Programa

1. Espacios vectoriales. Espacios vectoriales y subespacios. Sistemas de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Suma de subespacios. Teorema de la dimensión de la suma. Suma directa.

2. Matrices. Espacios de matrices. Operaciones con matrices. Matrices inversibles. Cálculo de la inversa. Matrices elementales como generadores de GL(n,K). Coordenadas y matrices de cambio de base.

3. Transformaciones lineales. Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo. Teorema de la dimensión para transformaciones lineales. Proyectores y nilpotentes. Matriz de una transformación lineal. Rango de una matriz.  Equivalencia y semejanza de matrices.

4. Espacio dual. Espacio dual. Base dual. Anulador. Dimensión del espacio anulador. Ecuaciones para un subespacio en una base. Cambios de bases duales a partir de las bases originales. Anulador de la suma y de la intersección de subespacios. Función transpuesta.

5. Determinante. Funciones multilineales alternadas por columnas definidas en matrices cuadradas. Existencia y unicidad fijando el valor en la identidad. Definición del determinante como la única función multilineal alternada que vale 1 en la identidad. Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Efectos de la triangulación sobre el determinante. Determinante del producto de matrices. Criterio del determinante para decidir invertibilidad de matrices. Matriz adjunta. Regla de Cramer. Cálculo del rango de una matriz a partir de determinantes de submatrices. Fórmula del determinante usando permutaciones.

6. Diagonalización. Autovalores y autovectores. Polinomio característico de una matriz cuadrada. Diagonalización de matrices. Polinomio minimal. Teorema de Hamilton-Cayley. Criterios de diagonalización basados en el polinomio característico y en el minimal. Subespacios invariantes.

7. Forma de Jordan. Forma de Jordan para endomorfismos nilpotentes. Semejanza de matrices nilpotentes en C^nxn. Forma de Jordan general en C^nxn. Criterios para establecer semejanza de matrices en C^nxn. Potencias de una matriz en C^nxn.

8. Espacios vectoriales con producto interno. Espacios con producto interno. Matriz de un producto interno en una base. Ortogonalidad y ortonormalidad. Método de Gram-Schmidt. Proyecciones ortogonales. Distancia y ángulo. Adjunta de una transformación lineal. Transformaciones autoadjuntas, unitarias y ortogonales. Diagonalización de transformaciones autoadjuntas. Clasificación de transformaciones ortogonales en Rⁿ. Isometrías.

9. Variedades lineales. Variedad lineal. Dimensión de una variedad lineal. Ecuaciones implícitas. Variedades paralelas y alabeadas. Distancia entre variedades lineales.

10. Formas bilineales simétricas. Formas bilineales simétricas. Matriz de una forma bilineal. Clasificación de formas bilineales simétricas reales.

Bibliografía

§  Álgebra lineal, K. Hoffman y R. Kunze, Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1973.

§  Álgebra lineal, G. Jerónimo, J. Sabia, S. Tesauri, Fascículo 2 - Cursos de Grado, Departamento de Matemática, FCEN - UBA, 2008. http://cms.dm.uba.ar/depto/public/fascgrad2.pdf

§  Algebra linear, E. Lages Lima, R. de J. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. CNPq. 1998.

§  Linear Algebra, S. Lang, 3rd. ed. Undergraduate texts in mathematics, Springer, New York, 1987.

§  Álgebra lineal y geometría, A. Larotonda, 2da. ed., Eudeba, Buenos Aires, 1977.

§  Álgebra lineal, S. Lipschutz, 2da. ed. McGraw-Hill, 1992.