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Matematica I (B)
Programa
I. Vectores y matrices
- Vectores y números complejos: Vectores en R2 y R3 (repaso).
Representación gráfica. Suma y producto por escalares. Norma de un vector y
distancia entre puntos. Producto escalar y ortogonalidad; ángulo entre
vectores. Producto vectorial en R3; interpretación geométrica.
Números complejos. Forma binómica. Representación en el plano. Igualdad.
Operaciones: suma y producto. Conjugado. Módulo. Inverso. Ecuaciones
cuadráticas con coeficientes en R. Argumento de un número complejo. Forma
polar o trigonométrica. Notación exponencial. Teorema de De Moivre.
Interpretación geométrica del producto de números complejos. Raíces
n-ésimas de un número complejo.
- Sistemas lineales y matrices: Método de eliminación de Gauss
para resolver sistemas de ecuaciones lineales (repaso). Rango de una
matriz. Álgebra matricial: suma de matrices y producto de una matriz por un
escalar, producto de matrices. Matrices inversibles. Determinantes.
Fórmulas para matrices de 2x2 y 3x3. Desarrollo del determinante por una
fila o una columna. Inversibilidad y determinantes. Autovalores y
autovectores de matrices de nxn. Interpretación geométrica. Polinomio
característico. Diagonalización de matrices reales sobre R y sobre C.
Aplicación: cálculo de potencias de matrices y potencias de matrices por
vectores.
II. Cálculo diferencial
III – Ecuaciones diferenciales
- Ecuaciones diferenciales de primer orden: Introducción a las
ecuaciones diferenciales y ejemplos provenientes de la biología (en una
variable, crecimiento de una población, etc.). Enunciado del teorema de
existencia y unicidad de solución para ecuaciones de orden 1 y funciones
de clase C¹. Repaso de cálculo de primitivas e integrales definidas.
Métodos de resolución para ecuaciones de orden 1: separación de variables,
ecuaciones homogéneas. Resolución de ecuaciones diferenciales
lineales de primer orden con coeficientes constantes homogéneas y no
homogéneas. Transformación de Bernoulli. Análisis asintótico en una
dimensión tanto para ecuaciones lineales como no lineales. Aplicaciones
(por ejemplo modelo de Malthus de crecimiento de poblaciones y modelo
logístico de Verhulst sin y con recolección).
- Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden y ecuaciones de
orden 2: Sistemas lineales homogéneos de orden 1 y dimensión 2 o 3 con
coeficientes constantes dados por matrices diagonalizables: resolución y
diagrama de fases. Resolución de ecuaciones lineales de segundo
orden con coeficientes constantes homogéneas (incluso para el caso de
polinomio característico con raíces múltiples, proponiendo la base
de soluciones) y no homogéneas (variación de los parámetros). Aplicaciones
(por ejemplo el oscilador armónico, con amortiguamiento y
forzado).
- Sistemas de ecuaciones no lineales de primer orden: Sistemas de
ecuaciones no lineales provenientes de la biología (por ejemplo, modelos
competencia de especies de tipo Lotka Volterra, modelos SIR de
enfermedades infecciosas, cinética de acción de masas, etc.). Puntos de
equilibrio. Linealización. Enunciado de los resultados de aproximación del
comportamiento asintótico cerca de un punto de equilibrio (Teorema de
Hartman Grobman). Análisis asintótico cerca de los puntos de equilibrio de
los ejemplos enunciados anteriormente.
Bibliografía
- Álgebra lineal, S. Lipschutz. 2da. ed. McGraw-Hill, 1991.
- Álgebra lineal. S. Grossman. 6ta. Edición. McGraw Hill,
2008.
- Cálculo. Conceptos y contextos. J. Stewart. Tercera edición. Thomson,
2006.
- Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. J. Stewart.
Séptima Edición. Cengage Learning Editores. 2012.
- Calculus for Biology and Medicine. C. Neuhauser. Third edition.
Pearson, 2010.
- Mathematical Biology: I. An Introduction. J.D. Murray. Third Edition.
Springer, 2002.
- Mathematical Models in Biology. L. Edelstein-Keshet. SIAM's Classics in
Applied Mathematics 46. SIAM, 2005.
Created by
slaplagn
Last modified
2019-03-01 02:08 PM
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