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\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado{8}{Convergencia Uniforme}
\noindent\hrule


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Hallar el l\'{\i}mite puntual de la sucesi\'on $(f_n)_{n\in \N} $ definida 
sobre $A\subseteq \R$.
\begin{enumerate}
\item $f_n(x)=\ x^n,\ \ \ A=(-1,1] $.
\item $f_n(x)=\ \frac{e^x}{x^n},\ \ \ A=(1,+\infty) $.
\item $f_n(x)=\ n^2x(1-x^2)^n,\ \ \ A=[0,1] $.
\end{enumerate}
\item[ii)] Para a) demostrar que la convergencia es uniforme en $A=(0,1/2]$, idem en b) con \linebreak $A=[2,5]$. ?`Es uniforme la convergencia de c) en $A$ o en alg\'un sub-intervalo de $A$?
\end{enumerate}


\ejer Analizar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de \linebreak funciones:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\displaystyle f_n(x)=\frac{\sin\ nx}{n},\ x\ \in \R $.
\item[ii)] $\displaystyle f_n(x)={\rm sen} \left( \frac{x}{n} \right),\ x\ \in \R $.
\item[iii)] $\displaystyle f_n(z)=\frac{n}{n+1} z,\ z\ \in \C$.
\item[iv)] $\displaystyle f_n(z)=nz^2,\ z \ \in\C$.
\item[v)] $\displaystyle f_n(z)=z^n,$ definidas en $\{z\in\C\,|\,|z|<1\}$ y en $[0,1]\subset\R$.
\end{enumerate}


%\ejer Probar que cualquier sucesi\'on de funciones acotadas uniformemente convergente, est\'a uniformemente acotada.
\ejer Sea $X$ un conjunto y sea $B(X)$ el conjunto de las funciones
$X\to\C$ que son acotadas. Sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesi\'on en~$B(X)$.
\begin{enumerate}

\item[i)] Si $(f_n)_{n\geq1}$ converge puntualmente a una funci\'on $f:X\to\C$,
>es cierto que $f\in B(X)$?

\item[ii)] Probar que si $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniforme a $f:X\to\C$, entonces $f\in
B(X)$.

\item[iii)] Probar que la sucesi\'on $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a una funci\'on
acotada $f:X\to\C$ si y s\'olo si $(f_n)_{n\geq1}$ converge a $f$ en $(B(X),d_\infty)$.

\item[iv)] Probar que si $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente en $X$, entonces existe
$M>0$ tal que $|f_n(x)|\leq M$ para todo $x\in X$ y todo $n\in\N$. En
otras palabras, la sucesi\'on $(f_n)_{n\geq1}$ es \emph{uniformemente
acotada}.

\end{enumerate}

\ejer Dada $\displaystyle f_n(x)=\frac{x}{1+x^2} - \frac{(x^2+1)x}{1+(n+1)^2 x^2}$ , probar que $(f_n)_{n \geq 1}$
 converge puntualmente pero no uniformemente a una funci\'on continua.

\ejer Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Si $(f_n):X\to \R$ y $(g_n) \subset:X\to \R $ convergen uniformemente 
en $E \subset X$,  probar que $(f_n+g_n)$ converge uniformemente  en $E$. Si adem\'as $(f_n)$ y  $(g_n)$ son 
uniformemente acotadas, entonces $(f_ng_n)$ es uniformemente convergente. Mostrar con un ejemplo que esta \'ultima restricci\'on es necesaria.

\eject

\ejer 
\begin{enumerate}
\item[i)]  Sea $(f_n)_{n \in \N}$ una sucesi\'on de funciones con $f_n:\R \longrightarrow \R$, cada una de ellas 
derivable, que converge uniformemente a una funci\'on $f:\R \longrightarrow \R$ y $f'_n $ converge 
uniformemente a una funci\'on $g:\R \longrightarrow \R$. Probar que $f$ es derivable y que $f'=g$.
\item[ii)] Sea $\sum_{k=0}^\infty  f_n(x) $ una serie de funciones. ?`Con qu\'e hip\'otesis es 
leg\'{\i}timo derivarla t\'ermino a t\'ermino ?
\item[iii)] Probar que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac { \hbox{sen} (nx)} {n^2 } $$converge 
uniformemente en $\R$, pero que esto no ocurre para la serie obtenida derivando t\'ermino a t\'ermino.
\end{enumerate} 


\ejer Hallar (y justificar) los conjuntos en $\R$ de convergencia puntual, uniforme y no convergencia 
de las siguientes series:\\$\hspace{10pt} \displaystyle i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}x^n \hspace{10pt}; 
\qquad ii)\sum_{n=0}^{\infty} a^nx^n  \hspace{10pt}; \qquad iii) \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!} \hspace{10pt}; 
\qquad iv) \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$. \\ \qquad 
?`Qu\'e ocurre con la serie que se obtiene derivando t\'ermino a t\'ermino?


\ejer Consideramos la funci\'on dada por la serie:$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$$ 
Probar que la serie converge uniformemente en cada intervalo $(1+\varepsilon,\infty)$ hacia una funci\'on continua, 
y que es posible derivarla t\'ermino a t\'ermino en dicho intervalo. 


\ejer (Teorema de Dini) Sea $K$ compacto y $(f_n)_{n\in \N}\subset C(K)$ que converge puntualmente a $f\in C(K)$. Para cada $x\in K$ se tiene $f_n(x) \geq f_{n+1}(x)$. Probar que $f_n$ converge uniformemente en $K$.

\ejer Sea $X$ un espacio m\'etrico compacto, sea $(f_n)_{n\geq1}$ una
sucesi\'on de funciones continuas $X\to\R$ y sea $f:X\to\R$ una funci\'on
continua. Entonces $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a~$f$ si y s\'olo si para
toda sucesi\'on $(x_n)_{n\geq1}$ en~$X$ que converge la sucesi\'on
$(f_n(x))_{n\geq1}$ converge en~$\R$ a $f(\lim_{n\to\infty}x_n)$.

\ejer
Sean $f_n$ continuas en $[0,1]$ tales que $f_n\ ^{\longrightarrow}_{\longrightarrow} f$. %%@
Decidir si vale la siguiente afirmaci\'on: 

$$\int_0^{1- \frac{1}{n}}f_n (x) dx\dps{\to_{n \to \infty}} \int_0^1 f(x)dx.$$

\eject

\ejer Sean $X$ e $Y$ espacios m\'etricos. Una familia $\F$ de funciones $X\to
Y$ es \emph{equicontinua} en~$x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe
$\delta>0$ tal que
  \[
  d(x,x_0)<\delta \implies \forall f\in\F, \; d(f(x),f(x_0))<\epsilon.
  \]
\begin{enumerate}

\item[i)] Cualquier familia finita de funciones $X\to Y$ continuas en~$x_0\in
X$ es equicontinua en~$x_0$.

\item[ii)] Sea $B(X,Y)$ el conjunto de todas las funciones $X\to Y$ que son acotadas.
Si $\F\subseteq B(X,Y)$ es una familia equicontinua, entonces $\overline\F$
tambi\'en es equicontinua.

\end{enumerate}
Supongamos desde ahora que $X$ es compacto.

\begin{enumerate}

\item[iii)] Si $\F$ es una familia equicontinua de funciones $X\to Y$, entonces
$\F$ es uniformemente equicontinua.

\item[iv)] Si $(f_n)_{n\geq1}$ es una sucesi\'on de funciones continuas $X\to Y$
que converge uniformemente en~$X$, entonces $\{f_n:n\geq1\}$ es una familia
equicontinua.

\item[v)] Si $(f_n)_{n\geq1}$ es una sucesi\'on de funciones $X\to Y$
uniformemente equicontinua que converge puntualmente
a~$f:X\to Y$, entonces esa convergencia es uniformemente
en~$X$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\ejer Sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesi\'on de funciones $[a,b]\to\R$
integrables y uniformemente acotadas y para cada $n\geq1$ sea
$F_n:[a,b]\to\R$ tal que
  \[
  F_n(x) = \int_a^xf_n(\xi)\,d\xi
  \]
para cada $x\in[a,b]$. Entonces la sucesi\'on $(F_n)_{n\geq1}$ posee una
subsucesi\'on que converge uniformemente sobre $[a,b]$.



\end{document}