Temas de final

A continuación se proponen algunos temas para proyecto final. No es necesario realizar las implementaciones para resolver problemas con total generalidad, sino limitarlas a que resuelvan algunos problemas concretos a definir.

1) Mínimas desviaciones absolutas

Las Mínimas desviaciones absolutas (LAD, por sus siglas en inglés), también conocidas como Mínimos Errores Absolutos (LAE), es una técnica de optimización técnica similar a los de mínimos cuadrados ordinarios que intenta encontrar una función que se aproxima a un conjunto de datos. 

La diferencia con mínimos cuadrados es que en vez de minimizar la norma 2 se minimiza la norma 1. 

Aunque la idea de una regresión de mínimos desviaciones absoluta es tan sencilla como la de regresión de mínimos cuadrados, la solución que minimiza la norma 1 no es tan fácil de calcular de manera eficiente. A diferencia de regresión de mínimos cuadrados, no tiene un método de solución analítica. Por lo tanto, se requiere un enfoque iterativo.

El trabajo consiste en estudiar e implementar algún método de minimización de norma 1, aplicarlo a ejemplos de la práctica de la materia y comparar las soluciones con las soluciones de mínimos cuadrados.

2) Mínimos cuadrados no lineal

Vimos en la materia como hallar x que minimice la norma 2 de Ax - b, o equivalentemente hallar coeficientes (a1, ..., an) tales que a1 x1 + ... + an xn aproxime a b en el sentido de mínimos cuadrados. Qué pasa si algunos coeficientes aparecen en forma no-lineal, por ejemplo a1 * sen (b1 * x1) + a2 * sen (b2 * x2) + a3 * sen (b3 * x3). En este caso, el vector (a1, b1, a2, b2, a3, b3) que minimiza el error cuadrático se puede hallar por métodos de minimización en varias variables (similares al método de Newton que vimos para resolver ecuaciones de una variable). Por ejemplo, un método clásico es el método del descenso por gradiente.

Estudiar e implementar el método del descenso por gradiente y utilizarlo para resolver el problema de minimización mencionado.

3) Ray-tracing

https://en.wikipedia.org/wiki/Ray_tracing_(graphics)

Ray-tracing es en método utilizado para realizar gráficas tridimensionales. Se determinan las superficies visibles en la escena que se quiere sintetizar trazando rayos desde el observador (cámara) hasta la escena a través del plano de la imagen. Se calculan las intersecciones del rayo con los diferentes objetos de la escena y aquella intersección que esté más cerca del observador determina cuál es el objeto visible. Esto requiere resolver muchas ecuaciones no lineales de una variable, para lo que se puede utilizar los métodos vistos en clase.

Implementar un graficador por ray-tracing. En este caso generar imágenes de calidad es muy difícil, se pueden realizar todas las simplificaciones que sean necesarias, reduciendo la calidad, definición, ... y hacerlo para una o dos funciones pre-establecidas.

4) Mínimos cuadrados regularizados

¿Cómo seleccionar el parámetro de regularización "óptimo"?

https://es.wikipedia.org/wiki/Regularizaci%C3%B3n_de_T%C3%ADjonov

5) Algoritmo de Strassen para multiplicación rápida de matrices

https://en.wikipedia.org/wiki/Strassen_algorithm

Estudiar e implementar el algoritmo, y comparar con el algoritmo clásico.

6) Affine scaling

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_scaling

Estudiar e implementar este método para resolución de problemas de programación lineal.

7) Algoritmo de Parker para inversión rápida de matrices de Vandermonde
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0885064X97904428