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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
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%\fancyhead[CE]{\slshape Práctica 0}
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\begin{center}
{\Large\bf\sffamily Topología}

Segundo cuatrimestre - 2019

Práctica 2

{\bf\sffamily Funciones continuas, Subespacios, Productos y Cocientes}
\end{center}


\begin{center} \rule{12cm}{.4mm} \end{center}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%
\sffamily
%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\textbf{Funciones continuas}

\begin{enumerate}

\item 
Sean $X,Y$ espacios topológicos. Probar que cada una de las siguientes condiciones
sobre $f:X \rightarrow Y$ es equivalente a pedir que $f$
sea continua 
	  \be
	  \item Para todo $x\in X$ y para todo $A \in {\mathscr F}_y$ ($y=f(x)$) existe $B \in {\mathscr F}_x$ tal que $f(B)\subset A$
	  \item Para toda red $(x_\alpha)_{\alpha \in \Lambda} \subset X$ tal que $x_\alpha \rightarrow x$ se tiene que $f(x_\alpha)\to f(x)$
	  \item Para todo $A \subset X$ se tiene $f\left(\overline A \right)\subset \overline{f(A)}$.
	  \item Si ${\mathcal B}$ es una base para la topología de $Y$, entonces $f^{-1}(B)$ es abierto en $X$ para todo $B \in {\mathcal B}$.
	  \item Si ${\mathcal S}$ es una sub-base para la topología de $Y$, $f^{-1}(S)$ es abierto en $X$ para todo $S \in {\mathcal S}$.
	  \en

\item Sean $X$ un espacio topológico y $E \subset X$.
Sea $\chi_E: X \rightarrow \R$ la función característica de $E$, esto es,
$$\chi_E(x)=\begin{cases}
1 & \text{ si }  x \in E \\
0 & \text{ si }  x \notin E 
\end{cases}$$
Probar que $\chi_E$ es continua en $x$ si y sólo si $x$ no pertenece a la frontera de $E$.
 
\item \be	  
	  \item Sean $X,Y$ conjuntos ordenados, con la topología del orden. Probar que si $f:X \rightarrow Y$
	  es biyectiva y preserva el orden, entonces $f$ es un homeomorfismo.
	  \item Sea $n \in \N$. Sea $g:\R_{\geq 0} \rightarrow \R_{\geq 0}$, $g(x)=\sqrt[n]x$. Probar que $g$ es un homeomorfismo.
	  \item Sea $X=(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)$ con la topología euclídea.
	  Definimos $f:X \rightarrow \R$ por:
	  $$f(x)=\begin{cases}
	  x+1 & \text{ si } x < -1 \\
	  x   & \text{ si }  x \geq 0
	  \end{cases}$$
	  Probar que $f$ es biyectiva y preserva el orden. ¿Es $f$ un homeomorfismo?
	  \end{enumerate}

\item  Sea $Y$ un conjunto ordenado con la topología del orden. Sean $f,g:X \rightarrow Y$ funciones continuas.
	   \be
	   \item Probar que el conjunto $\{x \in X : \; f(x)\leq g(x)\}$ es cerrado en $X$.
	   \item Sea $h:X \rightarrow Y$ la función $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$. Probar que $h$ es continua.
	   \en

\item Sea $\{A_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$ una colección de subconjuntos del espacio  $X$ tal que $X=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathcal A} A_\alpha$.
Sea $f: X \rightarrow Y$ y supongamos que $f|_{A_\alpha}$ es continua para cada $\alpha \in \mathcal A$.
	  \be
	  \item Probar que si cada $A_\alpha$ es abierto, entonces $f$ es continua.
	  \item Probar que si $\mathcal A$ es finito y cada conjunto $A_\alpha$ es cerrado, entonces $f$ es continua.
	  \item Encontrar un ejemplo donde la colección ${\mathcal A}=\N$, cada $A_\alpha$ es cerrado, pero $f$ no es continua.
	  \item Una familia $\{A_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$ se dice localmente finita si para cada $x \in X$ existe un abierto $U \subset X$, $x \in U$, tal que  $U \cap A_\alpha \neq \emptyset$ sólo para finitos valores de $\alpha$. Mostrar que si la familia $\{A_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$ es localmente finita y cada $A_\alpha$ es cerrado, entonces $f$ es continua.
	  \en

\textbf{Subespacios, productos y cocientes}

\smallskip



%\item Sea $X$ un espacio topológico, $Y \subset X$ un subconjunto e $i:Y \to X$ la inclusión.
%Probar que la topología de subespacio de $Y$ está caracterizada por la siguiente propiedad:
%``Para todo espacio topológico $Z$ y toda función $f:Z \to Y$, se tiene que $f$ es continua si y sólo si $i \circ f: Z \to X$ lo es.''
%(O sea, probar que la topología del subespacio en $Y$ es la única topología que se puede poner en $Y$ de manera que valga la propiedad anterior.)

\item Consideremos a $I=[-1,1]$ como subespacio de $\R$. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son abiertos en $I$? ¿Cuáles son abiertos en $\R$? 
  $$\begin{array}{lll}
		A=\{x : \frac 1 2 <|x|<1\} \quad& B=\{x: \frac12<|x|\leq 1\}\quad &   C=\{x:\frac12\leq|x|<1\}\quad\\
		D=\{x:\frac12\leq|x|\leq1\}\quad& E=\{x:0<|x|<1, 1/x \notin\N\}\quad& F=\{x:|x|\leq1\}\quad
	\end{array}$$

\item Sea $X$ un conjunto ordenado, equipado con la topología del orden, y sea $Y \subset X$.
	\be
	\item Probar que la topología del orden en $Y$ no coincide en general con la topología de subespacio. Comparar estas dos topologías.
	\item $Y$ se dice {\bf convexo} si satisface $a,b\in Y \Rightarrow (a,b)\subset Y$. Probar que si $Y$ es convexo, entonces estas dos topologías sí coinciden.
	\en

\item Probar que si $Z\subset A$ y $A$ es subespacio de $X$, entonces la topología de $Z$ como subespacio de $A$ coincide con la topología de $Z$ como subespacio de $X$.
	
\item Sean $A$ un subespacio de $X$ y $B$ un subespacio de $Y$. Probar que la topología producto en $A\times B$ coincide con la topología de subespacio de $X\times Y$. 

\item Sean $X,Y$ espacios topológicos. Probar que las proyecciones $p_1:X \times Y \to X$ y $p_2:X \times Y \to Y$ son abiertas. Hallar ejemplos en los que no sean cerradas.

\item Sean $X,Y,Z$ espacios topológicos, y sea $f:X\times Y\to Z$ una función. $f$ se dice {\bf continua en $x$} si $f(-,y):X\to Z$ es continua para todo $y\in Y$. Analogamente, $f$ se dice {\bf continua en $y$} si $f(x,-):Y\to Z$ es continua para todo $x\in X$.
	\be
	\item Probar que si $f$	es continua, entonces es continua en cada variable.
	\item Hallar un ejemplo en el que $f$ sea continua en cada variable y sin embargo no sea continua.
	\en

\item \begin{enumerate}
\item Probar que la topología del orden del diccionario en $\R\times\R$ coincide con la topología producto de $\R_d \times \R$, donde $\R_d$ es la topología discreta en $\R$. Comparar con la topología usual de $\R^2$.
\item Sea $I=[0,1]\subset\R$. Comparar la topología producto en $I \times I$ con la topología del orden del diccionario en $I\times I$ y con la topología $I_d\times I$ donde $I_d$ denota a $I$ con la topología discreta.
\end{enumerate}

\item Sea $\R_l$ la topología cuya base de abiertos son los conjuntos de la forma $[a,b)$, $ a,b \in \R$.
Sea $L$ una recta en el plano. Describir la topología que hereda $L$ como subespacio de $\R_l \times \R$ y como subespacio de $\R_l \times \R_l$.


\item Sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Probar que $\overline{A\times B}
=\overline A \times \overline B$. Concluir que si 
$A$ es cerrado en $X$ y $B$ es cerrado en $Y$,
entonces $A \times B$ es cerrado en $X \times Y$.

%\item Probar que el producto de espacios Hausdorff es Hausdorff, y que un
%subespacio de un espacio Hausdorff es Hausdorff.
%
%\item Probar que $X$ es Hausdorff si y sólo si la diagonal $\Delta=\{(x,x): \; x\in X\}$
%es cerrada en $X \times X$.
 
\item \begin{enumerate}
	  \itemsep=1ex
	  \item Sean $x_0 \in X$ e $y_0\in Y$. Probar que las funciones $f:X \to X \times Y$ y $g:Y \to X \times Y$ definidas por $f(x)=(x,y_0)$, $g(y)=(x_0,y)$ son subespacios.
	  \item Sea $X$ un conjunto con una distancia $d:X \times X \to \R$. Probar que la topología inducida por la métrica es la mínima tal que $d$ es continua. \\ Sugerencia: si $d$ es continua, también lo es $d_{x_0}:X \to \R$, $d_{x_0}(x)=d(x,x_0)$.
	  \end{enumerate}


%\item %{\bf Homeomorfismos Locales.}
%\begin{enumerate}
%\itemsep=1ex
%\item Sean $X,Y$ espacios toplógicos, y sea $f:X \to Y$
%continua. Se dice que $f$
%es un homeomorfismo local si se verifica
%alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
%\begin{enumerate}
%\itemsep=.5ex
%\item Para cada $x \in X$, existen $U \subset X$
%y $V \subset Y$, abiertos los dos, tales que $x \in U$, $f(x)\in V$
%y $f|_U:U\to V$ es un homeomorfismo.

%\item Primero: para cada $U \subset X$
%abierto y $\forall \; x \in U$,
%existe $V \subset Y$ abierto tal que 
%$f(x) \in V$ y $V \subset f(U)$.
%Y segundo: para cada $x \in X$
%existe $U \subset X$ abierto tal que 
%$x \in U$ y $f|_U$ es inyectiva.

%\item Primero: $f$ es abierta. Y segundo: si
%$A=\{(x_1,x_2) \in X \times X : \; f(x_1)=f(x_2)\}$
%y $\Delta _f :X \to A$
%es la función definida por $\Delta_f(x)=(x,x)$,
%vale que $\Delta_f$
%es abierta. (El espacio $A$ tiene la topologí a que hereda como subespacio
%de $X \times X$.)
%\end{enumerate} 
%Probar que efectivamente las tres propiedades son equivalentes.

%\item Probar que las siguientes funciones son homemomorfismos locales:
%	  \be
%	  \itemsep=1ex
%	  \item $f: \R \to S^1$, $f(t)=(\cos(2 \pi t),\sin(2 \pi t))$.
%	  \item $f: \Delta ^\ast  \to \Delta ^\ast$,
%	  $f(z)=z^r$, donde $\Delta ^\ast=\{z \in \CC : \; 0<|z|<1\}$ y $r \in \N$.
%	  \en


%\noindent{\bf Topología Producto vs. Topología Caja}

\medskip

\item Sea $\{X_i\}_{i \in I}$ una familia de espacios topológicos, y sea para cada $i\in I$ un subconjunto $A_i \subset X_i$.
Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles falsas si se toma en $X=\prod_{i \in I} X_i$ la topología producto. ¿Y si se toma la topología caja?
	 \be
	 \itemsep=1ex
	 \item Si cada $A_i$ es cerrado en $X_i$ entonces $\prod_{i \in I} A_i$ es cerrado en $X$.
	 \item $\overline {\prod_{i \in I} A_i}=\prod_{i \in I} \overline{A_i}$. 
	 \en



\item Sea $(x_\alpha)_{\alpha\in \Lambda}$ una red de puntos en el espacio topológico $X=\prod_{i \in I} X_i$.
Probar que $x_\alpha\to x$ si y sólo si $p_i(x_\alpha)\to p_i(x)$ para todo $i \in I$.
¿Es cierto ésto si se toma en $X$ la topología caja?
	  
\item Se define en $\R$ la métrica acotada como $\overline d (a,b)=\min\{|a-b|,1\}$. Probar que induce la misma topología que la usual.
Sea $\R^\omega$ el conjunto de las sucesiones de números reales. Se define en $\R^\omega$ la métrica uniforme como ${\overline \rho}((a_n)_{n\in\N},(b_n)_{n\in\N})=\sup_n\{\overline d(a_n,b_n)\}$.
Verificar que la métrica uniforme es efectivamente una métrica.

\item Decidir si las siguientes funciones $\R\to\R^\omega$ son continuas tomando en $\R$ la toplogía usual y tomando en $\R^\omega$ la topología uniforme, la topología producto y la topología caja.
$$f(t)  =  (t,2t,3t,\ldots) \qquad  	g(t)  =  (t,t,t,\ldots) \qquad h(t)  =  (t,\frac 1 2 t,\frac 1 3 t,\ldots)$$

\item  Decidir si las siguientes sucesiones convergen en $\R^\omega$ con las topologías uniforme, producto y caja.
\be
	  	\item $(1,1,1,1,\ldots), (0,2,2,2,\ldots), (0,0,3,3,\ldots),$ ...
	  	\item $(1,1,1,1,\ldots), \left(0,\frac 1 2 ,\frac 1 2,\frac 1 2,\ldots\right), \left(0,0,\frac 1 3,\frac 1 3,\ldots\right),$ ...
	  	\item $(1,0,0,0,\ldots ), (\frac 1 2 ,\frac 1 2,0,0,\ldots), (\frac 1 3,\frac 1 3,\frac 1 3,0,\ldots),$ ...
	  	\item $(1,1,0,0,\ldots), (\frac 1 2 ,\frac 1 2,0,0,\ldots),(\frac 1 3, \frac 1 3,0,0,\ldots),$ ...
\en

\item Calcular la clausura del conjunto de las sucesiones eventualmente cero con respecto a las topologías uniforme, producto y caja.	  
	  


%\item Sea $\{X_i\}_{i \in I}$ una familia de espacios topológicos.
%Sean $Z=\prod_{i \in I} X_i$ y $W=\coprod_{i \in I} X_i$. Notamos $\pi_i: Z \to X_i$ a la proyección $i$-ésima, y $\lambda_i:X_i \to W$ a la inclusión $i$-ésima.
%  \begin{enumerate}
%  \itemsep=1ex
%  \item Probar que $\pi_i$ es abierta.
%  \item Probar que $\lambda_i$ es abierta y cerrada.
%  \end{enumerate}

\item Sea $\{f_i:X \to X_i\}_{i \in I}$ una familia inicial de funciones, y sea $f:X \to \prod X_i$ la función definida por 
$$f(x)=(f_i(x))_{i\in I}$$ 
Sea $Z$ la imagen de $f$. Probar que $f:X \to Z$ es abierta.

\item %Consideremos el espacio de Sierpinski, $S=\{0,1\}$, ${\mathcal T}(S)=\{\}$.
Sea $X$ un espacio topológico, y sea $S=\{0,1\}$ el espacio de {\bf Sierpinski}, cuyos abiertos son $\emptyset,\{1\}$ y $S$.
Probar que $A \subset X$ es abierto si y sólo si la función característica de $A$, $\chi_A:X \to S$, es continua.
Probar que la familia $\{\chi_U\}_{U \in {\mathcal T}_X}$ es una familia inicial para la topología de $X$.
 
\item Probar que si $f:X\to Y$ es inyectiva y final entonces es subespacio.

\item Probar que si $f:X \to Y$ es suryectiva e inicial, entonces es cociente.

\item Sea $f:X \to Y$ una función continua. Probar que si existe $g:Y \to X$ continua tal que $f \circ g= id_Y$,
entonces $f$ es un cociente.
 
\item Sea $p_1:\R \times \R \to \R$ la proyección a la primer coordenada.
  \be
  \itemsep=1ex
  \item Sea $X$ el subespacio ($\{0\}\times \R) \cup (\R \times \{0\})$ de $\R \times \R$, y sea $g=p_1|_X$.
  Mostrar que $g$ es cerrada pero no abierta.
  \item Sea $Y$ el subespacio $(\R_{\geq 0}\times \R) \cup (\R \times \{0\})$ de $\R \times \R$, y sea $h=p_1|_Y$.
  Mostrar que $h$ no es abierta ni cerrada pero es cociente.
 	\en

\item Caracterizar el espacio cociente $\R^2/\sim$ en cada uno de los siguientes casos.
	  \be
	  \itemsep=1ex
	  \item $(x_0,y_0) \sim (x_1,y_1) \Leftrightarrow x_0+y_0^2=x_1+y_1^2$.
	  \item $(x_0,y_0) \sim (x_1,y_1) \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2=x_1^2+y_1^2$.
	  \en

\item Sea $Z$ el subespacio $\R \times \{0\} \cup \{0\} \times \R$ de $\R \times \R$.
Definimos $g: \R \times \R \to Z$ por la fórmula
$$\left\{ \begin{array}{ccl}g((x,y)) & = & (x,0) \text{ si } x \neq 0 \\g((0,y)) & = & (0,y) \end{array}\right.$$ 
   \begin{enumerate}
   \itemsep=1ex
   \item ¿Es $g$ un cociente? ¿Es $g$ continua?
   \item Hallar una base para la topología cociente en $Z$ inducida por $g$.
   \end{enumerate}

%\item Sean $X$ un espacio topológico, $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $p: X \to X/_{\sim}$ la proyección al cociente. Sea $R = \{(x,y)\in X\times X : x\sim y\}$. Probar que:
%	\be
%	\itemsep=1ex
%	\item Si $X/_{\sim}$ es Hausdorff, entonces $R$ es cerrado en $X\times X$.
%	\item Si $p:X\to X/_{\sim}$ es abierta y $R$ es cerrado en $X\times X$, entonces $X/_{\sim}$ es Hausdorff.
%	\item Si $p \times p : X \times X \to X/_\sim \times X /_\sim $ dada por $p\times p(x_1,x_2)=(p(x_1),p(x_2))$ es final y $R$ es cerrado en $X \times X$, entonces $X/_\sim$ es Hausdorff.
%	\en

\item Sea $X=\C\times\{0,1\}$ con la topología producto, $\{0,1\}$ con la topología discreta.
Definimos en $X$ la relación de equivalencia
$$(z,0) \sim (w,1) \Leftrightarrow z.w=1, \; \; (z,j) \sim _2 (w,j) \Leftrightarrow z=w  $$
Se le da a $X/_\sim$ la topología cociente. Probar que $f:X\to S^2 $ definida por
	$$f(x+iy,j)=\begin{cases}	\frac{1}{1+x^2+y^2}(2x,2y,1-x^2-y^2) & \text{ si } j=0\\
														\frac{1}{1+x^2+y^2}(2x,-2y,x^2+y^2-1)& \text{ si } j=1 \end{cases}$$
	induce un homeomorfismo $\overline f: X/_\sim \to S^2$.\\
	{\it Sugerencia: Probar que $\overline f$ es biyectiva; probar la continuidad de la inversa en los abiertos $S^2 \setminus \{P_N\}$, $S^2\setminus \{P_S\}$, donde $P_N$ y $P_S$ son los polos.}

%\medskip
%
%\hrule

%\noindent Sea $X$ un espacio topológico y $G$ un grupo. Decimos que $G$ actúa
%sobre $X$ y que $X$ es un $G$-espacio si existe una función de $G \times X \to X$
%que denotaremos $(g,x) \mapsto g\cdot x$ tal que
%	\begin{enumerate}[i)]
%	\itemsep=1ex
%	\item $e.x=x$ para todo $x \in X$, donde $e \in G$ es la identidad de $G$.
%	\item $g\cdot(h \cdot x)=(gh)\cdot x$ para todo $x \in X$ y todo $g,h \in G$.
%	\item Para todo $g \in G$ la función $\theta_g:X \to X$ definida por
%	$\theta_g(x)=g \cdot x$ es continua.
%	\end{enumerate}
%	
%\bigskip

\item Sea $G$ un grupo. Un {\bf $G$-espacio} es un espacio topológico $X$ junto con una acción $G\times X\to X$ tal que $x\mapsto g\cdot x$ es continua para todo $g$.
Probar que los siguientes espacios topológicos son $G$-espacios.
	\begin{enumerate}	\itemsep=1ex
	\item $X=\R$, $G=\Z$ y la acción es $n\cdot x=n+x$.
	\item $X=\R^2$, $G=\Z \times \Z$ y la acción es $(n,m)\cdot (x,y)=(n+x,m+y)$.
	\item $X=S^n$, $G=\Z_2=\{\pm 1\}$ y la acción es $\pm 1 \cdot x = \pm x$.
	\item $X=\{(x,y) \in \R^2:\frac{-1}{2} \leq  y \leq \frac{1}{2}\}$, $G=\Z$ y la acción es $m \cdot (x,y)= (m+x,(-1)^m y )$.
	\end{enumerate}
	  
\item Si $X$ es un $G$-espacio, podemos definir en $X$ la relación de equivalencia
$$x \sim y \iff  \; \exists \;  g \in X \text{ tal que } y=g\cdot x.$$
El espacio de cociente resultante lo notamos con $X/G$, y consideramos en él la topología cociente. 
Probar que la proyección al cociente $p:X \to X/G$ es abierta, y que si $G$ es finito, entonces $p$ también es cerrada.


\item
	\begin{enumerate}
  \item Probar que el espacio cociente $\R/\Z$ (ejercicio 31, a) es homeomorfo a $S^1$.
  \item Probar que el espacio cociente $\R^2/\Z\times \Z$ (ejercicio 31, b) es homeomorfo al toro $S^1 \times S^1$.
  \item El espacio cociente $S^n/\Z_2$ (ejercicio 31, c) se nota $\P^n(\R)$, y se llama el espacio proyectivo real de dimensión $n$.
  \item Probar que el espacio cociente $X / \Z$ (ejercicio 31, d) es homeomorfo a la banda de M\"obius. (Recordar que la banda de M\"obius se define como el cociente 
   de $[0,1] \times [0,1]$ por la relación que identifica $(0,y)$ con $(1,1-y)$, 
   $y \in [0,1]$.) 
   \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}