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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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\begin{document}
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\fancyfoot[CO]{\slshape \thepage}
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\begin{center}
{\Large\bf Topología}

Segundo cuatrimestre - 2021

Práctica 4

{\bf Compacidad y axiomas de separación}
\end{center}


\begin{center} \rule{12cm}{.4mm} \end{center}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%

%Usaremos la siguiente nomenclatura: un espacio $X$ se dice $T_0$ si para cada par de puntos distintos existe un abierto que contiene a uno solo de ellos. $X$ es $T_1$ si para cualesquiera dos puntos $x_0,x_1\in X$ existen abiertos $U_0, U_1$ tales que $x_i\in U_j$ si y sólo si $i=j$. Es $T_2$ (o {\em Hausdorff}) si dos puntos distintos cualesquiera tienen entornos disjuntos. $X$ se dice {\em regular} si dados un punto $x$ y un cerrado $F$ en $X$ tal que $x\notin F$, existen dos abiertos disjuntos, uno conteniendo a $x$ y el otro a $F$. El espacio es $T_3$ si es regular y $T_1$. $X$ es {\em completamente regular} si para todo cerrado $F$ y todo punto $x\notin F$, existe una función continua $f:X\to I=[0,1]$ tal que $f(F)=\{0\}$ y $f(x)=1$. $X$ es {\em Tychonoff} si es completamente regular y $T_1$. Diremos que $X$ es {\em normal} si para cualesquiera dos cerrados disjuntos $F_1$ y $F_2$ existen dos abiertos disjuntos, uno conteniendo a $F_1$ y el otro a $F_2$. Finalmente, $X$ se dice $T_4$ si es normal y $T_1$.  

%\bigskip


\section*{Compacidad}

\begin{enumerate}

\item Sean $\tau, \tau'$ dos topologías en $X$. 
\begin{enumerate} \itemsep0pt
\item Pruebe que si ${\tau}'$ es más fina que ${\tau}$ y $(X, {\tau}')$ es compacto, entonces $(X, {\tau})$  es compacto.
\item Pruebe que si $(X, {\tau})$  y $(X, {\tau}')$ son compactos y Hausdorff, entonces o bien $\tau=\tau'$ o bien
$\tau$ y $\tau'$ no son comparables.
\end{enumerate}

\item Sea $(X , \tau)$ un espacio topológico Hausdorff y sea $\tau_c = \{U \in \tau : X \setminus U \text{ es compacto} \}\cup \{\emptyset\}.$
Pruebe que $\tau_c$ es una topología sobre $X$.

\item Pruebe que si $X$ tiene la topología del complemento finito, entonces $X$ es compacto.

\item Decida si $[0,1]$ es compacto para
\be\itemsep0pt
 \item la topología $\{U\subseteq[0,1] : [0,1] \setminus U \text{ es a lo sumo numerable}\}\cup\{\emptyset\}$;
\item la topología de subespacio de $\R_l$.
\en

\item Pruebe que $S_{\Omega}$ no es compacto pero es secuencialmente compacto.

\item Sea $\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesi\'on de espacios topológicos $T_1$ tales que $X_n\subseteq X_{n+1}$ para todo $n\in \mathbb{N}$ y sea $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} X_n$ con la topología final respecto de las inclusiones $\iota_n:X_n\rightarrow X$. Pruebe que si $K\subseteq X$  es compacto, entonces $K\subseteq X_n$ para alg\'un $n\in \mathbb{N}$.

\item	Sea $X$ metrizable. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
	\be\itemsep0pt
	\item $X$ es acotado para toda métrica que induzca la topología de $X$.
	\item Toda función continua $\phi:X\to\R$ es acotada.
	\item $X$ es compacto.
	\en


%\item  (clase teórica) Sea $X$ un espacio Hausdorff.
%\be \item Si $A \subseteq X$ es compacto y $x \in X \smallsetminus A$, entonces existen abiertos disjuntos $U, V \subseteq X$
%tales que $A \subseteq U$ y $x \in V$.
%En particular, un espacio compacto y Hausdorff es \textit{regular}: para cada
%cerrado $A \subseteq X$ y cada $x \in X \smallsetminus A$, existen abiertos disjuntos $U, V \subseteq X$ tales que
%$A \subseteq U$ y $x \in V$.
%\item  Si $A, B \subseteq X$ son dos compactos disjuntos, entonces existen abiertos $U, V \subseteq X$
%disjuntos tales que $A \subseteq U$ y $B \subseteq V$.
%En particular, un espacio $X$ compacto y Hausdorff es \textit{normal}: para cada
%par de cerrados disjuntos $A, B \subseteq X$ existen abiertos disjuntos $U, V \subseteq X$ tales
%que $A \subseteq U$ y $B \subseteq V$.
%\en


\item Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, con $X$ compacto e $Y$ Hausdorff. Muestre que si una función $f:X \to Y$ es continua, entonces es cerrada.


\item Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, con $Y$ compacto y Hausdorff. Puebe que una función $f:X \to Y$ es continua si y sólo su gráfico 
$\Gamma_f=\{(x,f(x)) \in X\times Y: x \in X\}$
es cerrado en $X \times Y$.

%%(Sugerencia: Si $G_f$ es cerrado y $V$ es un entorno abierto de $f(x_0)$, encontrar un tubo que contenga a $\{x_0\} \times (Y \setminus V) $ que no corte a $G_f$.)
%
%\item  Sea $p:X\to Y$ una función continua, suryectiva y cerrada. Pruebe que si $Y$ es compacto y si para todo $y\in Y$ la fibra $p^{-1}({y})$ es compacta, entonces $X$ es compacto.
%
%
%%\item Mostrar que si $Y$ es compacto, entonces la proyección $\pi_1 : X\times Y \to Y$ es cerrada.
%%
%\item Considere el siguiente producto fibrado.
%$$\begin{matrix}\xymatrix{ P \ar[r] \ar[d] \ar@{}[dr]|{\rm pull}& X \ar[d]\\ Z \ar[r] & Y }\end{matrix}
%\qquad\qquad
%P=X\times_Y Z$$
%Pruebe que si $X$ y $Z$ son compactos, e $Y$ Hausdorff, entonces $P$ es compacto.\\ Halle un ejemplo en el que $Y$ no sea Hausdorff y $P$ no sea compacto.




\item Sea $f:X \rightarrow Y$ función continua.
Pruebe que son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $f$ es cerrada y $f^{-1}(\{y\})$ es compacto para todo $y\in Y$. 
\item $f$ es cerrada y $f^{-1}(K)$ es compacto para todo $K\subseteq Y$ compacto. 
\item Para todo $Z$ espacio topológico, 
$id_Z\times f:Z\times X \rightarrow Z\times Y$ es cerrada.
\item $f$ es propia.
\end{enumerate}

\item Sea $f:X \to Y$ suryectiva y propia. Pruebe que si $X$ es Hausdorff, entonces $Y$ también lo es.

\end{enumerate}

\medskip

\newpage

\section*{Compacidad local}

\begin{enumerate}[resume]
\item Pruebe que $\Q$ no es localmente compacto.


\item Pruebe que $[0,1]^\omega$ no es localmente compacto con la topología uniforme.

\item Pruebe que si $\prod_{i \in I} X_i$ es localmente compacto y $X_i\neq \emptyset$ para todo $i$, entonces cada $X_i$ es localmente compacto y todos los $X_i$, salvo una cantidad finita, son compactos.

\item Pruebe que si $X$ es localmente compacto y $f:X \to Y$ es continua y abierta, entonces $f(X)$ es localmente compacto. Halle un ejemplo que muestre que la hipótesis $f$ abierta es necesaria.

\end{enumerate}



\section*{Compactificación de  Alexandroff}

\begin{enumerate}[resume]

\item Pruebe que la compactificación a un punto de $\N$ es homeomorfa a $\{0\}\cup\{1/n:n\in\N\}$ con la topología subespacio de $\R$.

\item Usando la proyección estereográfica 
$p: S^n \setminus \{N\} \to \R ^n$ definida por 
$$p(x_1,\ldots,x_{n+1})=\frac 1 {1-x_{n+1}}(x_1,\ldots,x_n),$$
pruebe que la compactificación a un punto de $\R^n$ es homeomorfa a $S^n$.

\item Pruebe que si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo, entonces $f$ se extiende a un homeomorfismo entre sus compactificaciones a un punto.

\end{enumerate}


\section*{Axiomas de separación}

\begin{enumerate}[resume]

\item Pruebe que si $X$ es regular, entonces dos puntos distintos cualesquiera de $X$ admiten entornos cuyas clausuras son disjuntas.

\item Pruebe que si $X$ es normal, entonces dos cerrados disjuntos cualesquiera de $X$ admiten entornos cuyas clausuras son disjuntas.

\item Pruebe que un subespacio cerrado de un espacio normal es normal.

\item Pruebe que si $X$ es un conjunto ordenado con la topología del orden, entonces $X$ es regular.

\item Sea $\{X_\alpha\}$ una familia de espacios topológicos no vacíos. Pruebe que si $\prod X_\alpha$ es Hausdorff o regular o normal, entonces también lo es cada $X_\alpha$.

\item Sea $X$ un conjunto y sean $\tau, \tau'$ topologías en $X$ tales que $\tau \subseteq \tau'$. Suponiendo que $X$ es Hausdorff (o regular o normal) con una de estas topologías, ¿qué puede deducirse de $X$ con la otra topología?

\item Sean $f,g:X\to Y$ continuas, $Y$ Hausdorff. Pruebe que $\{x:f(x)=g(x)\}$ es cerrado en $X$.

\item Pruebe que si $X$ es normal y conexo, entonces $X$ tiene un solo punto o es no numerable.


%\item Sea $X$ Hausdorff y sean $A,B\subset X$ compactos y disjuntos.
%Probar que existen abiertos disjuntos $U,V$ tales que $A\subset U$ y $B\subset V$. En particular todo espacio compacto y Hausdorff es normal.

%\item Sea $X$ regular con una base de abiertos numerable. Sea $U$ un abierto de $X$.
%	\be\itemsep0pt
%	\item Probar que $U$ es unión de numerables cerrados de $X$.
%	\item Probar que existe $f:X\to I$ tal que $f(x)>0$ si $x\in U$ y $f(x)=0$ si $x\notin U$.
%	\en

	
\item Sea $Z$ un espacio topológico. Si $Y$ es un subespacio de $Z$, decimos que $Y$ es \emph{retracto} de $Z$ si existe una función continua $r:Z\to Y$ tal que $r(y)=y$ para todo $y\in Y$.
	\be\itemsep0pt
	\item Pruebe que si $Z$ es Hausdorff e $Y$ es un retracto de $Z$, entonces $Y$ es cerrado en $Z$.
	\item Sea $A\subset\R^2$ con dos elementos. Pruebe que $A$ no es un retracto de $\R^2$.
	\item Pruebe que $S^1$ es un retracto de $\R^2\setminus\{0\}$. %¿Es $S^1$ un retracto de $\R^2$?
	\en

\item Pruebe que si $\{f_\alpha:X\to\R\}$ es una familia de funciones continuas que separan puntos de cerrados, entonces es inicial.

\item Pruebe que si $Y$ es normal con base $\mathcal B$, entonces $Y$ es subespacio de $[0,1]^J$ con $J\subseteq\mathcal B\times\mathcal B$.


%Solución: Sea $K=\{(U,V)\in\B\times\B:\overline U\subseteq V\}$. Si $(U,V)\in K$,
%entonces existe una función continua $f_{(U,V)}:X\to[0,1]$ tal que
%$f_{(U,V)}(x)=0$ si $x\in\overline U$ y $f_{(U,V)}(x)=1$ si $x\in
%X\setminus V$. Sea $\F=\{f_{(U,V)}:(U,V)\in K\}$. Afirmamos que $\F$ separa
%puntos de cerrados. En efecto, si $x\in X$ y $F\subseteq X$ es un cerrado
%tal que $x\not\in F$, entonces como $X$ es regular y $\B$ es una base,
%existe $(U,V)\in K$ tal que $x\in U$ y $V\cap F=\emptyset$ y entonces
%$f_{(U,V)}(x)=0$ y $f_{(U,V)}(y)=1$ si $y\in F$.
%
%De acuerdo al ejercicio anterior, esta propiedad de la familia $\F$
%implica que se trata de una familia inicial. Si $f:X\to\prod_{(U,V)\in
%K}[0,1]$ es la función continua tal que $\pi_{(U,V)}\circ f=f_{(U,V)}$ para
%cada $(U,V)\in K$, entonces $f$ es un homeomorfismo a su imagen: es
%claramente continua e inyectiva, así que solo hay que mostrar que es
%abierta. Como $f$ es inyectiva, basta mostrar que $f$ manda cada abierto de
%la sub-base $\{f_{(U,V)}^{-1}(W):\text{$(U,V)\in K$, $W\subseteq I$
%abierto}\}$ a un abierto de~$f(X)$. Pero
%$f(f_{(U,V)}^{-1}(W))=f(W)\cap\pi_{(U,V)}^{-1}(W)$, así que esto es
%claro.



\item Pruebe que $\R_l\times\R_l$ no es normal, pero es completamente regular.

\item Sea $X$ completamente regular. Sean $A,B$ cerrados disjuntos de $X$. Pruebe que si $A$ es compacto, entonces existe una función continua $f:X\to I$ tal que $f(A)=\{0\}$ y $f(B)=\{1\}$.

\item Pruebe que si $X$ es compacto y Hausdorff, entonces es normal.

\item Pruebe que si $X$ es localmente compacto y Hausdorff, entonces es completamente regular.

\end{enumerate}


\section*{Compactificación de Stone-$\check{\textsf{C}}$ech}

\begin{enumerate}[resume]

\item Sea $Y$ una compactificación $T_2$ de $X$, y sea $\beta(X)$ la compactificación de Stone-$\check{\textsf{C}}$ech. Pruebe que existe una función cerrada y suryectiva $g:\beta(X)\to Y$ que se restringe a la identidad de $X$.

\item\be
	\item Pruebe que si $f:S_\Omega\to \R$ es continua, entonces es eventualmente constante.\\
	{\footnotesize\emph{Sugerencia: }pruebe en primer lugar que, para cada $\epsilon>0$, existe un elemento $\alpha$ de $S_\Omega$ tal que $|f(\beta)-f(\alpha)|<\epsilon$ para todo $\beta>\alpha$. Sea entonces $\epsilon=1/n$ para $n\in\N$ y considere los correspondientes puntos $\alpha_n$.}
	\item Pruebe que la compactificación en un punto de $S_\Omega$ y la compactificación de Stone-$\check{\textsf{C}}$ech son equivalentes.
	\item Concluya que toda compactificación de $S_\Omega$ es equivalente a la compactificación en un punto.
	\en

\item Sea $X$ completamente regular. Pruebe que $X$ es conexo si y sólo si $\beta(X)$ es conexo.

\item Sea $X$ discreto.\be
	\item Pruebe que si $A\subseteq X\subseteq\beta(X)$, entonces $\overline A$ y $\overline{X\setminus A}$ son disjuntos, donde las clausuras se toman en $\beta(X)$.
	\item Pruebe que si $U$ es abierto en $\beta(X)$, entonces $\overline U$ es abierto en $\beta(X)$.
	\item Pruebe que $\beta(X)$ es totalmente disconexa.
	\en

\end{enumerate}


\section*{Grupos topológicos}

\noindent Un \textit{grupo topológico} $G$ es un grupo y un espacio topológico tal que las funciones $(x,y)\mapsto x\cdot y$ y $x\mapsto x^{-1}$ son continuas.

\begin{enumerate}[resume]

\item Pruebe que $(\R,+)$, $(S^1,\cdot)$ y $(GL(n,\R),\cdot)$ son grupos topológicos.

\item Sea $G$ un grupo y un espacio topológico. Pruebe que $G$ es un grupo topológico si y sólo si la función
$H: G \times G \to G$, $H(g,h)=g\cdot h^{-1}$ es continua.

\item Pruebe que para cada $a\in G$, las funciones $L_a : G \to G$
y $R_a: G \to G$, definidas por $L_a(g)=a\cdot g$, $R_a(g)=g\cdot a$
son homeomorfismos.

\item Sea $G$ un grupo topológico, sea $e$ el neutro de $G$ y sea $U$ abierto que contiene a $e$. Pruebe que existe un abierto $V$ que contiene a $e$ tal que $V \cdot V\subseteq U$ y $V^{-1}=V$.

\item Pruebe que si un grupo topológico $G$ es $T_0$, entonces es $T_2$.

\item Pruebe que si $H$ es un subgrupo de un grupo topológico $G$, entonces la clausura de $H$ es también un subgrupo. Pruebe que si $H$ es invariante, entonces su clausura también lo es.

\item De los grupos topológicos $GL(n,\R),SL(n,\R),O(n,\R),SO(n,\R)$, decida cuáles son compactos y cuáles son conexos.



\end{enumerate}

\end{document}