1. Revisión del teorema de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias. Dependencia de los datos iniciales. Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales. Problema de la existencia local de soluciones.
2. Cálculo de variaciones en una dimensión. Variación primera y ecuación de Euler-Lagrange. Extremales. Sistemas de Hamilton. Problemas con extremos libres e isoperimétricos. Integrales múltiples.
3. Métodos de separación de variables. Completitud del sistema de autofunciones. Aplicación a la resolución de problemas de valores de contorno para el laplaciano, la ecuación del calor y de las ondas en distintos dominios.
4. Funciones armónicas. Solución del problema de Dirichlet en Rⁿ. Función de Green y núcleo de Poisson en el semiespacio y la esfera. Teorema del valor medio. Recíproca del teorema del valor medio. Principio del máximo. Desigualdad de Harnack. Analiticidad de las funciones armónicas.
5. Función de Dirac. Producto de convolución. Transformada de Fourier. Transformada de la convolución. Teorema de inversión. Transformada de Fourier en L². Aplicación al cálculo de soluciones fundamentales y a la resolución de problemas de valores iniciales para el laplaciano, la ecuación de ondas, la del calor, y la de Schrodinger.
6. El operador del calor. El núcleo de Gauss y sus aplicaciones. La ecuación del calor en dominios acotados. Principio del máximo. Regularidad.La ecuación de ondas en 1, 2 y 3 dimensiones.
7. Espacios de Sobolev W^k.p. Formulación variacional de problemas de contorno. Existencia y unicidad del minimizante en H¹ para la integral de Dirichlet. Regularidad del minimizante. Resolución de problemas uniformemente elípticos de 2do. orden. Compacidad de la inclusión de H¹ y L². Autovalores. Aplicación a la resolución de la ecuación del calor en dominios acotados.

BIBLIOGRAFIA

• Evans, L., “Partial Differential Equations”, AMS, 1991

• Folland, G.B. “Introduction to Partial Differential Equations”. Princeton Univ. Press, 1976.

• Courant, R. D. Hilbert “Methods of Mathematical Physics”. Vol. I, Wiley Interscience, 1953.

• Elsgoltz, L. “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional”. Ed. Mir, 1977.

• Tijonov, A.; A. Samarsky “Ecuaciones de la Física Matemática”. Ed. Mir. 1983.

• Weinberger, H. “Ecuacioanes Diferenciales”. Ed. Reverté, 1982.

• Brézis, H. “Análisis Funcional. Teoría y aplicaciones”, Alianza Editorial, 1984.

• Mijailov, V.P. “Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales” Ed. Mir. 1978.

• John. F. “Parcial Differential Equations”, Springer-Verlag, 1971.

• Gilbarg, D.; N.S. Trudinger, “Elliptic Partial Differential Equations of Second Order”, Springer-Verlag, 1986.
  
  

CORRELATIVAS: Análisis Complejo y Análisis Real (p/pura) y Medida y Probabilidad (p/Aplicada)