XVIII Encuentro Rioplatense de Álgebra y Geometría Algebraica

Departamento de Matemática. FCEyN, Universidad de Buenos Aires.

Buenos Aires, 10 al 14 de Marzo de 2008.





Programa del Encuentro




Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Llegadas
Inscripciones
10:00 a 11:00
A. Rittatore I 		10:00 a 11:00
A. Rittatore II 		10:00 a 11:00
A. Rittatore III 		10:00 a 11:00
G. Tornaria
Pausa Café Pausa Café Pausa Café Pausa Café
11:30 a 12:30
R. Iglesias 		11:30 a 12:30
S. Natale 		11:30 a 12:30
E. Herscovich 		11:30 a 12:OO S. Freyre
12:00 a 12:30 G. Garcia
12:30 a 13:00 P. Carrillo
12:30 a 13:30
M. Suarez Alvarez I 		12:30 a 13:30
M. Suarez Alvarez II 		12:30 a 13:30
M. Suarez Alvarez III
AlmuerzoAlmuerzo Almuerzo Almuerzo Almuerzo
14:00 a 15:00
J. Lauret

Libre


15:00 a 16:00
Selene Sanchez 		15:00 a 16:00
M. Ottina 		15:00 a 16:00
M.J. Redondo 		15:00 a 16:00
T. Krick
Pausa Café Pausa Café Pausa Café Café Final
16:30 a 17:00 M. del Hoyo
17:00 a 17:30 J.C. Bressan 		16:30 a 18:30
E. Dubuc (I) 		16:30 a 18:30
E. Dubuc (II)






Abstracts de los Cursos, Conferencias y Charlas




Cursos


Eduardo Dubuc (UBA)
Consideraciones y ejemplos (semi) informales sobre el tema de las Operads

Abstract: Este curso no sera un curso dictado en forma tradicional. Va a consistir en contarles lo que pude rescatar (y anotar) luego de varias charlas con Andre Joyal. El ritmo sera lento, y se trata que se entienda el material en el momento, por lo menos tanto como lo entiendo yo, que no es mucho. Espero que participar del curso resulte una experiencia interesante matematicamente, y que las notas que tomen sean de utilidad a todos aquellos que quieran estudiar el tema en el futuro. Aquellos que ya lo conocen podran apreciar la profundidad y originalidad del estilo de Joyal. Les aclaro que no conozco el tema y que formo parte de aquellos con intencion de estudiarlo en el futuro.


Alvaro Rittatore (de la Republica)
Teoria geometrica de invariantes
El objetivo de este curso es mostrar las bases de la teoria geometrica de invariantes (GIT por sus siglas en ingles).
Supongamos que $G$ es un grupo algebraico actuando sobre una variedad algebraica $X$. Un ingrediente fundamental para entender la geometria de esta accion es el establecer la posicion geometrica relativa de las diferentes orbitas. Interesa pues definir un {\em cociente}\/ $\pi:X\to Y$, es decir encontrar una variedad algebraica $Y$ y un morfismo $\pi$ constante en las orbitas que satisfaga buenas propiedades (por ejemplo, alguna propiedad universal).
En el caso afin, el problema anterior esta intimamente ligado con el 14to problema de Hilbert (generacion finita de invariantes). Es asi que los trabajos de HIlbert, Haboush. Nagata, Popov y otros permitieron finalemente determinar cuales grupos algebraicos afines son tales que el cociente categorico de sus acciones en variedades algebraicas afines existen siempre: los grupos reductivos.
Sin embargo, aun caundo el grupo $G$ es reductivo, la construccion de un cociente para una accion sobre una variedad arbitraria $X$ no es siempre posible. La situacion sin embargo no es totalmente desalentadora: Rosenlicht probo en 1963 que siempre es posible encontrar un abierto $G$-estable de $X$ tal que para dicho abierto el cociente geometrico existe --- aun cuando $G$ no es reductivo.
La GIT fue la respuesta desarrollada por D. Mumford en los a\~nos 60 al problema de encontrar abiertos $G$-estables maximales para la propiedad de existencia de un cociente geometrico, {\em en el caso reductivo}. Esta construccion es bastante explicita, y se basa en un criterio (de {\em HIlbert-Maumford}\/) "numerico".
En la primera conferencia presentaremos el problema de la existencia de cocientes, definiendo en particular los cocientes categorico y geometrico. En la segunda conferencia nos concentraremos en la construccion del cociente (en una abierto maximal) en el caso de un grupo reductivo actuando en una variedad proyectiva (el cirterio de Hilbert-Mumford). En la tercera y ultima conferencia presentaremos la construccion general de cocientes para un grupo reductivo actuando en una variedad algebraica arbitraria desarrollada por Mumford. si el tiemp ol opermite, terminaremos comentando brevemente uno de los problemas asociados que consideramos muy interesante: la variacion de cocientes.
Bibliografia:
Mumford, D.; Fogarty, J.; Kirwan, F., {\em Geometric invariant theory.} Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Results in Mathematics and Related Areas (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv+292 pp. MR1304906
P.E. Newstead. {\em Geometric invariant theory.} Notas del curso dictado en Guanajauto en Noviembre 2006. www.cimat.mx/Eventos/c\_vectorbundles/newstead\_notes.pdf
F. Kriwan {\em Quotients by non-reductive algebraic group actions} arXiv:0801.4607


Mariano Suarez Alvarez (UBA)
Arreglos de hiperplanos

Un arreglo de hiperplanos es simplemente una coleccion finita de subespacios afines de codimension uno en un espacio vectorial de dimension finita. Sorprendentemente, la teoria que se ocupa del estudio de estos objectos es remarcablemente rica y resulta ser un punto de contacto entre diversas areas: la geometria, el analisis, la combinatoria, el algebra, la topologia, la fisica matematica, etc.
La idea de estas charlas sera presentar los arreglos de hiperplanos, considerar ejemplos importantes, describir algunos de sus invariantes mas importantes y mostrar algunos resultados de la teoria.

Conferencias y Charlas



Jorge Lauret (FaMAF)
Geometria de orbitas de grupos lineales y aplicaciones

Sea V un espacio vectorial real y G un subgrupo de GL(V). La Teoria Geometrica de Invariantes estudia la geometria y la topologia de las orbitas Gv := {gv : g en G}, v en V, y del espacio cociente V/G que las parametriza. La charla consistira en una introduccion elemental de algunos resultados fuertes de la teoria, para luego, si el tiempo alcanza, mostrar como su aplicacion a ejemplos especificos brinda herramientas muy utiles para el estudio de por ejemplo variedades Riemannianas de Einstein, el "Ricci flow" de Hamilton-Perelman y sus soluciones mas importantes: las metricas "Ricci soliton".


Selene Sanchez (Montpellier II)
Sobre la estructura de modulo de Lie en los grupos de cohomologia de Hochschild, inducida por el corchete de Gerstenhaber

En esta charla, hablaremos de dicha estructura para el caso de algebras monomiales.


Matias del Hoyo (UBA)
Subdivision de categorias y espacios clasificantes.

Presentaremos la subdivision de una categoria pequena desde un punto de vista homotopico, y derivaremos sus propiedades fundamentales. Para ello utilizaremos resultados clasicos sobre teoria de homotopia de categorias, como el Teorema A de Quillen. Aplicaremos la subdivision de categorias para comparar las categorias homotopicas de espacios topologicos y categorias pequenas, ofreciendo una demostracion alternativa al hecho de que estas dos categorias son equivalentes. (preprint: arXiv:0707.1718v1 [math.AT])


J.C. Bressan (Universidad de Buenos Aires)
Sistemas axiomaticos para la convexidad y visibilidad

El trabajo de investigacion lo realice sobre diversos sistemas axiomaticos para la convexidad y visibilidad y en esta charla deseo resumir las consecuencias y limitaciones de cada uno de ellos. La idea que se persigue es la de obtener resultados de la convexidad y visibilidad desarrollada habitualmente en espacios vectoriales reales, o espacios vectoriales topologicos, prescindiendo de la estructura de dichos espacios. Los desarrollos pueden hacerse a partir de una familia distinguida cuyos elementos seran los convexos, o de un operador de capsula convexa, o de segmentos. Comenzaremos con los espacios de convexidad y su relacion con los numeros de Caratheodory, Helly y Radon. Al agregar nuevos axiomas, obtendremos los espacios de JD-convexidad y los de T-convexidad, en los que el mirador de un conjunto estrellado se expresa como la interseccion de la familia de sus componentes convexas. Un nuevo axioma permite obtener el teorema de Kakutani de separacion de convexos mediante convexos complementarios y un resultado analogo para estrellados. Para definir rectas, variedades afines e hiperplanos consideraremos como nuevos axiomas ciertas propiedades de los segmentos en espacios lineales. En los espacios asi definidos introducimos una topologia localmente convexa definida a partir de los puntos internales, logrando un teorema de separacion de convexos mediante un hiperplano y resultados topologicos sobre convexos analogos a los de los espacios vectoriales topologicos.



Rodrigo Iglesias (UNS)
Algebras de invariantes de grafos

Desde la perspectiva de la teoria de invariantes, el problema del isomorfismo de grafos --determinar eficientemente si existe o no un isomorfismo entre dos grafos dados-- sugiere una nueva clase de problemas concernientes a la complejidad y estructura de los invariantes y sus generadores. Es frecuente en la literatura que al definir un nuevo invariante resulta dificil determinar distingue o no a todos los grafos. Veremos como traducir algunos resultados --bien conocidos en la comunidad de computacion-- sobre logicas en finitas variables y juegos de Ehrenfeucht-Frasse, a un contexto mas algebraico con el objetivo de responder algunas de estas preguntas. En particular, mostramos que las limitaciones del refinamiento de Weisfeiler-Lehman --un metodo combinatorial-- implican que los espectros de potencias de grafos no son invariantes completos.


Paulo Carrillo (Paris 7)
Deformaciones de algebras y Teoria del indice

Despues de una breve introduccion a la teoria del indice clasica � la Atiyah-Singer, hablaremos del rol de los grupoides para hacer teoria del indice para espacios "singulares" como el espacio de hojas de una foliacion, orbifolds, variedades con borde,etc. El tema principal de esta platica es la construccion de un algebra de deformacion asociada al grupoide tangente de un grupoide de Lie. Explicare como esta algebra permite definir nuevos indices analiticos para grupoides y como sirve tambien para dar teoremas del indice en Cohomologia Ciclica. Finalmente voy a hablar sobre el enfoque de Connes-Moscovici para atacar problemas geometricos como la Conjetura de Novikov con metodos (algebraico-analiticos) de la teoria del indice para grupoides de Lie.


Miguel Ottina (Universidad de Buenos Aires)
Sucesiones espectrales en topologia: Resultados clasicos y nuevas aplicaciones

Las sucesiones espectrales constituyen una poderosa herramienta de calculo de grupos de homologia tanto en topologia como en algebra y pueden aplicarse tambien al calculo de grupos de homotopia de espacios topologicos. Daremos en esta charla un amplio recorrido por el tema, incluyendo algunos resultados clasicos y otros que hemos obtenido recientemente. En la primera parte centraremos nuestra atencion en la sucesion espectral de Serre y mostraremos, entre otras cosas, como se aplica al calculo de grupos de homotopia de esferas. En la segunda parte utilizaremos sucesiones espectrales para obtener informacion de los grupos de A-homotopia y de A-homologia de espacios topologicos.


Sonia Natale (FaMAF)
Algunos resultados sobre la estructura de las algebras de Hopf semisimples

Se discutiran algunos resultados recientes sobre el problema de clasificacion de las algebras de Hopf semisimples. Se presentaran algunos ejemplos que relacionan la cuestion de semisolubilidad con la construccion de twisting, obtenidos en dos trabajos en colaboracion con C. Galindo [Math. Res. Lett. (2206) y Manuscripta Math. (aceptado)]. Se discutiran tambien los ejemplos provenientes de grupos finitos, conocidos como algebras de Hopf (o mas generalmente, categorias tensoriales) 'de tipo grupo'. Un resultado reciente de D. Nikshych establece que existen algebras de Hopf semisimples que no son de tipo grupo (lo cual responde una pregunta abierta en el trabajo [P. Etingof, D. Nikshych y V. Ostrik, Ann. Math. (2) 162, 581-642 (2005)]). Se presentara un trabajo reciente, en colaboracion con C. Galindo y J. Ochoa, en el cual se estudia una familia de ejemplos emparentados con los ejemplos de Nikshych.


Estanislao Herscovich (UBA)
Teoria de representaciones y homologia de algebras de Yang-Mills

Las algebras de Yang-Mills fueron introducidas por A. Connes y M. Dubois-Violette, en relacion con ciertos problemas de teoria de campos no conmutativos y teoria de cuerdas. En esta charla repasaremos las definiciones basicas y presentaremos varios resultados sobre este tipo de algebras. Los mismo forman parte de mi trabajo de tesis de Doctorado con la Dra. Andrea Solotar.


Maria Julia Redondo (UNS)
Cubrimientos sin grupo

Se presentaran nociones basicas sobre cubrimientos y cubrimientos de Galois de categorias k-lineales. Se mencionara la utilidad de los cubrimientos de Galois en la teoria de representaciones de algebras, para determinar el tipo de representacion del algebra, y se mostraran condiciones para extender estos resultados a cubrimientos sin la accion de un grupo.


Gonzalo Tornaria (de la Republica )
TBA




Sebastian Freyre (Universidad de Buenos Aires)
Algebras de Nichols sobre PGL2(Fq) y PSL2(Fq).

Las Algebras de Nichols de dimension finita son cruciales en la clasificacion de algebra de Hopf punteadas. Probamos que una gran familia de algebras de Nichols sobre los grupos mencionados es de dimension infinita y con ello restringimos el problema de la clasificacion de las de dimension finita.


Gaston Garcia (FaMAF)
Algebras de Hopf de dimension 16

La charla sera sobre un trabajo en conjunto con C. Vay -- arXiv:0712.0405v1 -- sobre la clasificacion completa de las algebras de Hopf de dimension 16 sobre un cuero algebraicamente cerrado de caracteristica cero. Especificamente se mostrara que un algebra de Hopf no semisimple de dimension 16, tiene la propiedad Chevalley o su dual es punteado.


Teresa Krick (Universidad de Buenos Aires)
Acerca del Nullstellensatz efectivo

El objetivo de la charla es contar de que se trata el Nullstellensatz (o teorema de los ceros) efectivo, los distintos avances logrados en los ultimos annos (incluyendo los aspectos aritmeticos) y algunas tecnicas muy recientes que utilizan herramientas basicas y naturales de la geometria algebraica clasica .

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