File contents

\documentclass[a4paper,oneside,fleqn]{article}
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\newcommand\Sym{\mathbb{S}}
\newcommand\Alt{\mathbb{A}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\DD{\mathbb{D}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\renewcommand\epsilon\varepsilon
\newcommand\dlim{\lim\limits}
\newcommand{\sen}{\mbox{sen}}

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\setlength{\oddsidemargin}{.5cm} \setlength{\evensidemargin}{.5cm}
\setlength{\textheight}{23.5cm}
%\parindent 0cm

\begin{document}
{
\noindent{{\scriptsize\sc \'Algebra II}}
\hfill{{\scriptsize\sc 
Primer Cuatrimestre de 2020}}
\begin{center}
\large\sc{Pr\'actica 1 }
\end{center}
\noindent\hrule 
\bigskip

\bigskip
}  


\begin{enumerate}
\item  Sea $n \in \NN$ y sea $G_n=\{z\in \CC \mid z^n=1\}.$
    \begin{enumerate}
    \item  Probar que $(G_n\, ,\, \cdot )$ es un grupo abeliano y hallar $z^{-1}$
    para cada $z\in\, G_n.$
    \item  Probar que $G_n$ es c\'\i clico, es decir, que existe $w\in\, G_n$ que
    satisface: $\forall\, z\in\, G_n$ $\exists\, k\in\, \ZZ$ tal que $z=w^k.$
    \end{enumerate}

\item Sea $S^1=\{z\in\, \CC\,: |z|=1\}.$
    \begin{enumerate}
    \item Probar que $(S^1,\,\cdot)$ es un grupo abeliano y hallar $z^{-1}$ para
    cada $z\in\, S^1.$
    \item  Determinar si $S^1$ es c\'\i clico.
    \end{enumerate}

\item  En cada uno de los siguientes casos determinar si $(G,*)$ es un grupo y,
en caso afirmativo, determinar si es abeliano:
    \begin{enumerate}
%    \item  $G=\NN_0$ \qquad $a* b=[a,b]$ (m\'inimo com\'un m\'ultiplo).
    \item  $G=\QQ_{>0}$\qquad $a* b=a\cdot b$.
    \item  $G=M_3(\ZZ)$\qquad $a* b=a\cdot b$.
    \item  $G=M_n(\RR)$\qquad $a* b=a+b$.
    \item  $G=SL_n(\RR)=\{a\in\, M_n(\RR)\, \mid det\ a=1\}$
    \qquad $a* b= a\cdot b.$
    \item  $G=End_K(V)$, con $V$ un $K$-espacio vectorial\qquad $f* g=f\circ g.$
    \item  $G=\{ f\in\, End_{\RR}(\RR ^n)\, \mid d(f(x), f(y))=d(x,y) \ \forall\,
    x,y\in\, \RR^n \}$\\ $f* g=f\circ g.$
    \item  $G=\Sym(X)=\{ f:X\longrightarrow X\, \mid f \hbox{ es biyectiva}\}$, donde
    $X$ es un conjunto no vac\'\i o y $f* g= f\circ g.$

    {\bf Notaci\' on:} Cuando $X=\{ 1,\dots ,n\}$, $\Sym(X)$ ser\' a notado $\Sym_n$.
    \item  $G=\Sym(\ZZ)$\qquad $f* g=f\circ g^{-1}.$
%    \item  $G=\ZZ_2\times \ZZ_2$\qquad $(a,b)* (c,d)= (r_2(a+c),r_2(b+d)).$
%    \item  $G={\cal U}_n=\{ a\in\, \ZZ_n\, /\, (a,n)=1\}$\qquad $a* b=r_n(a\cdot b).$
    \end{enumerate}

\item  Probar que todos los grupos de 4 elementos son abelianos.

(Sugerencia: hacer todas las posibles tablas de operaciones).

\item Dado $n \in \NN$, sea,
\begin{align*}
{\cal U}_n := \left\{ k \in \NN: k \leq n, (k:n)=1 \right\}.
\end{align*}
Probar que ${\cal U}_n$, considerado con el producto de n\'umero enteros
m\'odulo $n$ como operaci\'on, es un grupo.

\item Sea $G$ un grupo. Sea $(G^{\text{op}},\cdot)$ tal que $G^{\text{op}}=G$
como conjunto, y el 
    producto est\'a dado por $g\cdot h=hg$. Mostrar que $G^{\text{op}}$ es un
grupo. Llamamos a $G^{\text{op}}$ 
    el \emph{grupo opuesto de $G$}.
\item Sean $G$ y $H$ dos grupos. Consideremos la operaci\'on $\cdot$ sobre el conjunto 
    $K=G\times H$ dada por $(g_1,h_1)\cdot (g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)$. Mostrar que $K$ es un grupo.
    Llamamos a $K$ el \emph{producto directo de $G$ y $H$} y lo notamos $G\times H$.
\item
    \begin{enumerate}
    \item Sea $G=\{g_1,\dots,g_n\}$ un grupo abeliano finito. Probar que
    \[
    \sum_{i=1}^n g_i = \sum_{g \in G : \; 2g=0} g.
    \]
    \item Calcular $\displaystyle \sum_{a \in \ZZ_n} a$.
    \item Calcular $\displaystyle \prod_{w \in G_n} w$.
    \end{enumerate}

\item Sea $(G,\ast)$ un grupo finito y sea $S \subset G$ un subconjunto no vac\'io.
Probar que $S$ es un subgrupo si y s\'olo si $xy \in S, \forall x,y \in S$.

%\item  En cada uno de los siguientes casos, probar que $H$ es un subgrupo de
%$(G,* )$:
%    \begin{enumerate}
%    \item  $G=\CC\, {}^{*}$\qquad $* = \cdot$\qquad $H= S^1.$
%    \item  $G=D_4$\qquad $*=\circ$\qquad $H=\{ 1, \,\rho, \,\rho^2, \, \rho^3\}.$
%    \item  $G=GL_n(\CC)$\qquad $* = \cdot$\qquad $H={\cal H}$ donde
%    \[
%    { {\cal H}= \left\{\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 1&0\\
%    0&1 \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} i&0\\
%    0&-i \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 0&1\\
%    -1&0 \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 0&i\\
%    i&0 \end{array}\right)
%    \right\}.}
%    \]
%    \item  $G=S^1$\qquad $* = \cdot$\qquad $H=G_n.$
%    \item  $G=\ZZ_{2n}$\qquad $a* b=r_{{}_{2n}}(a+b)$\qquad
%    $H=\{a\in \, G\, /\, a
%    \hbox{ es par}\}.$
%    \item  $G=GL_n(\RR)$\qquad $* = \cdot$\qquad $H=SL_n(\RR).$
%    \item  $G=D_6$ \qquad $* = \circ$ \qquad $H=\{1,\sigma,\rho^3,\sigma \circ \rho^3\}$.
%    \end{enumerate}


\item Sea $G$ un grupo y sean $H_1$ y $H_2$ dos subgrupos de $G$.
    \begin{enumerate}
    \item  Probar que $H_1\cap H_2$ es un subgrupo.
    \item  Probar que $H_1\cup H_2$ es un subgrupo si y s\'olo si
    $H_1\subset H_2$
    o $H_2\subset H_1$.
    \item  ?`Es cierto que si $H_1 \cup H_2 \cup H_3$ es un subgrupo de $G$, entonces
    $\exists i,j$ con $i \neq j$ tal que $H_i \subset H_j$?
    \end{enumerate}

\item Hallar todos los subgrupos c\' \i clicos de: $\ZZ_2$, $\ZZ_5$, $\ZZ_6$,
$\Sym_3$, $\ZZ_2\oplus \ZZ_2$ y $\ZZ_2\oplus \ZZ_3$.

\item Probar que 
    \[
    { {\cal H}= \left\{\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 1&0\\
    0&1 \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} i&0\\
    0&-i \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 0&1\\
    -1&0 \end{array}\right),\,\pm\left(\begin{array}[c] {cc} 0&i\\
    i&0 \end{array}\right)
    \right\}}
    \]
es un subgrupo de $GL_2(\CC)$.

\item    Sean $G$ un grupo y  $a\in G$. Probar que $C_G(a)=\{x\in G;\ xa=ax\}$
es un subgrupo de $G$.

\item  Probar que si $H$ es un subgrupo de $\ZZ$ entonces existe $n\in\,\NN_0$
tal que $H=n\cdot \ZZ.$

\item  Probar que si $H$ es un subgrupo finito de $\CC^\times$ entonces
existe $n\in\,\NN_0$ tal que $H=G_n.$

\item Dado $n \in \NN$, sean $r \in GL_2(\RR)$ la matriz que representa la
rotaci\'on en sentido antihorario de \'angulo $2 \pi/n$ y $s$ la simetr\'ia
alrededor del eje $x$. Llamamos \emph{$n$-grupo Diedral} al subgrupo de
$GL_2(\RR)$ que generan $r$ y $s$ y lo denotamos con $\DD_n$. Calcular el
orden de $\DD_n$.

\item  Hallar $ord(x)$ en los casos:
    \begin{enumerate}
    \item $G=\Sym_8$ \qquad $x=(1\ 2)(5\ 6\ 7)$ \qquad ; \qquad $x=(1\ 2\ 3\ 5)(1\ 3\ 7\ 8)$.
    \item  $G=\ZZ_{12}$ \qquad $x=2$ \qquad ; \qquad $x=3$
    \qquad ; \qquad   $x=4.$
    \item $G={\cal H}$ \qquad $x=\left( \begin{array}[c]{cc} i&0\\0&-i
    \end{array}\right)$.
    \item  $G=S^1$ \qquad $x=\cos (\frac{2\pi}{n})+ i\; \sen(\frac{2\pi}{n})$.
    \item  $G=\DD_4$ \qquad $x=r^2s$\qquad;\qquad $x=r^3$.
    \item $G$ un grupo cualquiera y $x=a^d$,  donde $a\in\, G$ es un elemento de
    orden $n$ y $d$ es un n\'umero natural.
    \end{enumerate}

\item  Sea $x\in \ZZ_n $. Probar que $ord(x)=n$ si y s\'olo si $(x,n)=1$.

\item
    \begin{enumerate}
    \item Calcular el orden de todos los elementos de $\Sym_3$.
    \item  Sea $\sigma=(1\, 3\, 2)$, encontrar el subgrupo
        $C_{\mathbb{S}_3}({\sigma})= \{r\in \mathbb{S}_3\mid r\sigma =\sigma r\}$.
    \item  Hallar, si existe, un $\sigma\in \Sym_3$ tal que el subgrupo
        $C_{\Sym_3}(\sigma)$ tenga orden 1, 2, 3, 6.
    \end{enumerate}

\item Probar que si $G_1$ y $G_2$ son grupos y $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$
son elementos de orden finito, entonces el orden de
$(g_1,g_2)$ en $G_1\times G_2$ es el m\'\i nimo com\'un m\'ultiplo entre
los \' ordenes de $g_1$ y $g_2$.

\item  Sea $p$ un n\'umero primo, $m\in \NN$ y sea $G$ un grupo de orden $p^m
$. Probar que existe un elemento de orden $p$ en $G$.

\item  Sean $(G,\cdot)$ un grupo y $a,b\in G$
    \begin{enumerate}
    \item  Probar que las siguientes aplicaciones de $G$ en $G$ son biyectivas y
    encontrar sus inversas
        \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
        \item  $x\mapsto a\cdot x$
        \item  $x\mapsto a\cdot x\cdot b$
        \item $x\mapsto a\cdot x\cdot a^{-1}$
        \item  $x\mapsto x^{-1}$
        \item $x\mapsto a\cdot x^{-1}\cdot a^{-1}$
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
    \item  Determinar cu\' ales de estas aplicaciones  son morfismos.
    \item  Idem en el caso en que $G$ sea abeliano.
    \end{enumerate}

\item  Dados los grupos:
\[
\begin{array}[c]{ccccccc} \ZZ_2\oplus\ZZ_2\oplus\ZZ_2 &\qquad
&\ZZ_2\oplus\ZZ_4 &\qquad &\ZZ_2\oplus G_4
 &\qquad &\ZZ_8\\
\ &\ &\ &\ &\ &\ &\ \\
 \DD_4 &\qquad  &G_8 &\qquad &{\cal H} &\qquad
&{\cal K}
\end{array}
\]
donde ${\cal K}=\{\pm 1,\, \pm i,\, \pm j,\, \pm k\}$,
$\abs {\cal K} = 8$, $i^2=j^2=k^2=-1$, $i\cdot j=k=-j\cdot i$ y
$(-1)x=-x, \quad x\in \{-1,i,j,k\}$.

Decidir cu\'ales son abelianos, cu\'ales son c\'\i clicos y
cu\'ales son isomorfos entre s\'\i .

\medskip

\noindent {\bf Definici\'on} : Notamos con $\Alt_n$ al subgrupo de $\Sym_n$
formado por las permutaciones pares (es decir, con signo 1).

\medskip

\item  Determinar si $G$ y $K$ son isomorfos en los casos:
%   \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $G=\ZZ_4$ \qquad $K=\ZZ_2\oplus\ZZ_2$.
    \item $G=\ZZ_n$ \qquad $K=G_n$.
    \item $G=\ZZ_{10}$ \qquad $K=\ZZ_2\oplus\ZZ_5$.
    \item $G=\QQ$ \qquad $K=\RR$.
    \item $G={\cal U}_{16}$ \qquad $K={\cal H}$.
    \item $G={\cal U}_{16}$ \qquad $K=\ZZ_2\oplus\ZZ_4$.
    \item $G=\Sym_3$ \qquad $K=\DD_3$.
    \item $G=\Alt_4$ \qquad $K=\DD_6$.
    \end{enumerate}
%   \end{multicols}

\item  Sea $f:G\longrightarrow G$ un morfismo de grupos. Probar que $ord(f(x))$
divide a $ord(x)$ si $ord(x)$ es finito.

\item  Sea $f:G\longrightarrow L$ un epimorfismo. Decidir para cu\'ales $P_i$
vale:

``$G$ verifica $P_i\Rightarrow L$ verifica $P_i$"
    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item[$(P_1)$] tener $n$ elementos.
    \item[$(P_2)$] ser finito.
    \item[$(P_3)$] ser conmutativo.
    \item[$(P_4)$] ser no conmutativo.
    \item[$(P_5)$] ser c\'{\i}clico.
    \item[$(P_6)$] todo elemento tiene orden finito.
    \item[$(P_7)$] todo elemento tiene orden infinito.
    \end{enumerate}
    \end{multicols}

\item  Sea $f:G\longrightarrow L$ un monomorfismo. Decidir para cu\' ales $P_i$
del ejercicio anterior vale: ``$L$ verifica $P_i\Rightarrow G$ verifica $P_i$".

\item
    \begin{enumerate}
    \item Probar que $Aut(\ZZ)\simeq G_2$.
    \item  Hallar $Hom(G_n\, ,\, \ZZ)$.
    \item  Hallar $Hom(G\, ,\, \ZZ)$ para $G$ un grupo de orden finito.
    \end{enumerate}


\item  Sea $G=\left\{\left(\begin{array}[c]{cc} 1&b\\ 0&a \end{array}\right)\,
/\, a,b\in\, \ZZ_7, \hbox{ con } a\ne 0 \right\}.$
    \begin{enumerate}
    \item  Hallar el orden de $G$.
    \item  Para cada primo $p$ que divide al orden de $G$ hallar todos los
    elementos de $G$ que tengan orden $p$.
    \end{enumerate}

\item Sea $p$ un n\'umero primo mayor que $2$. Se considera el conjunto
\[
G=\left\{\left(\begin{smallmatrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)
: \; a,b,c \in \ZZ_p \right\}
\]
Probar que $G$ es un grupo no abeliano tal que todo elemento distinto de la identidad
tiene orden $p$. ?`Qu\'e pasa si $p=2$?

%\pagebreak[2]

\item
    \begin{enumerate}
    \item Sean $a,b \in \ZZ$. Probar que $\{a,b\}$ es un sistema de generadores de $\ZZ$
    si y s\'olo si $(a,b)=1$.
    \item Probar que $\ZZ$ tiene sistemas de generadores minimales de $n$ elementos $\forall n \in \NN$.
    \end{enumerate}


\item  Sea $G=M_2(\ZZ_2)$. Hallar $|G|$ y encontrar subgrupos de $G$ de orden 2, 4, 8.

\item
    \begin{enumerate}
    \item Probar que son equivalentes:
        \begin{enumerate}
        \item $G$ es abeliano.
        \item La aplicaci\' on $f:G\longrightarrow G$ definida por
        $f(x)=x^{-1}$ es un morfismo de grupos.
        \item La aplicaci\' on $f:G\longrightarrow G$ definida por
        $f(x)=x^2$ es un morfismo de grupos.
        \end{enumerate}
    \item  Probar que si $x^2=1$ para todo $x\in\, G$ entonces $G$ es abeliano.
    \end{enumerate}

\item  Probar que
    \begin{enumerate}
    \item $Hom(\ZZ\, ,\, \ZZ_n)\ne 0.$
    \item $Hom(\ZZ_5\, ,\, \ZZ_7)=0.$
    \item  $Hom(\QQ\, ,\, \ZZ)=0.$
    \item  No existe un epimorfismo de $\ZZ$ en $\ZZ\oplus\ZZ.$
    \end{enumerate}

\item  Hallar dos grupos $G$ y $K$ no isomorfos tales que $Aut(G)\simeq
Aut(K)$.

\item  Sea $G=\left\{\left(\begin{array}[c]{cc} 1&b\\0&a \end{array}\right)
\, /\, a,b\in\, \ZZ_4, \hbox{ con } (a,4)=1\right\}$. Probar que $G$
es un grupo no abeliano de orden $8$. ?`Es $G\simeq {\cal H}$? ?`Es
$G\simeq \DD_4$?

%\item
%    \begin{enumerate}
%    \item Hallar todos los $n \in \NN$ tales que ${\mathcal U}_n \simeq \ZZ_4$.
%    \item Hallar todos los $n \in \NN$ tales que ${\mathcal U}_n \simeq \ZZ_2 \oplus \ZZ_4$.
%    \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}


para la practica 2

\item Hallar $Z(G)$ (el centro de $G$) en cada uno de los siguientes casos:
    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $G=\DD_n$
    \item $G=\Sym_4$
    \item $G=\left\{\left( \begin{smallmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)
    : \; a,b,c \in \ZZ_3 \right\}$
    \item $G=\mathcal H$
    \item $GL_n(\RR)$
    \item $SL_n(\RR)$
    \end{enumerate}
\end{multicols}