equations", Addison-Wesley, 1962.
  • Rey Pastor, J., Pi Calleja, P. y Trejo, C. "Análisis Matemático" Vol. II., Ed. Kapelusz. 1961.
  • Rey Pastor, J., Pi Calleja, P. y Trejo C. "Análisis Matemático", Vol. III, Cap. XXVI, XXVII, XXIII. Ed. Kapelusz, 1961.
  • Rudin, W. "Principios de Análisis Matemático"Mc Graw-Hill, 2da. Ed. 1966.
  • Santaló, L. "Vectores y tensores", Eudeba.
  • Spiegel, M. "Cálculo Superior". Schaum.

COMPLEMENTOS PARA MATEMATICOS

1. El cuerpo de los números reales como cuerpo ordenado completo. Supremo e ínfimo. Completación por cortaduras del cuerpo racional.

2. Normas en Rn, distancia. Sucesiones convergentes. Puntos de aglomeración. Subsucesiones. Sucesiones de Cauchy, convergencia. Definición alternativa del cuerpo R con sucesiones de Cauchy racionales. Límites de oscilación.

3. Series. Convergencia absoluta y condicional. Desarrollo de un número real en una base b > 1. Unicidad. Aplicación: no numerabilidad de R.

4. Conjuntos abiertos y cerrados en Rn. Clausura. Puntos de acumulación y aislados. Compacidad, teorema de Heine-Borel en Rn. Formas equivalentes de la compacidad.

5. Límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Propiedades de las funciones contínuas sobre compactos. Continuidad uniforme. Funciones Lipehitzianas.

6. Funciones monótonas. Integral de Riemann-Stieltjes. Funciones de variación acotada. Integración por partes.

BIBLIOGRAFIA

  • T.Apostol. Mathematical Analysis, Addison Wesley Mass 1958.
  • J.Rey Pastor, Pi Calleja, C. Trejo Análisis Matemático Vol. 1 y 2, Kapelusz Bs. As. 1959.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Matemática 1 y 2 (p.Matemática 3) Matemática I y II (p.Matemática III)

COMPLEMENTOS PARA FISICOS (MATEMATICA 3)

1. Breve repaso de resolución de sistemas lineales y aplicaciones. Matrices.

2. Espacios vectoriales. Subespacios. Bases y dimensión. Coordenadas, sumas y sumas directas.

3. Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Representación de transformaciones por Matrices. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo. Teorema de la dimensión.

4. Determinantes. Definición y propiedades. Aplicaciones.

5. Autovalores y autovectores. Polinomio característico. Teorema de Hamilton Cayley. Matrices diagonalizables.

6. Forma normal de Jordan. Subespacios invariantes. Aplicaciones nilpotentes. Potencias de una matriz. Resolución de recurrencias lineales.

7. Espacios con producto interno. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Conjuntos ortonormales. Complemento ortogonal. Diagonalización de matrices simétricas. Aplicaciones y matrices ortogonales. Operadores positivos.

BIBLIOGRAFIA

  • Hoffman, K.; Kunze, R. Algebra Lineal. Prentice Hall, 1973.
  • Lages Lima, E. Algebra Linear, 2da. ed. Colecao Matematica Universitaria, IMPA, Brasil, 1996.
  • Lipschutz, S. Algebra Lineal. Serie Schaum. Mc. Graw Hill, 1971.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra I - Análisis I

ELEMENTOS DE CALCULO NUMERICO

1. Sistemas de numeración. Aritmética de punto fijo y flotante. Error de redondeo. Programación del error. Estabilidad y condición.

2. Solución numérica de ecuaciones de diferencias. Solución general. Soluciones particulares de la ecuación no homogénea. Ecuaciones de orden N.

3. Solución numérica de ecuaciones lineales. Métodos directos. Eliminación de Gauss. Métodos iterativos.

4. Solución numérica de ecuaciones no lineales. Métodos iterativos. Método de bisección. Método de Newton. Análisis de convergencia.

5. Integración numérica. Diferentes métodos. (Simpson, trapezoidal, Gaussiano). Error en integración numérica.

6. Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Algoritmo de Taylor. Métodos de tipo Runge-Kutta. Métodos basados en integración numérica.

7. Interpolación. Polinomios interpolador. Splines.

BIBLIOGRAFIA

  • Numerical Analysis. Lee W. Johnson - R.Dean Riess Addison-Wesley Publishing Company.
  • Computer Methods for Mathematical Computations. G.Forsythe. M. Malcohn. C.Moler. Prentice-Hall, Inc.
  • Elementary numerical analysis (an algorithmic approach), S.D.Conte Carl de Boor Mc.Graw-Hill Book Company.
  • Elementos de Análisis Numérico. Peter Henrici. 1972 Editorial Trillas.
  • Análisis Numérico. D.Kincaid-W.Cheney. Addison Wesley Ibero Am. 1994.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra I - Análisis I

ANALISIS COMPLEJO

Primera Parte

1. Números complejos Definición. Conjugación. Valor absoluto, desigualdad triangular. Forma Polar. Potencias y raices.

2. Funciones de variable compleja Límites y continuidad. Partes reales e imaginarias. Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condición necesaria y suficiente de derivabilidad en el campo complejo. Funciones armónicas y funciones armónicas conjugadas. Existencia de funciones conjugadas.

3. Sucesiones y Series en el campo complejo. Convergencia de las sucesiones de Cauchy. Convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme y continuidad. Series de potencias: Convergencia absoluta, radio de convergencia, teorema de Hadamarch, convergencia uniforme, analiticidad.

4. Funciones elementales La función exponencial en el campo complejo. Propiedades. Caracterización. Las funciones trigonométricas, ceros. Propiedades. Inversa de la función exponencial.

5. Integración de funciones de variable compleja Arcos derivables por secciones. Definición de integral y propiedades elementales de la integral. El teorema de Cauchy-Goursat para rectángulos. El teorema de Cauchy para el disco. Indice de una curva respecto de un punto, propiedades del índice. La fórmula integral de Cauchy. Derivados de orden superior de una función analítica. Teorema de Morera, la estimación de Cauchy para las derivadas. El teorema de Liouville. El teorema fundamental del álgebra.

6. Fórmula de Taylor Fórmula de Taylor, expresión del resto. Ceros de funciones analíticas: orden y aislación de los ceros. Extensión de funciones analíticas.

7. El principio del módulo máximo. Teorema de la aplicación abierta. Funciones inversas. Principio del módulo máximo. Aplicación a los principios del máximo y del mínimo de funciones armónicas. Lema de Schwarz, aplicaciones.

8. Forma general del teorema de Cauchy Simple conexión: Definición y equivalencia. El teorema de Cauchy en dominios simplemente conexos.

9. Singularidades aisladas Singularidades evitables, polos y singularidades esenciales. Desarrollo en series de Laurent y Taylor. Orden de un polo. Teorema de Casorati-Weierstrass. Residuos. Principio del argumento. Teorema de Rouché. Evaluación de integrales definidad por residuos.

10. Funciones meromorfas y enteras Teorema de Mittag-Leffter. Ejemplos. Productos infinitos. Teorema de Weierstrass. Ejemplos.

11. Representación conforme Familias normales. Teorema de Hurwitz. Teorema de Riemann de la aplicación conforme. Formulaciones equivalentes de la conexión simple en el campo complejo.

Segunda parte

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Existencia y unicidad Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales. Método de Picard-Lindeloff. Ejemplos. Caso particular de los sistemas lineales. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

2. La ecuación diferencial lineal de orden n Soluciones linealmente independientes. Sistema fundamental de soluciones. Wronskiano, Wronskiano de n soluciones. Condición necesaria y suficiente para que n soluciones de la ecuación diferencial sean linealmente independientes en términos de su wronskiano. Método de variación de las constantes para la ecuación no homogénea. Reducción del orden. Caso de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes: Sistemas fundamentales de soluciones, polinomios característico. Soluciones que corresponden a raíces múltiples.

3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Soluciones linealmente independientes. Matrices fundamentales. Condición necesaria y suficiente para la independencia de n soluciones en términos del determinante de la matriz dada por las soluciones. Método de variación de las constantes. Reducción del orden. Sistemas con coeficientes constantes. Matriz exponencial. Cálculo de la matriz exponencial utilizando la forma canónica de Jordan.

4. Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 con coeficientes analíticos. Soluciones por series de potencias, convergencia de la solución. Puntos singulares. Puntos singulares regulares. Teorema de Fuchs. Método de Frobenius. Aplicación a las ecuaciones de Bessel y Legendre.

BIBLIOGRAFIA Primera parte

  • L.V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co. (1979)
  • H. Cartan, Elementary Theory of Analytic Function of One or Several Complex Variables, Addison-Wesley Publishing Co. (1963).
  • J.B. Conway, Functions of One Complex Variables, Springer-Verlag (1978).
  • E.T. Copson, Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford at the Clarendon Press (1935).
  • E. Goursat, Cours D'Analyse Mathématique, Tome II, Gauthier-Villars (1949).
  • S. Saks y A. Zygmund, Analytic Functions, Monografje Matematyczne (1965).
  • V.Smirnof, Cours de Mathématiques Supérieures, Editions MIR (1972).

BIBLIOGRAFIA Segunda parte

  • E.A. Coddington, Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Compañía Editorial Continental (1968).
  • E.A. Coddington y N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill Book Co. (1955).
  • W. Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc. (1958).
  • E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Daver Publications, Inc. (1956).
  • S.L. Ross, Introduction to Ordinary Differential Equations, Blaisdell Publishing Co. (1966).
  • Además son de sumo interés para la parte II los libros 4,5 y 7 de la parte I

ANALISIS REAL

1. FUNCIONES DE VARIACION ACOTADA. Funciones monótonas y funciones de variación acotada. Integral de Riemann-Stieltjes.

2. MEDIDA DE LEBESGUE EN Rn. Medida de intervalos y de conjuntos Σ-elementales. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos despreciables. Conjuntos de clase Gδ y conjuntos de clase Fσ. Estructura de los conjuntos medibles. Algebras y σ-álgebras. Conjuntos borelianos. Invariancia bajo translaciones. Conjuntos no medibles.

3. FUNCIONES MEDIBLES. Operaciones algebraicas y sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Funciones borelianas. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Convergencia en medida. Teorema de Egoroff.

4. INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Teoremas de Beppo-Levi y de Fatou. Integral de funciones con valores de signo distinto. Linealidad. Teorema de la convergencia mayorada. Integral de funciones con valores complejos. Integrabilidad absoluta. Teorema de Lebesgue. Invariancia bajo translaciones. Continuidad absoluta. Comparación con la integral de Riemann. Teoremas de Tonelli y de Fubini. Función de distribución.

5. ESPACIOS Lp. Desigualdades de Holder y de Minkowski. Completitud. Clases de funciones densas en Lp. Separabilidad. Módulo de continuidad.

6. TEORIA DE LA DIFERENCIACION. Lema simple de Vitali. Función maximal de hardy-Littlewood. Teorema de diferenciación de la integral: puntos de Lebesgue y puntos de diferenciación. Teorema de cubrimiento de Vitali. Derivabilidad de las funciones monótonas y de las funciones de variación acotada. Funciones absolutamente continuas. Cambio de variable en integrales sobre R. Cambio de variable en integrales múltiples en Rn.

7. MEDIDAS E INTEGRACION EN ESPACIOS ABSTRACTOS. Medidas positivas. Integral con respecto a una medida positiva. Medidas signadas y medidas complejas. Variación de una medida sobre un conjunto. Variación total. Descomposición de Jordan-Hahn. Medidas absolutamente continuas y medidas singulares. Teorema de Radón-Nikodym.

BIBLIOGRAFIA

  • Wheeden and Zygmund. Measure and Integral. Marcel Dekker Inc. 1977.
  • Royden, H.L. Real Analysis. Mc Millan 1968.
  • Rudin, W. Real and Complex Analysis. Mc-Graw.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Cálculo Avanzado.

GEOMETRIA PROYECTIVA

1) Curvas paramétricas planas y espaciales. Ejemplos. Longitud de arco, curvatura, torsión, ecuaciones de Frenet, teorema de clasificación ortogonal.

2) Curvas y superficies en Rn dadas en forma implícita. Espacio tangente. Puntos regulares y singulares. Parametrización local. Orden de contacto entre una hipersuperficie y una curva paramétrica.

3) Clasificación ortogonal y afín de cuádricas en Rn. Rango, centro y puntos singulares de cuádricas. Acción de un grupo en un conjunto. Invariantes. Otros ejemplos.

4) Superficies en R3. Ejemplos: superficies de revolución, superficies regladas. Primera forma fundamental. Aplicación de Gauss, segunda forma fundamental, curvatura media y Gaussiana. Direcciones principales. Puntos elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Ecuaciones de compatibilidad, teorema de clasificación ortogonal de superficies.

5) Geodésicas. Enunciado y discusión de los axiomas de plano Euclídeo según Hilbert. Superficies de revolución de curvatura constante y modelos de geometrías no Euclidianas. Ideas sobre triángulos geodésicos y el teorema de Gauss-Bonnet.

6) Definición axiomática de plano afín y proyectivo. Ejemplo: el plano proyectivo P2(K) asociado a un cuerpo K. Casos K = R, K = C y K = Z_p Propiedades de Pappus y de Desargues, caracterización de P2(K).

7) Curvas algebraicas en el plano afín K2. Puntos singulares, multiplicidad, cono tangente. Multiplicidad de intersección.

8) Curvas algebraicas en el plano proyectivo P2(K). Coordenadas homogéneas y coordenadas afines. Homogeneización y deshomogeneizacion. Teorema de Bezout, idea de demostración, aplicaciones. Puntos de inflexión y el Hessiano. Clasificación de cuatro puntos, ordenados y no ordenados, en la recta proyectiva, razón doble, invariante j. Cubicas: clasificación, forma de Weierstrass, estructura de grupo, parametrización mediante funciones elípticas. Genero aritmético y genero geométrico. Caracterización de curvas racionales. Reducción de integrales abelianas.

BIBLIOGRAFIA

1) - 5)

Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall (referencia basica)

Struik, Lectures on classical differential geometry, Dover (existe traduccion al castellano)

Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 1 - vol. 5

Otros:

Pogorelov, Stoker, Singer-Thorpe, Berger-Gostiaux, Schaum Outlines, Warner.

6)

Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, Benjamin

Blumenthal, A modern view of Geometry, Dover

E. Artin, Geometric Algebra, Wiley

Santaló, Geometrías no euclidianas, EUDEBA

Santaló, Geometría Proyectiva, EUDEBA

Efimov, Geometrie Superieure, MIR

7)-8)

Walker, Algebraic Curves, Springer-Verlag (referencia basica)

Fulton, Algebraic Curves, Springer-Verlag.

Baker, Principles of Geometry, 6 vols., Cambridge Univ. Press

Enriques-Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, 3 vols., Publ. Zanichelli (Bologna).

Salmon, Analytic geometry of 3 dimensions, Chelsea (AMS)

Semple-Roth, Introduction to algebraic geometry, Oxford

Semple-Kneebone, Algebraic curves

Harris, Algebraic Geometry, Springer

ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra Lineal

ANALISIS FUNCIONAL

1. Espacios normados, propiedades elementales y ejemplos. Espacios de Banach. Funcionales lineales. Teorema de Hahn-Banach. Operadores lineales. Teoremas de la aplicación abierta y del grafo cerrado. Principio de acotación uniforme. Teorema de Stone-Wierstrass. Teorema de representación de Riesz (dual de C(X)). Espacios Lp.

2. Series de Fourier. Convergencia uniforme y puntual. Series de promedios, convergencia p.p. y en L1. Núcleo de Féjer. Condiciones suficientes para la convergencia puntual, pp y uniforme. Ejemplo de serie divergente de una función continua. Núcleo de Poisson.

3. Espacios de Hilbert, propiedades y ejemplos. Propiedades elementales. Lema de Riesz. Espacio H2 Operador shift, subespacios invariantes. Sistemas y bases ortonormales. Operadores en espacios de Hilbert, ejemplos. Operadores normales y autoadjuntos, positivos. Proyectores.

4. Topologías débiles. Topología débil y débil* en un espacio de Banach. Teorema de Alaoglu. Reflexividad. Lema de Goldstine. Forma geométrica del Teorema de Hahn-Banach.

5. Operadores compactos. Espectro de un operador. Propiedades espectrales de los operadores compactos. Teoría de Riesz-Fredholm. Alternativa de Fredholm. Aplicaciones. Problema de Dirichlet para un dominio acotado de R3 con borde suave.

6. Operadores autoadjuntos. Propiedades espectrales. Descomposición espectral de un operador compacto y autoadjunto. Aplicaciones sistema de Sturn-Liouville regulares.

7. Cálculo funcional. Aplicaciones. Medidas espectrales. Resoluciones de la identidad. Teorema espectral de un operador autoadjunto. Transformada de Bourier-Planchesd.

BIBLIOGRAFIA

  • J.B.Conway, " Grafuate Texts in Math. 96, Springer, New York, 1985.
  • N. Dunford, "J. Schwartz, "Linear Operators I y II", Interscience, New York, 1958,1963.
  • T. Kato, "Perturbation Theory for Linear operators", Springer, New York, 1966.
  • Y. Katznelson, "An introduction to harmonic analysis", Dover, London, 1969.
  • MN. Reed, B. Simon, "Methods of modern mathematical physics I", Academic Press, New York, 1974.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Análisis Real - Análisis Complejo

MEDIDA Y PROBABILIDAD

1. Familia de conjuntos. Algebras y σ-algebras generadas. Conjuntos Borel. Familia de conjuntos Dynkin.

2. Construcción de la medida. Teorema de Caratheodory. Teorema de extensión a una medida σ-finita. Medida de Lebesgue-Stieltjes en la recta.

3. Medida de probabilidad en Rn. Función distribución

4. Integración. Funciones medibles. Integral de funciones simples. Integral de funciones no negativas. Principio de convergencia monótona. Integrabilidad. Lema de Fatou. Teorema de Lebesgue de convergencia dominada. Integral de funciones con valores complejos. Comparación de la integral de Riemann y de Lebesgue.

5. Espacios Lp. Desigualdad de Holder y Minkowski. Completitud de Lp.

6. Medida en un espacio producto. Número finito de factores. Teorema de Fubini. Teorema de inversión de la función característica. Número infinito de factores. Teorema de Kolmogorov.

7. Diferenciación en la recta. Invariancia por translación de la medida de la recta. Derivada de una función no decreciente. Función de variación acotada. Derivada de la integral indefinida. Representación integral de funciones absolutamente continuas. Descomposición de Lebesgue.

8. Probabilidad. Espacios de probabilidades. Ensayos de Bernoulli. Lema de Borel-Cantelli. Variables aleatorias. Teorema de De Moivre-Laplace. Distribuciones de probabilidad. Esperanza. Varianza. Independencia de eventos y de variables aleatorias.

9. Ley de los grandes números. Ley débil: Teorema de Khintchine. Ley fuerte: Teorema de Cantelli, desigualdad y teoremas de Kolmogorov.

10. Teorema central del límite. Funciones características. Teorema de Helly-Bray. Teorema de Levy-Cramer. Distribución asintótica de una suma de variables aleatorias.

BIBLIOGRAFIA

  • A.N. Kolmogorov y S.V.Fomin. Introductory Real Analysis. Printice Hall. 1970.
  • P.R. Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950.
  • William Feller. An Introduction to Probability Theory. Vol. 1. Wiley. 1962.
  • B.V. Gnedenko. The Theory of Probability. Chelsea. 1962.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Cálculo Avanzado

ECUACIONES DIFERENCIALES A y B

1. Revisión del teorema de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias. Dependencia de los datos iniciales. Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales. Problema de la existencia local de soluciones.

2. Cálculo de variaciones en una dimensión. Variación primera y ecuación de Euler. Lagrange. Extremales. Sistemas de Hamilton. Problemas con extremidades e isoperimétricos. Integrales múltiples.

3. Método de separación de variables. Problemas de Sturn-Liouville. Completitud del sistema de autofunciones. Funciones especiales.

4. Ecuaciones en derivadas parciales cuasilineales de primer orden. Método de las características. Leyes de conservación escalares. Soluciones discontinuas. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Teorema de Cauchy-Kovalevski.

5. Espacios de Sobolev y formulación variacional de problemas de contorno unidimensionales. Problemas variacionales multidimensionales. Espacios de Sobolev Hm,p(?). Existencia y unicidad del minimizante en h1(?) para la integral de Dirichlet. Regularidad del minimizante.

6. Función de Dirac. Producto de convolución. Distribuciones. Derivación y convolución de distribuciones. Soluciones fundamentales. Transformada de Fourier de funciones y distribuciones. Transformada de la convolución. Teorema de inversión. Aplicación al cálculo de soluciones fundamentales y a la resolución de problemas de valores iniciales para el laplaciano, la ecuación de ondas, la del calor, y la de Schrodinger.

7. Funciones armónicas. Solución al problema de Dirichlet en Rn. Función de Green y núcleo de Poisson en el semiespacio y la esfera. Teorema del valor medio. Recíproca del teorema del valor medio. Principio del máximo. Desigualdad de Harnack. Analiticidad de las funciones armónicas.

8. El operador del calor. El núcleo de Gauss y sus aplicaciones. La ecuación del calor en dominios acotados.

BIBLIOGRAFIA

  • G.B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Univ. Press, 1976.
  • R.Courant, D. Hilbert. Methods of Mathematical Physics Vol. I, Wiley Interscience. 1953.
  • L. Elsgoltz, Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Ed. Mir,. 1977.
  • A. Tijonov, A. Samarsky, Ecuaciones de la Física Matemática, Ed. Mir, 1983.
  • J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion Equations. Springer-Verlag, 1982.
  • H. Weinberger, Ecuaciones Diferenciales, Ed. Reverté, 1982.
  • H. Brézis, Análisis Funcional. Teoría y aplicaciones, Alianza Editorial, 1984.
  • V.P.Mijailov, Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Ed. Mir, 1978
  • F.John. Paritial Differential Equations, Springer-Verlag, 1971
  • D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1986.
  • S.K.Godunov, Ecuaciones de la Física Matemática, Ed. Mir. 1984.

GEOMETRIA DIFERENCIAL

1. Teorema de la función implícita. Aplicaciones. Variedades topológicas. Cartas y atlas diferenciable de una variedad topológica. Estructuras diferenciales. Variedades diferenciales. Subvariedades de Rn. Caracterizaciones. Criterio práctico para la construcción de variedades diferenciables. Ejemplos.

2. Funciones diferenciables. Curvas en variedades diferenciables. Vector tangente y espacio tangente a una subvariedad en Rn. Vector tangente y espacio tangente a una variedad diferenciable.

3. Diferencial de una función diferenciable. Vector tangente a una curva. Vinculación entre el espacio tangente a una subvariedad de Rn y el que tiene como variedad diferenciable. Parametrizaciones de una subvariedad de Rn. Inmersiones y sumersiones. Propiedades y ejemplos. Subvariedades inmersas y sumergidas. Cartas adaptadas. Valores regulares y críticos de una función diferenciable. Propiedades. Grupos de Lie. Ejemplos

4. Fibrado tangente. Campos de vectores. Ejemplos. Curvas integrales, existencia y unicidad. Flujo local de un campo de vectores. Completitud. Criterio para extender curvas integrales. Propiedades del flujo maximal. Grupo uniparamétrico de difeomorfismos.

5. Derivaciones y corchete de Lie. Propiedades. Derivada de Lie. Teorema de Frobenius. Fibrado cotangente y 1-formas diferenciables.

6. Tensores y k-formas diferenciables. Representación local. Producto tensorial y producto exterior. Tensores diferenciables interpretados como aplicaciones F (M)-multilineales. Diferencial exterior. Propiedades.

7. Partición de la unidad. Variedades orientables. Propiedades. Integración en variedades orientables. Variedades con borde. Teorema de Stokes.

BIBLIOGRAFIA

  • Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, New Jersey, 1976.
  • Gromoll, D., Klingenberg, W., Meyer, W., Riemannsche Geometrie im Gro?en Springer-Verlag, Berlin, New York, 1968.
  • Hicks, N.J., Notes on Differential Geometry, C. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1964.
  • Keilhauer, Gl., Geometría Diferencial I, Cursos y Seminarios de Matemática, Fascículo 38, 1995.
  • Larotonda, A.R., Algebra Lineal y Geometría, Eudeba, 1977.
  • Spivak, M., Calculus on Manifolds, W.A. Benjamín Inc., 1965.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Cálculo Avanzado - Geometría Proyectiva

INVESTIGACION OPERATIVA

Programación Lineal - Dualidad en Programación Lineal - Optimización en Redes - Programación Dinámica Finita

BIBLIOGRAFIA

  • G. Dantzing, Linear Programming and Extensions, Princeton U. Press, 1962.
  • L. Ford and D. Fulkerson, Flows in Networks, Princeton U. Press, 1962.
  • R. Bellman and S. Dreyfus, Applied Dynamic Programming, Princeton U. Press, 1962.
  • M. Brazaraa et al, Linear Programming and Netwok Flows, J. Wiley, 1990.
  • F. Vicentini, Programación Matemática, Notas de Clase, 1997.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Probabilidades y Estadística - Introducción a la Computación

TEMAS DE FISICA

1. El proceso de medición en física: Magnitudes físicas. Errores de medición. Distribución de Gauss. Relaciones entre magnitudes físicas: cuadrados mínimos.

2. Cinemática del punto: El vector posición. Cuerpo puntual. Trayectoria. El concepto de velocidad en el movimiento rectilíneo. Unidades y dimensiones de magnitudes derivadas. Aceleración en el movimiento rectilíneo. Integración de las ecuaciones de movimiento. La velocidad y la aceleración como entes vectoriales. La velocidad angular. Composición de movimientos.

3. Dinámica del punto: Primera y segunda ley de Newton. Las leyes de Mach. Interacciones gravitatorias. Tipo en el vacío. Tiro vertical a gran distancia. Interacciones elásticas: reacciones de vínculo y fuerza de rozamiento. Movimiento oscilatorio armónico. Movimiento del péndulo ideal. Discusión cualitativa de un movimiento con rozamiento. Sistemas inerciales y sistemas acelerados.

4. Teorema de conservación: Los teoremas de conservación y las integrales de movimiento. Conservación del impulso lineal: el centro de masa. Fuerza de retropropulsión, movimiento de un cohete. Ecuación de movimiento para masas variables. La conservación del impulso angular. Movimiento de un satélite. Leyes de Kepler. Teorema de conservación de la energía mecánica, aplicaciones. El principio de conservación de la energía para fuerzas no conservativas. Colisiones.

5. Propagación de ondas: Propagación de una perturbación elástica. Ondas elásticas longitudinales y transversales. Descripción matemática de una onda elástica plana. Ondas sinusoidales. El principio de superposición: interferencia.

6. Optica geométrica: Luz: transmisión, reflexión, espejos curvos. Refracción. Lentes: prismas, anteojos, cámaras, magnificación, microscopios y telescopios. Color: espectro, telescopios reflectores, líneas espectrales, difracción.

7. Electricidad: Carga eléctrica. Fuerza eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Diferencia de potencial. Capacidad. Circuitos con capacitores. Ley de Ohm. Resistencia. Corriente eléctrica. Circuitos eléctricos básicos.

8. Revisión histórica sobre la concepción de la luz: Mecanismos: la visión Newtoniana, acción a distancia. Ondas de luz: interferencia, la velocidad de la luz, el efecto Doppler-Fizeau, luz polarizada. El ether: movimiento absoluto, el experimento de Michelson-Morley, la contracción de FitzGerald. Relatividad: la teoría especial, equivalencia masa-energía, tiempo relativo, la teoría general, gravitación. Quanta: radiación de cuerpos negros, la constante de Planck, el efecto fotoeléctrico, fotones. Radiaci[ón electromagnética: las ecuaciones de Maxwell.

9. La presencia de la física en las clases de matemática: Utilidad de contenidos de la física para introducir, profundizar o ampliar el campo de aplicación de contenidos matemáticos. Desarrollo de propuestas de aula para el tercer ciclo de la EGB en el marco de la transformación curricular.

BIBLIOGRAFIA

  • Roederer, Juan G., Mecánica elemental, Eudeba/Manuales, 1973.
  • Asinov, Isaac, Understanding Physics (Vol. II), Barnes y Noble, 1993.
  • Jenkins-White, Fundamentos de Optica, Aguilar, 1963.
  • Wilson, Física, Prentice Hall, 1996.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Ecuaciones diferenciales B

TOPOLOGIA

1. Tipos de orden. Conjuntos bien ordenados. Ordinales. Axioma de Elección. Inducción transfinita. Zermelo. Zorn.

2. Topologías, equivalencia de las definiciones por abiertos. Entornos. Operadores de Clausura y Redes. Espacio de Slierpinski y Espacios T0.

3. Productos. Subespacios. Cocientes. Topologías finales y topologías iniciales. Espacios T2.

4. Productos fibrados. Funciones abiertas. Funciones propias. Compacidad. Equivalencia entre Heine Borel y el Lema de Tubo (las proyecciones son cerradas). Espacios localmente compactos.

5. Espacios T3. Espacios T4. Lema de Urysohn. Teorema de Tietze.

6. Teorema de Tychonoff. Compactificación de Stone-Cech. El intervalo [0,1] y Espacios completamente regulares.

7. Paracompacidad. Particiones de la unidad. Immersión de variedades compactas en Rn.

8. Espacios de funciones. Continuidad de la evaluación. Topología compacto abierta. Teorema de Ascoli.

10. Aplicaciones. Teorema fundamental del álgebra. Teoremas de puntos fijos de campos vectoriales.

11. Clasificación de revestimientos. Grupos Deck. Revestimiento universal.

BIBLIOGRAFIA

  • Principal: - Munkres, J.R. Topology, a first course. Prentice Hall. New Jersey.
  • Adicional: - Bourbaki, N. Topologie Generale Hermman. Paris. - Lipschutz, S. General Topology Schaum's Series, New York. - Forster, O. Lectures on Riemann Surfaces Springer-Verlag. New York.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra II y Cálculo Avanzado

PROBABILIDADES Y ESTADISTICA (Q)

1. Introducción y estadística descripta: Idea intuitiva de Probabilidad y Estadística Tablas y métodos gráficos en estadística descriptiva. ;Diagrama de Tallo-Hoja. Distribuciones de frecuencias para datos cuantitativos. Histogramas. Medidas de posición: media, mediana, cuartiles, percentiles, medias podadas. Medidas de variabilidad: rango muestral, varianza muestral, desvío muestral.

2. Probabilidad: Experimentos aleatorios. Espacios muestrales. Eventos o sucesos. Frecuencia relativa, sus propiedades. Axiomas de probabilidad. Propiedades. Espacios muestrales finitos. Espacios de equiprobabilidad. Probabilidad condicional. Teorema de la multiplicación. Partición de un espacio muestral. Teorema de la Probabilidad total. Teorema de Bayes. Independencia de los eventos. Independencia de dos o más eventos. Combinatoria.

3. Variables aleatorias discretas: Variables aleatorias. Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas. Esperanza de variables aleatorias discretas. Distribución binomial. Distribuciones geométricas, hipergeométrica, binomial negativa Poisson y multinomial.

4. Variables aleatorias continuas: Variables aleatorias continuas y funciones de probabilidad. Funciones de distribución acumulada. Esperanza de variables aleatorias continuas. Distribución normal. Distribución Gamma.

5. Distribución conjunta de variables aleatorias: Distribución conjunta de variables aleatorias. Caso discreto: función de probabilidad conjunta. Esperanza, covarianza y correlación. Sumas y promedios de variables aleatorias. Teorema del Límite Central.

6. Estimación puntual: Estimadores insesgados. Error cuadrático medio. Consistencia. Método de máxima verosimilitud. Método de los Momentos.

7. Test de Hipótesis: Test sobre la media de una población normal. Test función de potencia. Procedimientos para test sobre la varianza. Test para diferencias de medias entre dos poblaciones. Análisis de datos apareados.

8. Intervalos de confianza: Intervalos de confianza para la media de una población normal. Intervalos de confianza para medias poblaciones utilizando muestras grandes.

BIBLIOGRAFIA

  • Jay L. Devore, Probability and Statistics for Engineering and the Sciencies. Editorial Brooks/Cole.
  • Meyer, P., Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Editorial Fondo Educativo Interamericano.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Análisis I - Algebra

CALCULO AVANZADO

1. Números reales. Construcción de un cuerpo ordenado completo. Principio de encaje de intervalos cerrados. Sucesiones de números reales. Sucesiones monótonas, sucesiones acotadas, sucesiones de Cauchy. Recta extendida. Límites superior e inferior. Series con términos positivos y desarrollos b-arios: casos de unicidad y no unicidad del desarrollo.

2. Conjuntos infinitos. Equivalencia de conjuntos. Conjuntos finitos y conjuntos numerables. Conjuntos no numerales: potencia del continuo. Cardinales transfinitos. Teoremas de Schroeder-Bernstein y de Cantor.

3. Espacios métricos. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Entornos. Interior y adherencia. Puntos de acumulación. Convergencia y Continuidad. Conjuntos densos y espacios separables. Diámetro y distancia. Subespacios. Conjuntos acotados y conjuntos totalmente acotados. Completitud. Compacidad. Teorema de Baire. Homeomorfismos. Métricas equivalentes. Isometrías. Espacios convexos y conjuntos conexos. Funciones numéricas: límites superior e inferior. Semicontinuidad.

4. Sucesiones y series en el campo complejo. Breve repaso de la noción de números complejo: módulo y distancia. Convergencia de sucesiones y series de números complejos. Convergencia absoluta. Criterios de convergencia. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y derivación.

5. Rudimientos de la teoría de los espacios de Banach. Espacios normados y espacios de Banach. Aplicaciones lineales continuas. Homeomorfismos y normas equivalentes. Espacios de dimensión finita. Espacio C(E) de las funciones numéricas continuas y acotadas sobre un espacio métrico E. Inmersión de E en C(E)L: teorema de completación de Cantor-Hausdorff.

6. Diferenciación en espacios euclidianos. Aplicaciones diferenciables. Propiedades de la diferencial. Derivadas parciales. Matriz jacobiana. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa. Funciones implícitas.

7. Concepto de ecuación diferencial. Teorema del punto fijo y teorema de Picard.

BIBLIOGRAFIA

  • Apostol, T.: Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1975 (2da. Ed.).
  • Dieudonne, J.: Foundations of Modern Analysis. Academic Press, 1960.
  • Kaplansky, I.: Set theory and Metric Spaces. Allyn and Bacon, Inc. 1972.
  • Kolmogorov y Fomin: Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Ed. Mir. 1972.
  • Rudin, W.: Principios de Análisis Matemático. Mc Graw-Hill. 1980 (3ra. Ed.).
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Algebra Lineal y Análisis II

ALGEBRA III

1. Cuerpos y extensiones. Anillos, cuerpos. Cuerpo de fracciones. Característica, cuerpos primos. Algebras, extensiones de cuerpos. Adjunción (Algebraica y racional).

2. Polinomios y fracciones racionales. Algebra universal de un semigrupo. Algebra de polinomios, especialización, dependencia algebraica, prolongamiento de morfismos. Algebra de fracciones racionales, especialización, prolongamiento de morfismo.

3. Factorización de polinomios. Polinomios primitivos, lema de Gauss. Levantamiento de factorizaciones, factorialidad en los anillo de polinomios. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein, aplicaciones.

4. Extensiones de grado finito. Extensiones de tipo finito, extensiones simples. Extensiones de grado finito. Clase distinguida de extensiones. Condiciones de clase distinguida para extensiones de grado finito.

5. Extensiones algebraicas. Elementos algebraicos, polinomio minimal. Elementos transcendentes. Extensiones algebraicas, relación con las extensiones de grado finito, condiciones de clase distinguida. Extensiones trascendentes, extensiones puramente trascendentes.

6. Cuerpos algebraicamente cerrados. Introducción de una raíz para un polinomio no constantes. Facatorización lineal y cantidad de raíces de polinomios no constantes. Cerradura algebraica. Cuerpos algebraicamente cerrados, condiciones equivalentes.

7. Clausuras algebraicas. Clausuras algebraicas, prefinalidad, unicidad (salvo isomorfismos). Teorema de prolongamiento de isomorfismos, consecuencias, Existencias de clausuras algebraicas.

8. Cuerpos de descomposición. Cuerpos de descomposición de un conjunto de polinomios no constantes, existencia y unicidad (salvo isomorfismos), caso de conjuntos finitos.

9. Conjugación. Acciones compatibles de grupos en conjuntos y reprentaciones de grupos, conjugación, órbitas. Elementos conjugados y polinomios irreducibles. Endomorfismos de extensiones algebraicas. Cuerpos conjugados.

10. Extensiones normales. Extensiones normales, condiciones equivalentes. Extensión de escalares en extensiones normales. Infimo y supremo de familias de extensiones normales. Extensiones de grado finito.

11. Independencia lineal y cantidad de morfismos. Teorema de Dadekind, consecuencia sobre la cantidad de morfismos. Transitividad de la cantidad de morfismos, consecuencias.

12. Extensiones separables. Elementos (algebraicos) separables. Extensiones (algebraicas) separables, condiciones de clase distinguida. Extensiones separables de grado finito y cantidades de morfismos. Polinomios separables. Teoremas del elemento primitivo. Criterio de separabilidad de Jacobson.

13. Extensiones galoisianas. Extensiones galoisianas, condiciones equivalentes. Consecuencias de su identidad con las extensiones normales y separables: polinomios minimales, extensión de escalares en extensiones galoisianas de grado finito.

14. Teoría de Galois. Subextensiones normales de extensiones galoisianas. Grupos finitos de automorfismos, teorema de Artin. Teorema fundamental de Galois, consecuencias.

15. Extensiones radicales. Elementos radicales. Extensiones radicales, condiciones de clase distinguida. Extensiones radicales de grado finito. Cerradura radical. Cuerpo de invariantes de extensiones normales, estructura de extensiones normales.

17. Cuerpos perfectos. Cuerpos perfectos, condiciones equivalentes. Subcuerpos perfectos generado por un cuerpo en la clausura algebraica.

18. Norma y traza. Norma y traza de extensiones de grado finito, propiedades algebraicas, transitividad, relación con los coeficientes de polinomio minimal. Separabilidad y traza, discriminantes de la forma traza en extensiones separables.

19. Introducción a la cohomología Galoisiana. Independencia algebraica, de automorfismos de extensiones galoisianas. Teorema de la base normal para extensiones galoisianas. Teorema 90 de Hilbert, caso general.

20. Extensiones abelianas y extensiones cíclicas. Propiedades generales de las extensiones abelianas y de las extensiones cíclicas, como extensiones galosianas. Bases normales de extensiones cíclicas. Teorema 90 de Hilbert, caso cíclico. Extensiones cuadráticas.

21. Cuerpos finitos. Estructura de los cuerpos finitos y de sus grupos de automorfismo. Clasificación de los cuerpos finitos. Extensiones de grado finito de cuerpos finitos, generadores canónicos de los grupos de Galois, suryectividad de la norma y de la traza.

22. Raices de la unidad. Estructura y propiedades de los grupos de raíces n-ésimas de la unidad de un cuerpo, raíces n-ésimas primitivas. Estructura del grupo de raíces de la unidad de un cuerpo algebraicamente cerrado.

23. Cuerpos ciclotómicos. Propiedades generales de los cuerpos ciclotómicos. Estructura del grupo de unidades del anillo de enteros módulo n. Polinomios ciclotómicos, criterio de irreductibilidad, irreductibilidad sobre el cuerpo racional.

24. Extensiones cíclicas y ecuaciones. Extensiones cíclicas de grado finito y ecuaciones binómicas. Extensiones abelianas de grado p, en características p, y ecuaciones de Artin-Schreier.

BIBLIOGRAFIA

  • E. Artin, Galoi Theory, Notre Dame, South Bend, 1955.
  • N. Bourbaki, Algebre, Chapiter IV (Polynomes et fractions rationnelles)-Chapite V V V (Corps conmutatifs), Hermann, Paris, 1959.
  • N. Jacobson, Lectures in abstract algebra, Volumen III (Theory of Fieds and Galois Theory), Van Nostrand, Princeton, 1964.
  • S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1965.

PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

1. Espacio muestral. Sucesos. Algebra de sucesos. Espacio de probabilidad. Propiedades. Límite superior e inferior de conjuntos.

2. Probabilidad condicional e independencia de sucesos. Lema de Borel-Cantelli.

3. Variables aleatorias. Función de distribución. Distribuciones usuales. Distribución conjunta. Independencia de variables aleatorias. Cambio de variables.

4. Integral de Riemann-Stieljes. Propiedades. Esperanza de variables aleatorias. Integrales de Riemann-Stieljes múltiples. Propiedades de esperanza, varianza y covarianza. Teoremas de convergencia monótona y mayorada.

5. Distribución y esperanza condicional. Definición, casos particulares y propiedades.

6. Convergencia en probabilidad y en casi todo punto. Desigualdad de Markov y de Tchebuchev. Ley débil de los grandes números. Aplicaciones. Ley fuerte de los grandes números.

7. Convergencia débil. Definición. Teorema de Helly. Funciones características. Propiedades. Teorema de inversión. Teorema de continuidad de Paul Levy. Teorema central del límite. Aplicaciones.

8. Estimadores puntuales. Estimadores de máxima verosimilitud. Intervalos de confianza.

BIBLIOGRAFIA

  • A. Renyi. Teoría de Probabilidades. Reverté 1978.
  • Barry James, Probabilidades: un curso de nivel intermedio, IMPA. 1980.
  • William Feiler. An introduction to probability theory and its applications. J. Wiley. 1978.
ASIGNATURAS CORRELATIVAS: Cálculo Avanzado

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