encuentro rioplatense de algebra y geometria algebraica

XVI Encuentro Rioplatense de Álgebra y Geometría Algebraica

Departamento de Matemática. FCEyN, Universidad de Buenos Aires.

Buenos Aires, 12 al 15 de Diciembre de 2006.

Programa del Encuentro

Martes	Miércoles	Jueves	Viernes
Arribos Inscripciones y Almuerzo	10:00 a 10:50 N. Andruskiewitsch	10:00 a 10:50 J. Agapito	10:00 a 10:50 J.Vargas
	Pausa Café	Pausa Café	Pausa Café
	11:20 a 12:10 T. Porter ( II )	11:20 a 12:10 T. Porter ( III )	11:20 a 12:10 T. Porter ( IV )
	12:20 a 13:10 O. Villamayor	12:20 a 13:10 M. Haim	12:20 a 13:10 B. Abadie
13:30 a 14:20 J. Sabia	Almuerzo	Almuerzo	Almuerzo
14:30-15:00 G. Comas	14.30 a 16:00 M.J. Redondo ( II )
15:10 a 16:00 T. Porter ( I )	14.30 a 16:00 M.J. Redondo ( II )	15:00 a 15:50 M. Farinati	14:30 a 15:00 G. Jeronimo
Pausa Café	Pausa Café	16:00 a 16:50 A. Pacetti	15:10 a 16:00 G. Gonzalez-Sprinberg
16:30 a 18:00 M.J. Redondo ( I )	16:30 a 17:00 M. del Hoyo	Pausa Café	16:10 a 17:00 I. Pan ( IV )
16:30 a 18:00 M.J. Redondo ( I )	17:10 a 17:40 E. Herscovich	17:20 a 17:50 J. Barmak
18:10 a 19:00 I. Pan ( I )	17:50 a 18:20 R. Iglesias	18:00 a 18:50 I. Pan ( III )
	18:30 a 19:20 I. Pan ( II )

Abstracts de los Cursos, Conferencias y Charlas

Cursos

Ivan Pan (UFRGS, Brasil)
Singularidades de curvas y superficies: una breve introducción.

Generalidades, superficie, curva, blowup de superficies lisas.
Desingularización de curvas.
Clasificación de singularidades simples de curvas.
Desingularizacion de superficies.

Notas del Curso

Tim Porter (University of Wales, UK)
The Crossed Menagerie: An introduction to crossed gadgetry in algebra and topology.

Crossed modules - definition, examples and applications
[From Groups to Groupoids; simplicial gadgetry in algebraic homotopy and homotopical algebra, combinatorial and cohomological group theory, algebraic models for 2-types]
Classifying spaces and gerbes
[Crossed gadgets and non-Abelian Cohomology and Algebraic Geometry; HQFTs and K-theory]
Beyond 2-types
(i) crossed complexes, (ii) crossed n-cubes, (iii) crossed N-cubes.
Higher dimensional categories
Grothendieck's pursuit of stacks, 20 years on. Higher dimensional Galois Theory.

Notas del Curso

María Julia Redondo (UNS, Bahia Blanca)
Funtores de Coxeter

En 1972 Gabriel demostró que un álgebra hereditaria es de tipo de representación finito si y sólo si su gráfico subyacente es uno de los diagramas de Dynkin (A_m, m >0, D_n, n>3, E_6, E_7, E_8) que aparecen también en la teoría de Lie.
En 1973 Berstein, Gelfand y Ponomarev demostraron este último resultado utilizando los funtores de reflexión, mostrando la conexión que existe entre la teoría de representaciones de álgebras y la teoría de Lie.
El objetivo de este curso es:
- mostrar las técnicas utilizadas para demostrar el resultado de Gabriel;
- definir los funtores inducidos por las reflexiones que generan el grupo de Weyl de una forma cuadrática asociada al gráfico del álgebra;
- mostrar la aplicación del funtor de Coxeter para describir todos los A-módulos cuando A es un álgebra hereditaria de tipo de representación finita.

Conferencias y Charlas

Beatriz Abadie (Universidad de la Republica, Uruguay)
Ergodicidad unica del shift libre (Trabajo conjunto con Ken Dykema)

Se definira el concepto de ergodicidad unica con respecto a la subalgebra de puntos fijos para automorfismos en una C*-algebra con unidad. Se presentara el ejemplo del shift libre en la C*-algebra reducida del grupo libre con n generadores y se describira como este resultado puede extenderse al caso del shift libre en el producto libre amalgamado y reducido de C*-algebras.

Jose Agapito (Instituto Superior Tecnico, Lisboa, Portugal)
Enfoque Simpléctico de las variedades tóricas.

Las variedades tóricas son frecuentemente usadas para testar y motivar varios resultados en matemáticas. Pueden ser presentadas de diversas maneras dependiendo del área de investigación del usuario. Nosotros la presentaremos como variedades simplécticas sobre la cual actúa un toro en forma hamiltoniana. Abordaremos, entre otras cosas, la construcción de Delzant y mencionaremos algunos aspectos interesantes relacionados.

Nicolas Andruskiewitsch (FaMAF, Cordoba)
The structure of double groupoids (trabajo en colaboracion con Sonia Natale)

We give a general description of the structure of a discrete double groupoid (with an extra, quite natural, filling condition) in terms of groupoid factorizations and groupoid 2-cocycles with coefficients in abelian group bundles. Our description goes as follows: in a first step we prove that every double groupoid is obtained as an extension of its pith groupoid, which is an abelian group bundle, by its frame double groupoid. The frame satisfies that every box is determined by its edges, and thus is called a 'thin' double groupoid. In a second, independent, step we prove that every thin double groupoid with filling condition is completely determined by a factorization of a certain canonically defined 'diagonal' groupoid.

Mas información en http://arxiv.org/abs/math.CT/0602497

Jonathan Barmak (Universidad de Buenos Aires)
Cuál es la relación entre la Conjetura de Poincaré y los espacios finitos? (Trabajo en colaboración con Gabriel Minian)

En la primera parte de la charla repasaremos brevemente la historia de la Conjetura y su relación con la teoría de homotopía simple y la Conjetura de Zeeman. Luego presentaremos algunos resultados que hemos obtenido recientemente que relacionan estos temas con los espacios topológicos finitos. Mostraremos cómo se pueden utilizar los espacios finitos para estudiar homotopia simple de poliedros y de esta forma analizar problemas provenientes de la topología algebraica y la topología diferencial desde una nueva óptica combinatoria.

Más información en http://arxiv.org/pdf/math.AT/0611158

Gonzalo Comas (Universidad de Buenos Aires)
Rango asociado a una curva proyectiva

Sea $C \subset P^n$ una curva proyectiva, no singular y no degenerada de grado $d$ y género $g$. Definimos el rango de un punto $x \in P^n$ como el menor entero $k$ tal que $x$ se escribe como suma de $k$ puntos de la curva $C$.
Buscamos describir los conjuntos definidos por condiciones de rango. Presentaremos los resultados obtenidos en los casos en que el grado de la curva es grande respecto a su género. En el caso en que el género de $C$ es cero, esto es, la curva es racional, mostraremos la relación con el problema de Waring referente a la escritura de polinomios como suma de potencias de formas lineales.

Matias del Hoyo (Universidad de Buenos Aires)
Homotopía de Cech (Trabajo en colaboración con Gabriel Minian)

Es sabido que los complejos simpliciales y, más en general, los espacios celulares se utilizan para estudiar del punto de vista combinatorio a espacios topológicos "buenos" (como los poliedros y las variedades). De la misma forma, los "nervios" de los cubrimientos abiertos de un espacio pueden ser utilizados para aproximar y estudiar al espacio dado (no necesariamente bueno) combinatoriamente.
En esta charla contaré algunos de los resultados más relavantes de este tema y algunos resultados que hemos obtenido recientemente. La homotopía de Cech es el análogo homotópico a la cohomología de Cech y permite distinguir espacios que tengan incluso los mismos grupos de homotopía tradicionales.Se describirá la construcción del grupo fundamental de Cech y veremos ejemplos en los que éste y el grupo fundamental coinciden y otros en los que no.

Marco Farinati (Universidad de Buenos Aires)
Biálgebras de Lie y grupos de Lie Poisson.

Los grupos de Lie-Poisson son los grupos de Lie G munidos de un corchete de Poisson (en $C^{\infty}(G)$) compatible con la estructura de grupo, más precisamente, un corchete de Poisson tal que la multiplicacion $G\times G\to G$ es un morfismo de variedades de Poisson. Esta condición se expresa en el álgebra de Lie tangente a la identidad, dando lugar a la definición de biálgebra de Lie.
En esta charla presentaré, por un lado, algunas estructuras algebraicas en donde se enuncian naturalmente las ecuaciones de biálgebra, Por otra parte presentaré la ecuación clásica de Yang - Baxter en un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ y el teorema de Belavin-Drinfeld que clasifica ciertas soluciones de esta ecuación en el caso de un álgebra de Lie simple compleja. La familia de soluciones de Belavin - Drinfeld son justamente las que ``provienen'' de estructuras de biálgebra. Mostraré algunos ejemplos, en dimensiones bajas, de cálculo de posibles estructuras de biálgebra de Lie en un álgebra de Lie (sobre un cuerpo de característica cero) dada, y una posible extensión del teorema de Belavin-Drinfeld para el caso complejo semisimple.
En el medio, pasaremos por construcciones interesantes sobre invariantes de algebras de Lie semisimples, y sobre problemas para pasar de algebras de Lie reales a algebras de Lie complejas (o viceversa).
La mayor parte del contenido de esta charla ha sido hecha en colaboracion con Patricia Jancsa.

Gerardo Gonzalez-Sprinberg (Institut Fourier, Francia)
Limites de espacios tangentes y singularidades

Introduccion y survey sobre metodos de calculo, propiedades, aplicaciones y resultados anteriores y recientes.

Mariana Haim (Universidad de la Republica, Uruguay)
Algebras de biFrobenius: definición y ejemplos .

Presentaremos la definición de un álgebra de biFrobenius como generalización natural de un álgebra de Hopf de dimensión finita. Mostraremos cómo construir ejemplos:
- a partir de matrices de Hadamard
- a partir de álgebras de biFrobenius ya conocidas

Estanislao Herscovich (Universidad de Buenos Aires)
Representaciones de álgebras de Yang-Mills

Las álgebras de Yang-Mills fueron introducidas por A. Connes y M. Dubois-Violette en [CD], y tienen relación en física con el estudio de teorías de campos no conmutativas y teoría de cuerdas abiertas [Ne].
En esta charla presentaremos los resultados conocidos y también algunos acerca de la teoría de representaciones de dichas álgebras que surgieron en mi trabajo de doctorado con mi directora Andrea Solotar.

[CD] Connes, A.; Dubois-Violette, M. Yang-Mills Algebra. Lett. Math. Phys. 61, (2002), no. 2, pp. 149-158. math.QA/0206205v4.
[Ne] Nekrasov, N. Lectures on open strings and noncommutative gauge theories. hep-th/0203109.

Rodrigo Iglesias (Universidad del Sur)
Decidibilidad en el problema del isomorfismo de álgebras

Dada la acción de un grupo algebraico sobre una variedad algebraica, presentamos un algoritmo para determinar si dos puntos están en la misma órbita o no. Mostramos sus consecuencias en el problema de decidir si dos álgebras de dimensión finita son isomorfas, y discutimos su eficiencia en el problema del isomorfismo de grafos.

Gabriela Jerónimo (Universidad de Buenos Aires)
Resolución algorítmica de sistemas de ecuaciones polinomiales ralas (Trabajo en colaboración con Guillermo Matera, Pablo Solernó y Ariel Waissbein.)

Presentaremos un prodecimiento simbólico para la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales zero-dimensionales cuya complejidad puede expresarse en términos de invariantes relacionados con la estructura combinatoria del problema (más precisamente, volúmenes mixtos asociados a la familia de soportes de los polinomios). El algoritmo se basa en técnicas de deformación y en la aplicación del procedimiento de levantamiento simbólico de Newton-Hensel, que permiten reducir el problema al de la resolución de sistemas de ecuaciones "más simples".

Ariel Pacetti (Universidad de Buenos Aires)
Números Congruentes, Curvas Elípticas y Formas modulares

El problema de los números congruentes es determinar que números racionales son el área de triangulos rectángulos de lado racional. En esta charla introduciremos los conceptos básicos de curvas elípticas, twists cuadráticos de curvas elípticas, formas modulares de peso entero y medio entero y veremos como todos ellos dan una respuesta (afirmativa o negativa) a dicho problema. Mencionaremos también algunos problemas relacionados y trabajos en curso.

Juan Sabia (Universidad de Buenos Aires)
Resultantes: evaluación y aplicaciones

El concepto de resultante es básico en la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. En esta charla haremos una breve reseña sobre la definición de resultante y sobre su uso, describiremos un método para calcular la resultante en algunos casos particulares y mostraremos una aplicación de este cálculo para la descripción de ciertos equilibrios de Nash en la teoría de juegos no cooperativos.

Jorge Vargas (FaMAF, Cordoba)
Cohomologia de subgrupos discretos de grupos de Lie y n-homologia

En esta charla presentamos, mediante ejemplos, la relacion entre los dos topicos indicados en el titulo

[Prerequisitos: Algebra lineal, nociones muy basicas de espacios K(pi,1), \Gamma\Sl(n,R)/SO(n) y cohomologia. Un alumno de quinto año de la licenciatura puede seguir la charla.]
Notas de la conferencia

Orlando Villamayor (Universidad Autonoma de Madrid)
Operadores diferenciales y singularidades.

Presentar resultados sobre singularidades de hipersuperfices inmersas en un esquema liso. Concretamente sobre la multiplicidad de las singularidades.

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