Geometría Diferencial - programa y bibliografía
primer cuatrimestre de 2013
Programa
Primera Parte
- Variedades topológicas, coordenadas, variedades topológicas con borde. Atlas y estructuras diferenciables, variedades diferenciables. Funciones diferenciables, difeomorfismos entre variedades, rango de una función diferenciable, inmersiones y embeddings. Subvariedades inmersas y regulares.
- Derivaciones y gérmenes de funciones. Espacio tangente. Diferencial de funciones y campos diferenciables. Fibrados vectoriales.
- Valores regulares y el teorema de Sard. Transversalidad e Intersección modulo 2.
- Grupos de Lie y álgebras de Lie. Acción de un grupo de Lie sobre una variedad. Acciones libres y propiamente discontinuas. Revestimientos de variedades.
- Formas diferenciales y diferencial exterior. Orientabilidad y forma de volumen.
Segunda Parte
- Integración. Orientación en variedades con borde. Teorema de Stokes.
- Introducción a variedades riemannianas. Integración en variedades riemannianas.
- Cohomología de de Rham. Complejo de de Rham. Cálculos básicos de cohomología. Mayer-Vietoris. Cohomología con soporte compacto. Dualidad de Poincaré y aplicaciones.
- Geometría Riemanniana: Derivación Covariante. Transporte paralelo. Conexiones. Conexión de Levi Civita. Geodésicas. Existencia de geodésicas. Función exponencial y entornos normales.
Bibliografía
- An introduction to differentiable manifolds and riemannian geometry. W. Boothby.
- Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. F. Warner.
- Geometría Riemanniana. M. P. do Carmo.
- Curso de Análise 2. E. Lages Lima.
- Introduçao as variedades diferenciáveis. E. Lages Lima.
- Differential forms in algebraic topology. R. Bott, L. Tu.
- Topology from the differentiable viewpoint. J. W. Milnor.
- Differential Topology. V. Guillemin, A. Pollack.
- Lectures on Differential Geometry. S. Sternberg.
- Introduction to topological manifolds. J. M. Lee.
- From calculus to cohomology. I. H. Madsen, J. Tornehave.
