Primera Parte: Topología General

1. Conjuntos ordenados y bien ordenados. Axioma de Elección. Teorema de Zermelo.Temas básicos

2. Espacios topológicos. Topologías. Topología discreta e indiscreta. Reticulado de topologías. Conjuntos abiertos y cerrados, claudura e interior, entornos. Base y sub-base de una topología. Topología del orden. Topología métrica. Redes y sub-redes. Funciones continuas, abiertas, cerrados, homeomorfismos.

3. Topología producto, topología caja. Unión de espacios. Topología del subespacio. Topología cociente. Productos fibrados. Topologías finales e iniciales.

4. Espacios conexos, localmente conexos, arco conexos. localmente arco conexos. Componentes arco conexas. Espacios Hausdorff. Funciones propias. Espacios compactos y localmente compactos. Compactificación de un punto (Alexandroff). Grupos topologicos.

5. Axiomas de separaci[on (Haudorff, Regular, Completamente regular, NOrmal). Lema de Urysohmn.

6. Teorema de Tychonoff. Compactificación de Stone-Cech.

7. Espacios de funciones. Topologías exponenciales y ley exponencial. Topología compacto-abierta. Topología uniforme sobre compactos. K-espacios.

Segunda Parte: Topología Algebraica

1. Homotopía de funciones. Homotopía relativa. Equivalencias homotópicas y Tipos homotópicos. Espacio contráctiles. Retractos por deformación. Cilindros, conos, cilindros y conos de funciones. Extensión de funciones al cono, extensión de funciones de esferas a discos.
2. Homotopía de caminos y lazos. Grupoide y grupo fundamental. Levantamiento de curvas y homotopías. Fibras. Fibraciones. Revestimientos. Grupo fundamental de las esferas. Teorema de Van Kampen (versión general para grupoides y para grupos). Grupo fundamntal de superficies compactas. Algunas aplicaciones (teorema fundamental del álgebra, punto fijo, etc). Existencia y clasificación de revestimientos.
3. Introducción a la Homología singular y simplicial. Complejo de cadenas. Complejosingular. Complejos simpliciales. Grupos de homologías de las esferas. Relación con la homotopía. Aplicaciones.

BIBLIOGRAFIA

• Munkres. Topology, a first course. Edit. Prentice-Hall.

• Kelley. General Topology. Edit Van Nostrand Reinhold Co.

• Spanier. Algebraic Topology. Edit. Mc Graw-Hill.

CORRELATIVAS: Álgebra II y Cálculo Avanzado